1)Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna do siebie prostopadłe

Płaszczyznę w przestrzeni jednoznacznie wyznaczają:

1^o trzy punkty nie leżące na jednej prostej, albo 2^o prosta i punkt poza nią leżący

3^o dwie przecinające się proste 4^o dwie równoległe proste.

Wynika to z określenia równoległości dwu prostych.

a) prosta, która ma dwa punkty wspólne z płaszczyzną, leży całkowicie na tej płaszczyźnie; b) jeżeli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to muszą mieć i drugi, czyli linią przecięcia się dwóch płaszczyzn jest linia prosta;

c) płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwie części, czyli dwa obszary, to znaczy, że odcinek, łączący dwa punkty w przestrzeni, położone w różnych jej częściach, przecina płaszczyznę. Zastanawiając się następnie nad położeniem dwóch prostych w przestrzeni, stwierdzamy, że albo one mają jeden punkt wspólny, albo nie mają żadnego. W pierwszym przypadku proste przecinają się ze sobą i wyznaczają płaszczyznę,Jeżeli dwie proste, nie mające żadnego punktu wspólnego, leżą na jednej płaszczyźnie, to są do siebie równoległe. Może się jednak zdarzyć tak, że mamy prostą AB (rys. 180) położoną na płaszczyźnie P i prostą CD, przecinającą(tj. mającą z płaszczyzną tylko jeden punkt wspólny) tę płaszczyznę w pewnym punkcie E nie leżącym na prostej AB.

Wtedy proste AB i CD nie mają punktu wspólnego i nie ma takiej płaszczyzny, która zawierałaby obie te proste. Takie proste nazywamy skośnymi albo wichrowatymi. Mając daną w przestrzeni prostą AB (rys. 181), możemy zawsze z pewnego jej punktu C wystawić prostopadłą. Należy wtedy przez tę prostą przesunąć jakąkolwiek płaszczyznę, np. P i wystawić prostopadłą CD, położoną na tej płaszczyźnie.

Ale, jak wiemy, przez daną prostą możemy przesunąć jeszcze inną płaszczyznę, np. Q, i znowu poprowadzić CE prostopadłą do AB. Możemy tych płaszczyzn poprowadzić przez AB nieskończoną ilość, a więc i prostopadłych do AB, wystawionych z punktu C, będzie w przestrzeni nieskończona ilość. Równocześnie prosta AB będzie wtedy prostopadła do nieskończonej ilości prostych w przestrzeni poprowadzonych przez dany punkt na tej prostej. () Twierdzenie. Jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch prostych w przestrzeni poprowadzonych przez dany punkt na niej to jest ona prostopadła do każdej prostej poprowadzonej przez ten punkt i położonej na płaszczyźnie wyznaczonej przez pierwsze dwie proste.

1. Płaszczyznę, na której są położone wszystkie proste prostopadłe do danej prostej w pewnym jej punkcie, nazywamy płaszczyzną prostopadłą do prostej. Odwrotnie prostą, która jest prostopadła do dowolnej prostej, położonej na płaszczyźnie, poprowadzonej przez punkt przecięcia, nazywamy prostą prostopadłą do płaszczyzny.

Na podstawie poprzednich dwóch twierdzeń możemy powiedzieć:

miejscem geometrycznym wszystkich prostych w przestrzeni prostopadłych do danej prostej w pewnym jej punkcie jest płaszczyzna prostopadła do tej prostej przez ten punkt poprowadzona.

2. Z tych twierdzeń widzimy również, że koniecznym i wystarczającym warunkiem prostopadłości danej prostej do płaszczyzny jest ten, aby była ona prostopadła do dwóch prostych położonych na tej płaszczyźnie i przechodzących przez ich punkt przecięcia.

3. Ponieważ każda z prostych BC, BD i BE (rys. 182) jest prostopadła do odcinka KK' i przechodzi przez jego środek B, więc

miejscem geometrycznym punktów w przestrzeni, jednakowo oddalonych od dwóch punktów danych, jest płaszczyzna prostopadła do odcinka, łączącego dane punkty i przechodząca przez jego środek.

Ta płaszczyzna nazywa się płaszczyzną symetrii danego odcinka. .

() Twierdzenie. Dwie proste prostopadłe do tej samej płaszczyzny, są do siebie równoległe.

