5. Tworzenie niektórych powłok budowlanych

Projektanci budownictwa i architektury zainteresowani są projektowaniem powłok bu­dowlanych, będących modelami geometrycznymi powierzchni budynków, a w szczególności kościołów, obiektów sportowych, hal przemysłowych i innych. Powłoki budowlane tworzone są z wycinków powierzchni niepłaskich. Przede wszystkim brane są pod uwagę powierzchnie prostoliniowe (prostokreślne). Powłoki utworzone z takich powierzchni posiadają kształtujące ją elementy prostoliniowe. Oprócz powierzchni prostoliniowych rozpatrywane są powierzch­nie będące wycinkami powierzchni nieprostoliniowych.

5.1. Powierzchnie stycznych.

Powierzchnia stycznych jak każda powierzchnia rozwijalna może być wyznaczana przez dwie kierownice rozłączne e i f. Każdemu punktowi En kierownicy e odpowiada jeden punkt Fn kierownicy f taki, że punkty E_nF_n wyznaczają tworzącą powierzchni. Mówimy, że utworzoną tak powierzchnię wyznaczamy w sposób obwiedniowy. Weźmy pod uwagę dwie kierownice które mogą być:

krzywymi przestrzennymi (rys. 6.25)

jedną krzywą przestrzenną i jedną krzywą płaską (rys. 6.26),

dwiema krzywymi płaskimi (rys. 6.27).

Przypadek 1), jako dość skomplikowany w rozwiązaniach, jest rzadko stosowany. Ry­sunek 625 przedstawia przestrzenne wyznaczanie płaszczyzn stycznych do powierzchni i wyznaczanie jej tworzących.

Przypadek 2), pizedstawiony na rysunku 6.26 przedstawia rozwiązanie gdy kierownica e jest krzywą przestrzenną, zaś kierownica f krzywą płaską zawartą w płaszczyźnie q>. Two­rzące tej powierzchni otrzymujemy następująco: na kierownicy e (niepłaskiej) obieramy punkt E i wyznaczamy prostą m styczną do niej. Styczna m przebija płaszczyznę fi w punkcie M należącym do krawędzi płaszczyzn e i fi. Następnie przez punkt M prowadzimy styczną n do kierownicy f w punkcie F. Punkty E i F wyznaczają tworzącą t, a proste m i n płaszczyznę epsilon styczną do powierzchni.

Przypadek 3), gdy obie kierownice są płaskie przedstawiony jest na rysunku 6.27a,b. Kierownice e i f znajdują się w płaszczyznach e i fi przecinających się krawędzi k (rys. 6.27a). | punktu E c e prowadzimy styczną m do kierownicy e w punkcie E. Przebija ona płaszczyznę <p w punkcie M na krawędzi k. Przez punkt M prowadzimy styczną n do kierownicy f w punk­cie F. Tworząca f jest wyznaczona punktami E i F.

5.2. Powłoki tworzone z powierzchni skośnych.

Klasyfikacja powierzchni skośnych wiązkowych przedstawiona jest za St. Polańskim na rys. 5.218 . Do tworzenia takich powierzchni wymagane są trzy kierownice. Każda tworząca powierzchni przecina wszystkie trzy kierownice. Rozróżniamy następujące przypadki wystę­powania kierownic:

dwie krzywe, jedna prosta właściwa,

jedna krzywa, dwie proste właściwe,

- powierzchnia utworzona przez kierownice wymienione w punktach 1) i 2) jest po­wierzchnią stożkową zwaną konusoidą,

dwie krzywe, jedna prosta niewłaściwa - powierzchnia walcowa - cylindroida,

jedna krzywa, jedna prosta właściwa, jedna prosta niewłaściwa - powierzchnia stożko-

wo-walcowa - k o n o i d a,

trzy proste skośne - kwadryka prostokreślna,

dwie proste właściwe, jedna niewłaściwa,

trzy proste właściwe równoległe do jednej i tej samej płaszczyzny, a) i b)-parabo- loida hiperboliczna,

trzy proste skośne takie, że nie istnieje płaszczyzna równoległa do każdej z nich - hiperboloida jednopowłokowa.

