Rzuty równoległe
Utwory zasadnicze przestrzeni rzutowej Szereg punktów - zbiór wszystkich punktów A, B, C, ..., PႥ leżących na prostej rzutowej. Oznaczamy: p(A, B, C, ..., PႥ ), gdzie p - podstawa szeregu, punkty A, B, C, ..., PႥ - elementy szeregu Pęk prostych: W(a, b, c, ...), W - wierzchołek pęku, proste a, b, c, ... - elementy pęku Pęk płaszczyzn: p(ၡ, ၢ, ၧ, ...), przechodzących przez jedną prostą rzutową p -oś pęku, Płaszczyzny ၡ, ၢ, ၧ, ... - elementy pęku Przestrzeń rzutowa - zbiór wszystkich punktów, prostych i płaszczyzn rzutowych.
Utwory zasadnicze i przekształcenia rzutowe Układ płaski - zbiór wszystkich punktów i wszystkich prostych należących do danej płaszczyzny Wiązka - zbiór wszystkich prostych i wszystkich płaszczyzn przechodzących przez dowolny punkt (właściwy lub niewłaściwy) Między utworami można ustalić zależności geometryczne przekształcając elementy jednego zbioru w elementy drugiego zbioru, np. można złożyć kilka kolejnych przekształceń układ płaski[ၪ1] Ⴎ wiązka [S1] Ⴎ układ płaski [ၪ2] Ⴎ układ płaski[ၪ1] Ⴎ wiązka [S2] itd....Taką zależność miedzy układami płaskimi nazywamy przekształceniem homologicznym lub rzutowym. Kolineacja środkowa między układami płaskimi jest określona, jeśli jest dany środek kolineacji S, oś kolineacji k i para przyporządkowanych sobie punktów nie leżących na osi kolineacji albo trzy pary przyporządkowanych sobie punktów nie leżących na osi kolineacji. Jeśli środek kolineacji S jest punktem niewłaściwym to mówimy o powinowactwie osiowym, a prostą k nazywamy osią powinowactwa. Rysunek techniczny maszynowy - konwencja graficznego przedstawiania urządzeń mechanicznych, szczególny przypadek rysunku technicznego.Idea rzutu polega na przedstawieniu przestrzeni trójwymiarowej z co
najmniej dwóch różnych kierunków widzenia. Niezmienniki rzutu równoległego:
1)przynależność elementów(Jeżeli punkt leży na prostej, to rzut tego punktu leży na rzucie tej prostej) ,2) współliniowość punktów,3) stosunek podziału odcinka,4) równoległość prostych, 5)metryka figur płaskich równoległych do rzutni(Figura płaska równoległa do rzutni i jej rzut są figurami przystającymi)Rzuty Monge'a :Rzuty prostokątne na dwie wzajemnie prostopadłe rzutnie: ၰ1 i ၰ2. A' - rzut poziomy punktu A, A'' - rzut pionowy punktu A, Odległość punktu od rzutni: poziomej nazywamy wysokością i oznacza się literą "h", od rzutni pionowej nazywamy głębokością i oznacza się "g".
Płaszczyznę w rzutach możemy określić za pomocą jednej z poniższych możliwości:
trzech niewspólniniowych punktów, a(A,B,C), punktu i prostej nie przynależnych do siebie, a(A,a) dwóch prostych równoległych, a(a,b), a ll b, dwóch prostych przecinających się a(a,b) Płaszczyzna może przechodzić przez 3 lub 2 ćwiartki przestrzeni.Jeśli tworzy kąty ostre z płaszczyznami układu to mówimy, że jest w położeniu ogólnym. Jeśli jest równoległa do jednej z rzutni to może być: pozioma (ll ၰ1) np. ၢ lub czołowa (ll ၰყ2)
Jeśli jest prostopadła do którejś z rzutni, to mówimy, że jest poziomo -rzutująca (ၰၞ1) np. ၡ lub pionowo -rzutująca (ၰၞ2 ). Niezmiennik dotyczący rzutu kąta w rzucie prostokątnym kąt prosty o co najmniej jednym ramieniu równoległym do rzutni jest w rzucie prostokątnym zachowany. Prosta jest prostopadła do płaszczyzny jeśli jest prostopadła do dwoch prostych przecinających się tej płaszczyzny. Prosta jest równoległa do płaszczyzny jeśli jest równoległa do jakiejs prostej tej płaszczyzny.
Dwie płaszczyzny wzajemnie równoległe płaszczyzna beta jest równoległa do alfa jeżeli zawiera co najmniej dwie proste przecinające się równoległe do płaszczyzny alfa.