(). Twierdzenie. Dwie proste w przestrzeni równoległe do trzeciej są do siebie rownolegle

1) Rzutem punktu na płaszczyznę nazywamy spodek prostopadłej, opuszczonej z danego punktu na płaszczyznę, np. rzutem punktu A na płaszczyznę P będzie punkt B (rys. 191), w którym prostopadła przecina się z tą płaszczyzną.

Jeżeli ze wszystkich punktów danej linii lub figury poprowadzimy prostopadłe do danej płaszczyzny, to zbiór spodków tych prostopadłych, czyli miejsce geometryczne rzutów wszystkich punktów linii lub figury, nazywamy rzutem tej linii lub figury na płaszczyznę.

Aby otrzymać rzut prostej AB (rys. 192) na płaszczyznę P, powinniśmy znaleźć rzut każdego jej punktu, łatwo jednak zrozumieć na podstawie poprzednich twierdzeń że wszystkie prostopadłe, wyprowadzone z punktów danej prostej do płaszczyzny będą leżały w jednej płaszczyźnie i rzut prostej AB otrzymamy, łącząc rzuty A' i B' dwóch punktów tej prostej.

Jeżeli dana prosta jest prostopadła do płaszczyzny rzutów, to jej rzutem będzie punkt. Jeżeli prosta przecina płaszczyznę rzutów, to dla wykreślenia jej rzutu wystarczy znaleźć rzut jednego jej punktu poza punktem przecięcia z płaszczyzną.

1. Prostopadła jest krótsza od wszelkiej pochyłej wyprowadzonej z tego samego punktu i odwrotnie, najkrótszy odcinek łączący dany punkt z płaszczyzną jest odcinkiem prostopadłej.

2. Dwie pochyłe są równe, jeżeli ich rzuty są równe, i odwrotnie z równości rzutów wnosimy o równości pochyłych.

3. Z dwóch pochyłych ta jest większa, która ma rzut większy, i odwrotnie, jeśli rzut jest większy, to większa jest pochyła.

Widzimy zatem, że najmniejszą odległością punktu od płaszczyzny jest odcinek prostopadłej poprowadzonej z tego punktu do płaszczyzny. Tym właśnie odcinkiem mierzy się odległość punktu od płaszczyzny.

Prosta położona na płaszczyźnie i prostopadła do rzutu pochyłej jest prostopadła do tej pochyłej.

Tę własność nazywamy twierdzeniem o trzech prostopadłych.

Kąt ostry, który pochyła tworzy ze swoim rzutem na płaszczyznę, nazywamy kątem nachylenia tej prostej do płaszczyzny. Np. kątem nachylenia prostej AC do płaszczyzny P (rys. 194) jest kąt ACB. O kącie tym możemy dowieść, że jest najmniejszy z kątów, jakie dana prosta tworzy z prostymi, poprowadzonymi na płaszczyźnie przez jej spodek Prosta i płaszczyzna do siebie równoległe

Określenie. Wiemy, że prosta może mieć z płaszczyzną dwa punkty wspólne - wtedy leży całkowicie na płaszczyźnie. Może mieć z płaszczyzną jeden punkt wspólny - wtedy ją przecina i bywa, jak to już widzieliśmy, albo prostopadła do płaszczyzny, albo do niej pochyła. Można jednak wyobrazić sobie prostą, która nie ma żadnego punktu wspólnego z płaszczyzną - taką prostą nazywamy równoległą do tej płaszczyzny. Twierdzenie. Prosta w przestrzeni równoległa do innej prostej położonej na danej płaszczyźnie jest równoległa do tej płaszczyzny.

Prosta i płaszczyzna do siebie równoległe Twierdzenie. Prosta w przestrzeni równoległa do innej prostej położonej na danej płaszczyźnie jest równoległa do tej płaszczyzny.Jeżeli z dowolnych punktów prostej równoległej do płaszczyzny poprowadzimy odcinki prostopadłe do tej płaszczyzny, to będą one sobie równe i dlatego odległość dowolnego punktu równoległej prostej od danej płaszczyzny nazywamy odległością prostej równoległej od tej płaszczyzny.