Jeżeli dane są kierownice e,f i g gdzie g jest prostą właściwą czy niewłaściwą, to aby wyznaczyć tworzącą powierzchni należy przez prostą g poprowadzić płaszczyznę i wyzna­czyć punkty przebicia E i F kierownic e i f z tą płaszczyzną. Tworzącą wyznaczają punkty E i F. Gdy kierownice e i f są krzywymi przestrzennymi czy to w przypadku powierzchni stoż­kowej (rys. 6.35), czy też w przypadku powierzchni walcowej (rys. 6.39) przy wyznaczaniu rzutów takiej powierzchni wygodnie jest aby płaszczyzny zawierające prostą g były rzu­tujące. Punkty E1,2... i F1,2... przecięcia kierownic e i f płaszczyznami znajdujemy od razu i łatwe jest wyznaczenie tworzących. Ułatwieniem w wyznaczaniu tworzących jest położenie rzutujące jednej z kierownic.

Rys. 6.35

Gdy krzywe e i f są płaskie, zawarte w płaszczyznach e i fi wyznaczamy krawędź k płaszczyzn e i fi, oraz punkty przebicia P i Q prostej g z tymi płaszczyznami. Płaszczyzna za­wierająca prostą g wyznacza krawędzie p i q z płaszczyznami e i fi .Proste p i q przecinają się w prostej k (rys. 6.36). Proste p i q przecinają krzywe e i/w punktach E i F.

Może się zdarzyć, że prosta g jest równoległa do jednej z płaszczyzn epsilon lub fi, wtedy jedna z prostych p lub q jest do niej równoległa (rys. 6.37).

Jeżeli płaszczyzny epsi i fi zawierające krzywe e i f są do siebie równoległe, wyznaczamy punkty przebicia P i Q prostej g z płaszczyznami eps i fi. Przez punkty P i Q prowadzimy proste p i q równoległe, wyznaczające płaszczyznę zawierającą kierownicę g. Proste p i q przecinają krzywe e i/w punktach E i F wyznaczających tworzącą t (rys. 6.38).

W przypadku trzecim, gdy kierownice e i f są krzywymi płaskimi bądź przestrzennymi a kierownica g jest prostą niewłaściwą zawartą w płaszczyźnie y, tworzące wyznaczamy za pomocą płaszczyzn równoległych do y przecinających kierownice e i f(rys. 6.39). Jeżeli kie­rownice e i f zawarte są w płaszczyznach eps i fi a prosta g niewłaściwa zawarta jest w płasz­czyźnie | przecinającej eps i fi w krawędziach p i g, tworzące wyznaczamy jak na rysunku 6.40a i b. Krawędzie kolejnych płaszczyzn równoległych do y z płaszczyznami eps i fi są równoległe do p i q. Przecinają kierownice e i/w punktach E i F, które wyznaczają tworzące. Na rysunku 6.40a krawędzie p, q i k mają punkt wspólny, na rysunku 6.40b krawędź p jest równoległa do q ponieważ eps || fi.

Rozwiązanie

Dla uzyskania możliwości konstruowania nowych tworzących musimy wyznaczyć płaszczyznę gamma równoległą do obu danych tworzących t1 i t5 w której zawarta jest trzecia kie­rownica prostoliniowa g. Jest to prosta niewłaściwa, przecinająca tworzące t1 i t5. Rysunek poglądowy 6.49b przedstawia położenie kierownic e i f oraz tworzących t1 i t5. Płaszczyzna y wyznaczona jest prostymi przecinającymi się a||t5 i b=t1, a n b=E1 (rys. 6.49c). Krawędzie p=epsilon n y i q=fi n y przecinają się w prostej k =e n fi. Dalej postępujemy jak w schemacie podanym na rysunku 6.40. Punkty przebicia P i Q prostej niewłaściwej g z płaszczyznami e i fi są punk­tami niewłaściwymi prostych p i q. Prowadzimy płaszczyzny równoległe do y czyli zawiera­jące prostą g8 Za pomocą par prostych równoległych do p i q i w punktach przecięcia się ich z kierownicami e i f wyznaczamy punkty kolejnych tworzących (rys. 6.49c). Na koniec wyzna­czamy obwiednię drugich rzutów tworzących oraz ich widoczność.