Dwie płaszczyzny wzajemnie prostopadłe płaszczyzna beta jest prostopadła do alfa jeśli zawiera prostą prostopadłą do płaszczyzny alfa. A''' rzut boczny odległośc punktu od rzutni bocznej nazywamy szerokością oznaczamy s. Gdy zachodzi konieczność wykreślenia 3 rzutu to rolę dodatkowej rzutni może spełniac płaszczyzna pionowo rzutująca lub poziomo rzutująca (płaszczyzna transformacji)
Formaty graficzne 1)związane z grafiką rastrową (nieskalowane) BMP, GIF, TIFF, JPG, PNG. 2) wektorową (skalowane) WMP, EPS, PS, HPGL, DXF, SVG, CDR. Model barw RGB ukierunkowany na urządzenia tworzące barwy w wyniku emisji światła (monitory) oraz urządzenia analizujące (aparaty, skanery) Model CMY ukierunkowany na urzadzenia drukujące drukarki, maszyny drukarskie. Wrażenie barwy uzyskuje się dzięki światłu odbitemu od zadrukowanego podłoża (cyan- jasnoniebieski, Magenta- purpurowy, yellow- żółty)
Aksonometria - odwzorowanie przestrzeni na płaszczyznę z wykorzystaniem prostokątnego układu osi. Trójkąt śladów aksonometrycznych jego boki leżą na krawędziach płaszczyzn układu XYZ z rzutnią aksonometryczną. Kierunek rzutów nie może być równoległy do żadnej osi układu XYZ ani do żadnej z płaszczyzn układu. Punkt jest jednoznacznie określony gdy dane są jego rzut aksonometryczny, aksonometria chociaż jego jednego rzutu prostokątnego. Aksonometria jest rzutem równoległym niezmienniki 1)obiekty trójwymiarowe zmieniają się w figury płaskie 2) odcinek pozostaje odcinkiem zmieniając co najwyżej długość lub zostaje zredukowany do punktu 3) odcinki równoległe pozostają nadal równoległe i są one jednakowo skracane lub wydłużane 4) okrąg zmienia się w elipsę lub pozostaje okręgiem jeśli lezy w płaszczyźnie równoległej do rzutni. Aksonometria ukośna z twierdzenia Pohlkego w aksonometrii ukośnej można dowolnie przyjąc kąt pomiędzy osiami aksonometrycznymi, przy założeniu że nie leżą one na jednej prostej * dowolnie przyjęte odcinki na tych osiach można uważać za rzuty odcinków jednakowej długości. Aksonometria kawalerska (ukośna) wszystkie układy płaskie równoległe do rzutni są odwzorowywane bez zniekształceń, stosunki skróceń ½ , ¾ lub 2/3 Aksonometria wojskowa (ukośna) wszystkie układy płaskie równoległe do rzutnia xa ya są odwzorowane bez zniekształcen, stosunki skróceń 2/3 (1/1) Aksonometria prostokątna kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni aksonometrycznej, trójkąt śladow aksonometrycznych ma szczególne własności osie aksonometryczne są prostymi na których lezą wysokości tego trójkąta. Rzutem kąta prostego, którego jedno ramie lezy na rzutni jest kąt prosty. Skróty aksonometryczne można wyznaczyć gdy dane są osie i ich kąty z rzutnią, dany jest trojkąt śladów aksonometrycznych, za pomoca stosunku skróceń na poszczególnych osiach. Rodzaje aksonometrii prostokątnej *izometria (trojkąt równoboczny )* Demetria(równoramienny) *anizometria (trojkąt dowolny kazda oś ma inne skrócenie)
Rzut cechowany jest rzutem prostokątnym na jedną płaszczyznę. *Cecha punktu- odległośc punktu od rzutni poprzedzone znakiem + lub - w zalezności czy punkt lezy nad czy pod rzutnią. Rzutem prostej jest prosta lub punkt jeżeli prosta jest prostopadła do rzutni. Płaszczyznę w rzucie najczęściej określamy prostymi poziomymi- warstwicami. Prostą prostopadłą do warstwic nazywamy linią spadu płaszczyzny. Moduł i nachylenie płaszczyzny to moduł i nachylenie jej linii spadu. Kład obrót o kąt 90 st wokół prostej leżącej na rzutni lub do niej równoległej - osi obrotu
Powierzchnie topograficzne (algebraiczne->matematyczne dające się opisać funkcjami algebraicznymi, niealgebraiczne->graficzne). Prosta styczna do powierzchnii w punkcie to styczna w tym punkcie do krzywej leżącej na tej powierzchnii. Płaszczyzna styczna do powerzchnii w danym punkcie zawiera wszystkie proste styczne do powierzchnii w tym punkcie.