Płaszczyzny do siebie prostopadłe Dwie płaszczyzny, które tworzą ze sobą kąt prosty, nazywamy prostopadłymi. Twierdzenie Dowolna płaszczyzna przesunięta przez prostą prostopadłą do danej płaszczyzny jest prostopadła do tej płaszczyzny. Twierdzenie. Jeżeli dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, to prosta położona na jednej z nich i prostopadła do ich krawędzi jest prostopadła do drugiej. Twierdzenie. Jeżeli dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, to prosta wyprowadzona z punktu położonego na jednej z nich i prostopadła do drugiej leży całkowicie na pierwszej płaszczyźnie

Płaszczyznę rzutową otrzymuje się przez dodanie do płaszczyzny euklidesowej punktów w nieskończoności.

Na płaszczyźnie rzutowej nie ma prostych równoległych; każde dwie proste przecinają się w jednym punkcie.

Rzutowanie równoległe:

-nie pozwala przedstawić obiektu zgodnie z naszym wyobrażeniem

-pozwala zdefiniować wymiary przedmiotu i parametry technologiczne.

Rzutowanie może być równoległe lub ukośne.

Rzutowanie perspektywistyczne :

-pozwala uzyskać obraz zbliżony do postrzeganego przez człowieka

-rzut na płasczyznę będze wieć tylko przybliżeniem obrazu postawjącego na siatkówce oka.

Utwory zasadnicze i przekształcenia rzutowe:

Układ płaski - zbiór wszystkich punktów i wszystkich porstych należących do danej płaszczyzny

Wiązka - zbiór wszystkich prostych i wszystkich płaszczyzn przechodzących przez dowolny punkt (właściwy lub niewłaściwy)

Między utworami możemy ustalić zależności geometryczne przekształcając elementy jednego zbioru w elementy drugiego. Taką zależność między ukladami nazywamy przekształceniem homologicznym lub rzutowym.

Kolineacja środkowa i powinowactwo osiowe:

Kolineacja środkowa między ukłądami płaskimi jest określona, jeśli dany jest środek kolineacji S, oś kolineacji k i para przyporządkowaych sobie punktów nie leżących na osi kolineacji; albo trzy pary przyporządkowanych sobie punktów nie leżących na osi kolineacji.

Jeśli środek kolineacji S jest punktem niewłaściwym to mówimy o powinowactwie osiowym a prostą k nazywamy osią powinowactwa.

Niezmienniki rzutu równoległego:

1. przynależność elementów

2. współliniowość punktów

3. stosunek podziału odcinka

4. równoległość prostych

5. metryka figur płaskich równoległych do rzutni

Jeżeli punkt leży na prostej to rzut tego punktu leży na rzuscie tej prostej.

Figura płaska równoległa do rzutno i jej rzut są figurami przystającymi.

Rzuty prostkątne to Rzut Monge'a i rzut cechowany.

Rzut Monge'a

-rzut prostkokątny na dwie wzajemnie prostopadłe płaszczyzny

-odległosc punktu od rzutni poziomej - wysokość

-ogległość punktu od rzutni pionowej - głębokość.

Płaszczyznę możemy określić za pomocą:

-trzech niewspółlionowych punktów (ABC)

-punktu i prostej nie przynależących do siebie (Aa)

-dwóch prostych równoległych

-dwóch przecinających się

Płaszczyzna może przechodzić przez 3 lub 2 cw. Przestrzeni

Jeśli tworzy kąty ostre z płaszczyznami to mowimy ze jest w połozeniu ogólnym

Jeśli płaszczyzna jest równoległa do jedej z rzutni to może być:

-pozioma (II pi1)

-czołowa (II pi2)

Jeśli pł. jest prostopadła do którejs z rzutni to mowimy ze jest:

-poziomo-rzutująca (prostopadła do pi 1 )

-pionowo rzutująca - prostopadła do pi 2

Niezmiennik kąta prostego w rzucie prostokątnym:

Kąt prosty o co najmniej jednym ramieniu równoległym do rzutni jest w rzucie prostokątnym zachowany.

Prosta prostopadła do płaszczyzny:

Prosta jest prostopadła do plasczyzny jeśli jest prostopadła do dwóch prostych przecinających się tej płaszczyny.

Prosta jest równoległa do płaszczyzny jeśli jest równoległa do jakiejść prostej tej płaszczyny

Płaszczyzny równoległe:

Płaszczyzna β jest równoległa do pł α jeśli zawiera co najmneij dwie proste przecinające się równoległe do płaszczyzny α

Płaszczyzny wzajemnie prostopadłe:

Pł. β jest prostopadła do płaszczyzny α jeśli zaiwera prostą prostopadłą do płaszczyny α.