Przedstawione na rysunkach: 6.36, 6.37, 6.38, 6.40 sposoby wyznaczania tworzących powierzchni skośnej wiązkowej wyznaczonej przez kierownice płaskie z których co najmniej jedna jest prostą, są aktualne i wtedy gdy wszystkie kierownice e, f i g są prostymi i każde dwie proste są rozłączne. Powierzchnia skośna wiązkowa wyznaczona przez trzy proste jest kwadryką prostoliniową. Jeżeli jedna z kierownic jest prostą niewłaściwą lub jeżeli istnieje płaszczyzna równoległa do wszystkich trzech prostych - kwadryka nazywa się paraboloidą (bądź paraboloidą hiperboliczną). Jeżeli taka płaszczyzna nie istnieje jest to kwadryka hiper- boliczna. Cechą kwadryk prostoliniowych jest to, że istnieją w niej dwie rodziny tworzących (t) i (u). Trzy dowolne tworzące rodziny (u), obrane na kierownice, ustalają powierzchnię skośną o tworzących z rodziny (t), i na odwrót. Tworzące tego samego układu są prostymi skośnymi, należące zaś do różnych układów przecinają się.

Ćwiczenie 173

Dane są trzy proste skośne e. fig. z których prosta g jest pierwszorzutującą, zaś rzuty pierwsze e' i/ prostych e i f nie są równoległe. Wykreślić tworzące tej kwadryki oraz zazna­czyć jej wycinek o brzegu (1,1, IV, 4) (rys. 6.50).

11. Powierzchnie

Przedmiotem rozważań w niniejszym rozdziale są właściwości powierzchni służących do projektowania i budowania obiektów inżynierskich budowlanych jak powłoki budowlane, oraz urządzenia do składowania i transportowania materiałów sypkich, ciekłych i gazowych stosowanych w urządzeniach sanitarnych.

11.1. Klasyfikacja powierzchni

Klasyfikacja powierzchni podana jest tu za Stanisławem Polańskim „Geometria wy­kreślna — podstawy zapisu wykreślnego konstrukcji inżynierskich". Rysunek 5.216 przed­stawia podział zbioru powierzchni na odpowiednie podzbiory zwane klasami powierzchni. Zbiór powierzchni rozpada się na dwa podzbiory: klasę powierzchni prostoliniowych i klasę powierzchni nieprostoliniowych.

Powierzchnia prostoliniowa ni ma tę właściwość, że każdy punkt X c ni należy co naj­mniej do jednej prostej x c ni. Powierzchnia nieprostoliniowa tej właściwości nie ma. Tworzą­cą powierzchni prostoliniowej nazywamy każdą prostą x c ni, gdy w jej otoczeniu istnieje inna prosta a c ni różna od x. Na rysunku 5.217 proste t, q. s są tworzącymi, natomiast prosta a — nie. Inny podział zbioru powierzchni wyróżnia klasę powierzchni rozwijalnych i nierozwijal- nych. Powierzchnia prostoliniowa ni jest rozwijalna, jeżeli przez dwa punkty zwyczajne po­wierzchni, należące do jednej tworzącej poprowadzone płaszczyzny styczne są identyczne. Wszystkie wyżej wymienione powierzchnie są albo obrotowe albo nieobrotowe. Powierzch­nie obrotowe powstają przez obrót prostej lub krzywej dookoła prostej.

Rys. 5.217

Z rysunku 5.216 wynika, że możemy wyróżnić sześć klas powierzchni. Rysunek 5.218 przedstawia dalszy podział powierzchni rozwijalnych, a rysunek 5.219 - podział powierzchni skośnych.

W budownictwie, a w szczególności w tworzeniu powłok budowlanych szerokie zasto­sowanie mają powierzchnie prostoliniowe rozwijalne oraz nierozwijalne zwane skośnymi. Omówimy tylko niektóre z nich. Powierzchnie te przedstawione są dokładnie w literaturze: „Geometria powłok budowlanych" — St. Polańskiego oraz w literaturze uzupełniającej.

Wśród powierzchni rozwijalnych wyróżniamy powierzchnie wiązkowe i niewiązkowe. Powierzchnie wiązkowe są to takie, dla których złącz każdych dwóch różnych tworzących jest płaszczyzną. Częścią wspólną wszystkich tworzących jest punkt. Jeżeli jest on punktem właściwym zwanym wierzchołkiem, to powierzchnię nazywamy stożkową. Jeżeli jest to punkt niewłaściwy — powierzchnią walcową. Kierownicą powierzchni nazywamy krzywą zawartą w powierzchni przecinającą wszystkie tworzące tej powierzchni.