Powierzchnia topograficzna (ukształtowanie terenu) przedstawiana jest najczęściej za pomocą jej planu warstwicowego. Rzutnia zwana płaszczyzną porównawczą przeprowadzona na wysokości poziomu morza jest prostopadła do kierunku pionowego. Wzajemne odległości płaszczyzn warstwowych są zależne od wymaganej dokładności i zwykle wynoszą 10m , 5 m 2m lub 1m. Jeżeli w punkcie P powierzchnii istnieje płaszczyzna styczna, to prosta styczna do warstwicy powierzchnii w punkcie P jest warstwicą płaszczyzny stycznej. Moduł i nachylenie linii spadu płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie P nazywamy modułem i nachyleniem powierzchni w tym punkcie.
Profil powierzchnii to przekrój tej powierzchni płaszczyzną pionową. Linia spadu powierzchnii to linia o tej własności, że styczna w dowolnym jej punkcie jest równoczesnie linią spadu płaszczyzny stycznej do powierzchni w tym punkcie. Linia stokowa powierzchni to krzywa o stałym nachyleniu różnym od zera. Powierzchnia stokowa ma stałe nachylenie w każdym swoim punkcie (np. powierzchnia boczna stożka obrotowego). Punkty szczytowe tereny otaczające te punkty nazywamy szczytami lub kopami , przez te punkty przechodzi nieskończenie wiele linii spadu, a wody atmosferyczne spływają do punktu. Punkty kotlinowe otaczające tereny to kotliny, przez te punkty przechodzi nieskończenie wiele linii spadu, a wody atmosferyczne spływają do punktu. Punkty siodłowe otaczające je tereny to siodła (przełęcze) przez każdy taki punkt przechodzą dwie linie spadu: *linia grzbietowa; linie spadu oddalają się od niej w przeciwne strony, a teren w pobliżu po obu stronach nazywamy grzbietem. * linia ściekowa linie spadu przybliżają się do niej z obu stron, część terenu po jej obu stronach nazywamy ściekiem lub żlebem. Linia zerowa linia podziału między wykopem a nasypem.
Rzut środkowy - perspektywa rzutnia tło - płaszczyzna pi, środek rzutu S (oko), S pi rzut prostokątny środka rzutu S na pi. Rzutem punktu jest punkt będący punktem przebicia prostej łączącej dany punkt że środkiem rzutów z rzutnią * rzutem prostej przechodzącej przez środek rzutów S jest punkt . Punkty leżące na płaszczyźnie równoległej do rzutni i przechodzącej przez środek rzutów nie mają rzutów właściwych, płaszczyznę tę nazywamy płaszczyzną zniknienia. Odległośc d(S, Spi) nazywamy odległością obrazową lub odległością oddalenia. Rzut prostej nie przechodzącej przez środek rzutu S jest prosta. Ślad zbiegu utożsamiamy z kierunkiem prostej. Proste równoległe mają ten sam kierunek, zatem mają wspólny ślad zbiegu. Zakres kąta < 45 na zewnątrz okręgu, = 45 na okręgu, >45 wewnątrz okręgu, = 90 Za = Spi. t alfa krawędz płaszczyzny alfa z rzutnią (ślad tłowy), z alfa krawędz płaszczyzny alfa z rzutnią (ślad zbiegu). Niezmienniki rzutu środkowego : 1) współliniowość punktów 2) kąty w płaszczyznach równoległych do tła 3) stosunek podziału na prostych równoległych do tła 4) dwustosunek czwórki punktów. Prosta jest równoległa do płaszczyzny jeśli jest równoległa do jakiejs prostej leżącej w tej płaszczyźnie. Płaszczyzna jest równoległa do drugiej płaszczyzny jeśli zawiera dwie proste przecinające się równoległe do tej płaszczyzny. Płaszczyzna prostopadła do drugiej płaszczyzny zawiera prostą p kierunkową oraz punkt S pi . Punkt mierzenia prostej, jeśli odcinek AB jest równoległy do rzutni punktem mierzenia prostej może być dowolny punkt M należący do Z alfa. Punktem Ma należącym do Z alfa ( płaszczyzny, w której leży prosta) nazywamy punktem mierzenia prostej b. Służy on do wyznaczania rzeczywistych wymiarów odcinków leżących na danej prostej. Punkt mierzenia prostej p leży na śladzie zbiegu płaszczyzny zawierającej tę prostą.