Transformacja względem rzutni poziomej π1⊥π2 π1⊥π3

Transformacja względem rzutni pionowej : π1⊥π2 π2⊥π3

Transformacje prostej:

-wprowadzamy rzutnie równoległą do α (π3)

-potem prostopadłą do otrzymanego rzutu tej prostej ( W trzecim rzucie otrzymamy kat jaki tworzy z rzutnią pi 1)

-otrzymyamy odległość od rzutni w ostatecznym rzucie

Transformacje płaszczyzny np. α(ABC)

-rzutnia prostopadła do prostej poziomej (u ogóry równoległa na dole zrzutowana (dowolnie ułożona))

-rzutnia równoległa do otrzymanego rzutu prostej

otrzymamy rzeczywiste wymiary trójkąta(płaszczyny)

Grafika komputerowa:

-wektorowa (matematyczny opis rysunku, łatwa skalowalność, małe wymagania pamięciowe, suże wymagania obliczeniowe, rasteryzacja - konwersja do postacji rastrowej.

-rastrowa - tablica punktów, duże wymagania pamięciowe, wektoryzacja - konwerscja do postaci wektorowej

WEKTOROWA:

-zapamiętywane są charakterystyczne dane dla konkretnego obiektu (dla okręgu środek i promień, dla odcinka współrzędne punktów końcowych itp. Grubość, kolor)

-możliwość dowolnego ich powiekszania bez straty jakości.

-grafika w pełni skalowalna

G. RASTROWA

-do zapamiętywania obrazu potrzebna jest dwuwymiarowa tablica pikseli - zwana bitmapą

Model barw RGB - ukierunkowany na sprzęt tworzący barwę w wyniku emisji światła , wykorzystywany w skanerach, aparatach cyfrowych.

Model CMY - ukierunkowany na drukarki.

Obraz cyfrowy zależy od ilości i jakości informacji cyfrowej:

-głębi barw (ilość inf. Opisującą barwę piksela)

-sposobu kompresji obrazu(zapisu)

-uwzględniania ziarnistości

Monitor prezentuje obraz ziarniście jako złożenie pojedynczych jednobarwnych pikseli.

Formaty graficzne związane z grafiką rastrową (nieskalowalne):

-bmp, gif, tiff, jpg, png

Formaty graf. Zw. z grafiką wektorową (skalowalne):

-wmp, eps, ps, hpgl, dxf (autocad, rysunki techniczne), svg, cdr (corel)

Aksonometria

-rzut równoległy, odwzorowanie przestrzeni na płaszczyznę z wykorzystaniem prostokątkego układu osi.

Trójkąt śladów aksonometrycznych jesgo boki leżą na krawędziach płaszczyzn układu XYZ z rzutnią aksonometryczną. Kierunek rzutów nie może być równoległy do żadnej z osi układu XYZ ,an do żadnej z płaszczyzn ukłądu.

Rzut aksonometryczny punktu, punkt określony jest jednoznacznie gdy dane są:

-jego rzut aksonometryczny

-aksonometria chociaż jednego jego rzutu prostokątnego

Podział aksonometrii ze względu na kierunek rzutowania:

-aksonometria prostokątna- kierunek jest prostopadły do rzutni

-ukośna - kierunek nie jest prostopadły

Podział ze wzgl. Na kierunek rzutowanych osi układu prostokątnego:

-izometria - wszystkie osie ukłądu prostokątnego tworzą w przestrzeni jednakowy kąt z rzutnią i ich obrazy ulegają jednakowemu skrótowi - na rzutni powstaje obraz trzech osi tworzących pomiędzy sobą kąty po 120^o.

-dimetria - diwe z osi układu prostokątnego tworzą z rzutnią jdnakowe kąty

-anizometria - każda z osi układu prostokątnego tworzy z rzutnią inny kąt i podlega innemu skrótowi.

Własności aksonometrii:

-obowiązują niezmienniki rzutu równoległego:

-obiekty trójwymiarowe na figury płaskie

-odcinek to odcinek, może mieć skróconą długość lub być punktem

-odcinki równoległe są równoległe

-okrąg jest okręgiem lub zmienia się w elipsę

Twierdzenie Pohlke'go:

Trzy odcinki leżące na rzutni i wychodzace z jednego punktu Oa, ale nie leżące na jednej prostej, równej długości wychodzących z punktu O i wzajemnie prostopadłych.

