5. wyprowadzić i omówić formuły określające kąt główny ϕG dana jest relacja
$${I'}_{y} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} + \frac{I_{y} - I_{z}}{2}\cos{2\varphi - \ I_{\text{yz\ }}\sin{2\varphi}}$$
Określająca osiowy moment bezwładności w układzie Oy’z’ obróconym o kąt względem układu Oyz
$$\frac{\text{d\ }{I^{'}}_{\text{y\ }}(\varphi)}{\text{dφ}} = \frac{I_{y} - I_{z}}{2}\left( \ - 2sin2\varphi \right) - I_{\text{yz\ }}2cos2\varphi = - 2\left( \frac{I_{y} - I_{z}}{2}\ sin2\varphi_{G} + I_{\text{yz\ }}\cos{2\varphi_{G}} \right) = - 2\text{\ I}_{\text{yz\ }}^{'} = 0$$
$$\frac{I_{y} - I_{z}}{2}\ sin2\varphi_{G} + I_{\text{yz\ }}\cos{2\varphi_{G}} = 0$$
Kąt główny wyznaczamy z równania
$$\mathbf{\text{tg}}\mathbf{2}\mathbf{\varphi}_{\mathbf{G}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2\ }\mathbf{I}_{\mathbf{\text{yz\ }}}}{\mathbf{I}_{\mathbf{z}}\mathbf{-}\mathbf{I}_{\mathbf{y}}}$$
6. wyprowadzić i omówić formuły określające ekstremalne momenty bezwładności Imax Imin . wskazówka dana jest macierz bezwładności w układzie Oyz
$$\begin{bmatrix}
I_{y} & I_{\text{yz}} \\
I_{\text{yz}} & I_{z} \\
\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}
I_{y} - I & I_{\text{yz}} \\
I_{\text{yz}} & I_{z} - I \\
\end{bmatrix} \rightarrow \left( I_{y} - I \right)\left( I_{z} - I \right) - {I_{\text{yz}}}^{2} = I_{y}I_{z} - II_{z} - II_{y} - I^{2} - {I_{\text{yz}}}^{2} = I^{2} - I\left( I_{y} + I_{z} \right) + I_{y}I_{z} - {I_{\text{yz}}}^{2} = 0$$
aI2 + bI + c = 0
a = 1, b = −(Iy+Iz) , c = IyIz − Iyz2
=(Iy+Iz)2 + 4Iyz2
Ekstremalne momenty bezwładności:
$$\mathbf{I}_{\max\mathbf{,\ \ min}} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{({\frac{I_{y} - I_{z}}{2})}^{2} + {I_{\text{yz}}}^{2}} = \frac{\mathbf{I}_{\mathbf{y}}\mathbf{+}\mathbf{I}_{\mathbf{z}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\pm}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\sqrt{\mathbf{(I}_{\mathbf{y}}\mathbf{-}\mathbf{I}_{\mathbf{z}}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 4\ (}{\mathbf{I}_{\mathbf{\text{yz}}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{\ \ }}}$$
Iy > Iz to Imax = IyG Imin = IzG
| Znak Iyx ϕG | IyG |
IzG |
|---|---|---|
| - | Imax = I1 | Imin = I2 |
| + | Imin = I2 |
Imax = I1 |