1. Jakie założenia stosujemy w analizie statycznej układów prętowych?

Układ prętowy należy traktować, jako sztywna tarcze. Jeden wymiar

(długość) jest zdecydowanie większy od dwóch pozostałych. Po linii repukarnej AB przemieszcza się środek ciężkości figury płaskiej w taki sposób, aby płaszczyzna figury była zawsze prostopadła do linii AB

2. Kiedy 2 tarcze są połączone w sposób geometrycznie niezmienny a kiedy 3 tarcze?

2 tarcze- koniecznym i wystarczającym połączeniem dwóch tarcz w sposób geometrycznie niezmienny jest połączenie ich co najmniej trzema prętami. (V≤0), a ich kierunki nie przecinają się w jednym punkcie

3 tarcze, warunkiem koniecznym i wystarczającym połączenia trzech tarcz w sposób geometrycznie niezmiennym jest połączenie każdych dwóch co najmniej dwoma prętami (V≤0) w taki sposób, aby punkty przecięcia się kierunków prętów łączących każde tarcze nie leżały na jednej prostej, oraz aby nie schodziły się w jednym punkcie.

3. Czy połączenie 2 tarcz 3 prętami jest warunkiem wystarczającym geometrycznej

niezmienności połączenia? Odpowiedz krótko uzasadnij.

2 tarcze- koniecznym i wystarczającym połączeniem dwóch tarcz w sposób geometrycznie niezmienny jest połączenie ich co najmniej trzema prętami. (V≤0), a ich kierunki nie przecinają się w jednym punkcie

4. Przedstaw twierdzenie o równoważności układów sił wewnętrznych i zewnętrznych

Równoważność układu sił zewnętrznych i wewnętrznych nie pozwala wyznaczyć układu sił wewnętrznych, gdyż układów równoważnych można znaleźć nieskończenie wiele. Oznacza ona jednak równość sum obu układów i momentów obu układów wzg. dowolnego punktu "0"

Twierdzenie o równoważności układu sił zewnętrznych i wewnętrznych pozwalają zatem w oparciu o znajomość układu sił zewnętrznych określić tzw. zredukowany (do punktu "0") układ sił wewnętrznych

                            ⇒                    ;      

                            ⇒                    ;      

5. Co to są siły przekrojowe?

Siłami przekrojowymi nazywamy składowe zredukowanego układu sił wewnętrznych $\overset{\overline{}}{N},\overset{\overline{}}{Q},\overset{\overline{}}{M},\overset{\overline{}}{M_{S}}$

6. Podaj definicje pręta kratowego. Z jakim układem sił wewnętrznych mamy do czynienia?

Pręt kratowy- pręt prosty połączony przegubowo na obu końcach i obciążony jedynie siłami skupionymi w przegubach ( w praktyce zamiast przegubów wystarcza mała sztywność zginania). Mamy do czynienie z układem sił przekrojowych, a konkretnie z siła podłużną ściskająca lub rozciągającą.

7. Narysuj trzy twierdzenia o prętach zerowych kratownic.

• twierdzenie 1

Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 2 pręty i węzeł jest nieobciążony, to siły wewnętrzne w obu prętach są równe zeru.

• twierdzenie 2

Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 2 pręty i węzeł jest obciążony siłą leżącą na kierunku jednego z nich, to siła wewnętrzna w drugim pręcie jest równa zero

• twierdzenie 3

Jeżeli w węźle kratownicy schodzą się 3 pręty, z których dwa leżą na tej samej prostej i węzeł jest nieobciążony, to siła na trzecim pręcie jest równa zeru.

8. Jakie właściwości posiada macierz przejścia?

Macierz przejścia- macierz współczynników dostaw kierunkowych osi nowego układu współrzędnych w starym układzie (albo na odwrót) ; macierz jest ortonormalna tj

• ortogonalna- iloczyny skalarne 2 dowolnych wierszy i iloczyny skalarne 2 dowolnych kolumn są zerowe) i

• unormowana ( każdy wiersz czy kolumna przedstawia wersor czyli jednostkowy wektor, wektor o długości jeden);

• macierz ogólnie nie jest symetryczna- elementy macierzy przejścia występują w prawie transformacji tensorowej i

• jedynie 3 elementy są liniowo niezależne

9. Zapisz wzór definiujący tensor II rzędu (wystarczy jedna z kilku możliwości).

σ_ij = a_ik • a_jl • σ_kl

e_ij = a_ik • a_jl • e_kl

E_ij = a_ik • a_jl • E_kl

10. Przedstaw interpretacje składowych macierzy naprężenia: na przekątnej głównej i poza nią. Podaj ich wymiar.

Na przekątnej macierzy znajdują się naprężania normalne poza przekątna naprężenia stycznie

Indeksy przy naprężeniu normatywnym ( σ_x; σ_y; σ_z;)pokazują płaszczyzna, na której oni występuje i do której jest prostopadłe

(τ_yx; τ_zx; τ_zy; )

Indeksy przy naprężeniu styczny (τ_xy; τ_xz; τ_yz; ) pokazują pierwszy płaszczyznę, na której on występuje, a drugi os układu, do której to naprężnie jest równoległe.