Zatem:

Każde trzy niewspółliniowe odcinki o wspólnym początku mogą być rzutem aksonometrycznym trzech wersorów (odcinków jednostkowych) osi układu przestrzennego XYZ.

Liczby λ_x=e_x/e .... nazywamy skrótami aksonometrycznymi osi.

Aksonometria ukośna:

-można dowolnie przyjąc kąty pomiędzy osiami aksonometrycznymi, przy założeniu ze nie leżą one na jednej prostej

-dowolnie przyjęte odcinki na tych osiach można uważać za rzuty odcinków jednakowej długości.

Aksonometria kawalerska (ukośna):

-wszystkie układu płaskie równoległe do rzutni x_az_a lub y_az_a są odwzorowane bez zniekształceń.

-stosunki skróceń to λ_y= ½ lub ¾ lub ²/₃

Aksonometria wojskowa (ukośna):

-wszytskie układu płaskie równoległe do rzutni xaya są odwzorowane bez zniekształceń x_ay_a

stosunek skróceń λ_z= ²/₃ (¹/₁)

Aksonometria prostkątna - kierunek prostopadły do rzutni. Trójkąt śladów ma własności: osie aksonometryczne są prostymi na których leżą wysokości tego trójkąta

Skróty aksonometryczne można wyznaczyć:

-gdy dane są osie i ich kąty z rzutnią

-dany jest trójkąt śladów aks.

-za pomocą stosunku skróceń na poszczególnych osiach

rodzaje aksonometrii prostokątnej:

-izometria - trójkąt równoboczny

-dimetria - równoramienny

-anizometria -trójkąt dowolny, każda oś ma inne skrócenie

Oprogramowanie typu CAD:

Systemy GIS (SIT) - nowoczesna grafika komputerowa w łączeniu map terenu z informacjami opisowymi pochodzącymi z baz danych

Dwie metody rzutowania prostokątnego:

-wg metody europejskiej (met. Pierwszego kąta)

-wg metody amerykańskiej(met trzeciego kąta)

Powierzchnie topograficzne:

Powierzchnie dzielimy ze względu na sposób opisu:

-matematyczne (algebraiczne)-dające się opisać funkcjami algebraicznymi

-graficzne(niealgebraiczne)

Prosta styczna do powierzchni w punkcie to styczna w tym punkcie do krzywej na tej powierzchni.

Płaszczyzna styczna do powierzchni w sanym punkcie zaiwera wszystkie proste styczne do powierzchni w tym punkcie.

Odwzorowanie powierzchni topograficznej:

-powierzchnia topograficzna przedstawiana jest najczęsciej za pomocą jej planu warstwicowego;

-rzutnia zwana takąze płaszczyzną porównanwczą, przeprowadzona na wysokości poziomu morza, jest prostopadła do kierunku pionowego,

-wzajemnie odległości płaszczyzn warstwowych są zależne od wymaganej dokładności i zwykle wynoszą 10m, 5m, 2m, 1m.

Moduł i nachylenie powierzchni:

Tw. Jeżeli w punkcie P powierzchni istenieje płaszczyzna styczna, to prosta styczna do warstwicy powierzchni w punkcie P jest warstwią płaszczyzny stycznej.

Moduł i nachylenie linii spadu płaszczyzny stycznej do pwierzchni w punkcie P nazywamy modułem i nachyleniem powierzchni w tym punkcie.

Profil powierzchni to przekrój tej powierzchni płaszczyzną pionową

Krzywe do powierzchni

Linie spadu powierzchni to linia o tej własności, że styczna w dowolnym jej punkcie jest równocześnie linią spadu płaszczzny stycznej do powierzchni w tym punkcie.

Linia stokowa powierzchni to krzywa o styłym nachyleniu różnym od zera.

Powierzchnia stokowa - ma stałe nachylenie w każdym swoim punkcie.

Charakterystyczne punkty i linie powierzchni topograficznej:

-punkty szczytowe - tereny otaczające te punkty nazywamy szczyami lub kopami. Przez te punkty przechodzi nieskończenie wiele linii spadu, a wody atmosferyczne spływają od punktu.