11. Na czym polega analiza stanu naprężenia w punkcie?

Analiza stanu naprężenia polega na znalezieniu takiego cięcia względem którego naprężenie są największe. Szukam trzech szczególnych płaszczyzn przekroju prostopadłych do osi układu współrzędnych względem którego naprężenie będę największe, a odkształcenia tylko liniowe.

12. Narysuj koła Mohra dla przypadku σ1=15, σ2=5, σ3=0. Ile wynoszą ekstremalne

naprężenia styczne?

13. Podaj ogólny wzór dla statycznych warunków brzegowych.

σ_j = σ_ij ∙ p_i

p_i-wektor obciążenie na zewnątrz

σ_ij- wektor obciążenie tuz przy "brzegu"

14. Jaki jest sens równań równowagi wewnętrznej (Naviera)?

Równania opisujące równowagę istniejąca wewnątrz ciała z uwzględnieniem dalekiego zasięgu. Muszą być stowarzyszone ze statycznymi warunkami brzegowymi wiążącymi obciążenie brzegu bryły z elementami macierzy naprężeń. Równania dowodzą, że macierz naprężeń jest symetryczna a równania równowagi stanowią warunki konieczne które winny spełniać funkcję trzech zmiennych aby móc być elementami macierzy naprężeń.

15. Jak wyglądają kierunki główne jeśli wartości własne: a) są różne, b) dwie są sobie równe, c) wszystkie trzy są równe

a) kierunki są do siebie prostopadłe i istnieje tylko jeden taki układ

b) istnieje cała płaszczyzna kierunków głównych

c) istnieje cała przestrzeń kierunków głównych

16. Podaj wzory na wartości własne i kierunki główne dla przypadku 2D

17. Przedstaw interpretacje składowych macierzy odkształcenia. Podaj ich wymiar.

$$T\varepsilon = \begin{bmatrix} \varepsilon_{x} & \frac{1}{2}\gamma_{\text{xy}} & \frac{1}{2}\gamma_{\text{xz}} \\ \frac{1}{2}\gamma_{\text{yx}} & \varepsilon_{y} & \frac{1}{2}\gamma_{\text{yz}} \\ \frac{1}{2}\gamma_{\text{zx}} & \frac{1}{2}\gamma_{\text{zy}} & \varepsilon_{z} \\ \end{bmatrix}$$

Na przekątnej występują odkształcenia liniowe, a poza przekątną połówki odkształceń kątowych.

Interpretacja składowych macierzy odkształcenia:

Ɛ_ij=$\frac{1}{2}$(u_i,j+u_j,i)

Wymiar składowych macierzy odkształcenia:

Ɛ_ij= $\frac{1}{2}(\frac{{\partial u}_{i}}{{\partial x}_{j4}} + \frac{{\partial u}_{i}}{{\partial x}_{i}})$

Wielkość bezwymiarowa [1] i bardzo mała

18. Czy izotropia materiału wynika z jego jednorodnosci?

tak

Jednorodność – właściwości materiału we wszystkich punktach są takie same (np. stal)

Izotropowość – właściwości materiału w danym pkt we wszystkich kierunkach są takie same(np. stal)

Jednorodność opisuje cały materiał a izotropowość tylko pkt, że właściwości są takie same.

19. Co to znaczy że materiał jest sprężysty?

Właściwości materiału który jest sprężysty polegają na tym, że po zdjęciu obciążenia nie występują odkształcenia trwałe, materiał powraca do konfiguracji pierwotnej.

20. Zapisz symbolicznie (macierzowo) trzy postaci równan Hooke’a.

równania fizyczne materiału liniowo sprężystego:

(1. postać): εij = [(1 + ν) σij − ν σkk δij] / E,

(2. postać): σij = 2G εij + λ εkk δij,

(3. postać): σij - σmδij = 2G (εij - εmδij) (prawo zmiany postaci)

σm = 3 K εm (prawo zmiany objętości)

21. Uzasadnij nazwy: prawo zmiany postaci i prawo zmiany objętości.

Prawo zmiany postaci - D_ƃ=2GD_Ɛ Pod działaniem dewiatora naprężeń powstają odkształcenia postaciowe suma odkształceń liniowych na przekątnej dewiatora odkształceń jest równa 0, co dowodzi ze nie ma zmiany objętości,

Prawo zmiany objętości – A_ƃ=3KA_Ɛ Działanie aksjatora naprężeń wywołuje jedynie zmianę objętości, a odkształcenia postaciowe są równe 0.

22. Wymień podstawowe stałe materiałowe dla materiału Hooke’a.

E- moduł Younga [Pa]

v- współczynnik Poissona [1] $V = \ \frac{\varepsilon_{n}}{\varepsilon_{m}}$

ƴ,µ- stałe Lame`go

G- moduł odkształcenia postaciowego Kirchhoffa [Pa]

K- moduł ściśliwości objętościowej, moduł helmholtza [Pa]

23. O czym mówi zasada de Saint-Venanta?

Jeżeli na pewien niewielki obszar ciała w równowadze działają rozmaicie rozmieszczone, ale statycznie równoważne obciążenia, to w odległości znacznie przekraczającej wymiary tego obszaru wywołują one praktycznie jednakowe stany naprężeń i odkształceń.

24. Co wynika z istnienia osi symetrii przekroju?

Jeżeli figura posiada oś symetrii to moment dewiacji obliczony w tych osiach jest równy zero. oś symetrii przekroju jest osią główną.

25. Co wynika z istnienia więcej niż dwóch osi symetrii przekroju?

Każda oś centralna jest osią główną.

26. Rozciąganie – przedstaw interpretacje liczby Poissona ν oraz modułu Younga.

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = tg\alpha$$

Rejestrując zmianę średnicy ∆d podczas próby mozemy wyznaczyć odkształcenia liniowe w kierunku poprzecznym do osi pręta:

$$\varepsilon_{\text{pop}} = \frac{d}{d_{0}},\ gdzie:\ d_{0} - \ pierwotna\ srednica\ probki.$$

Liczę Poissona otrzymujemy dzieląc odkształceń liniowe w kierunku poprzecznym przez odkształcenia liniowe w kierunku równoległym do osi próbki:

v= $\frac{\left| \varepsilon_{\text{pop}} \right|}{\varepsilon}$

27. Omów założenie geometrycznej liniowości dla zadań statycznie niewyznaczalnego

rozciągania.

W przypadku konstrukcji statycznie niewyznaczalnych żeby wyznaczyć siły przekrojowe lub reakcje oprócz równań równowagi należy sformułować równania geometryczne wynikające z kinematycznych warunków brzegowych (sposobu podparcia lub wzajemnych połączeń elementów konstrukcji). Założenia – zasada zesztywnienia. Deformacje są małe w porównaniu z wymiarami elementów układu, a co za tym idzie, siły działają na konstrukcje tak samo jak przed jak i po deformacji. Dzięki temu założeniu deformacje układu nie maja wpływu na równania równowagi. W konsekwencji pomija sie zmianę długości pręta uważając ze jest ona równa długości ruchu cięciwy pręta po deformacji na początkowa jego osi

28. Podaj wzór na krzywiznę pręta zginanego?

.$\frac{1}{P} = \frac{\text{My}}{E*Jy}$ - zalezy od momentu zginającego działającego na pret, kształtu (przekroju) preta i materiału z jakiego został wykonany – moduł Younga.

29. Wymień dwa podstawowe typy warunków projektowania.

• stan graniczny nośności (SGN) – związany z wystąpieniem zniszczenia ciągłości w punkcie lub obszarze, zmiany konstrukcji w mechanizm, uszkodzeniem spowodowanym zmęczeniem materiału, utratę stateczności przez cześć lub całą konstrukcje,

• stan graniczny użytkowania (SGU) – związany z występowaniem nadmiernych przemieszczeń, uszkodzeń związanych z korozją, nadmiernych drgań, rys itp.

30. Zginanie ukośne: jak ma sie kierunek osi obojętnej do kierunku wypadkowego momentu zginającego? Jak najprościej określić naprężenia normalne w dowolnym punkcie przekroju?

Oś obojętna odchyla się od kierunku momentu, zawsze w stronę tej osi bezwładności względem której moment bezwładności jest mniejszy.

Oś obojętna pokrywa się z kierunkiem wektora momentu wtedy, gdy Iy=Iz

Zginanie ukośne:

najlepiej zastosować zasadę de Saint Venanta i obciążenie parą o wektorze M zastąpimy obciążeniem statycznie równoważnym złożonym z dwóch wektorów My i Mz takich, że:

$$\overset{\overline{}}{M} = \overset{\overline{}}{M}y + \overset{\overline{}}{M}z$$

Należy również znaleźć osie główne.

Rozwiązanie dla każdego z obciążeń My i Mz jest znane. Korzystając z zasady superpozycj mozemy rozwiązania te zsumować, otrzymując rozkład naprężeń dla zginania ukośnego

$\sigma_{x}\left( y,z \right) = \frac{M_{y}}{I_{y}}z - \frac{M_{z}}{I_{z}}y$

Znaki we wzorze ustalamy każdorazowo w zależności od zwrotu wektorów My i Mz tak, aby w punkcie rozciąganym znak naprężenia był dodatni (osobno dla My i Mz)