-punkty kotlinowe: otaczające tereny to kotliny, Przez te punkty przechodzi nieskończenie wiele linii spadu, a wody atmosferyczne spływają do punktu.

-punkty siodłowe - otaczjaące je tereny to siodła, przez każdy takipunkt przechodzą dwie linie spadu :

linia grzbietowa, linie spadu oddalają się od niej w przeciwne strony, a tereny w pobliżu po obu stronach nazywamy grzbietem

-linia ściekowa; linie spadu przybliżają się do niej obu stron, część terenu po jej obu stronach nazywamy ściekiem lub żlebem.

Rzut cechowany - rzut prostokątny na jedną płaszczyznę - rzutnię.

Cecha punktu - odległość punktu od rzutni poprzedzona znakierm + lub -

Rzutem prostej jest prosta lub punkt jeśli prosta jest prostopadła do rzutni.

tgϕ=j/ μ_a*j n_a= tgϕ μ_a=1/n_a (moduł)

Płaszczyzna w rzucie określona jest prostymi poziomymi zw. warstwicami.

Prostą prostopadłą do warstwic nazywamy linią spadu płaszczyzny.

Punkt przebicia prostej z plaszczyzną

1.Przez prostą a prowadzimy dowolną płaszczynę

2.Wyznaczamy krawędz dwóch płaszczyn (k)

3.Punkt wspólny krawędzi k i prostej a jest szukanym punktem P.

4. Okreslamy cechę punktu z wierdzienia talesa.

Kład prostokątny = obrót o kąt 90^o, wokół prostej leżącej na rzutni lub do niej równoległej - osi obrotu.

Zadanie - Dana jest płaszczyzna α i punkt A nie leżący na niej. Wyznacz odległość punktu A od płaszyczny.

1. Przez punkt A prowadzimy płaszczyznę ε⊥π,α

2. Wyznaczamy krawędź k płaszczyzn ε,α

3. Wykonujemy kład krawędzi k oraz punktu A.

4. Odległość kłądów punktu A i krawędzi k jest szukaną odległością.

Rzut środkowy

Elementy rzutu:

-rzutnia (tło) - płaszczyzna π

-srodek rzutu S(oko) - punkt S ∉π

-Sπ - rzut prostokątny środka rzutu S na π

Rzutem punktu jest punkt będący punktem przebicia prostej łączącej dany punkt ze środkeim rzutów, z rzutnią

Rzutem prostej przechodzacej przez środek S jest punkt.

Punkty leżące na płaszczyznie równoległej do rzutni i przechodzącej przez środek rzutów nie mają rzutów właściwych. Płaszczyznę tę nazywamy płaszczyzną zniknienia πz kreską.

Odległość d(S,Sπ) nazywamy odległością obrazową lub odległościa oddalenia.

Rzutem prostej nie przechodzącej przez środek S jest prosta.

Ślad zbiegu utożsamiamy z kierunkiem prostej.

Proste równoległe mają ten sam kierunek, zatem mają wspólny ślad zbiegu.

Kąt prostej z rzutnią

Z położenia punktu Z_a względem okręgu możemy określić zakres kąta ϕ:

<45 ^o - za zewmnątrz okręgu

=45 ^o - na okręgu

<45 ^o - wewnątrz okręgu

=90 ^o - Z_a = S_π

Niezmienniki rzutu środkowego:

-współliniowość punktów

-kąty w płaszczyznach równoległych do tła

-stosunek podziału na prostych równoległych do tła

-dwustosunek czwórki punktów

(ABCD)=AC|BC : AD|BD

Prosta równoległa do płaszczyny

Tw. Prosta jest równoległa do danej płaszczyzny jeśli jest równoległa do jakiejs prostej leżącej na tej płaszczyźnie.

Warunek równoległości: Z _prostej należy do z _płaszczyzny

Zadanie : przez dany punkt poprowadź prostą b równoległą do danej płaszczyzny alfa

1. przez punkt A rysujemy dowolną prostą b równoległą do α

2. rysujemy ślady płaszczyzny γ(a,b)

3. punkt przecięcia śladu tγ z rzutem prostej b jest jej śladem tłowym T_b

Tw. Płaszczyzny równoległe - płaszczyzna jest równoległa do drugiej pł., jeśli zaiwera dwie rpste przecinające się równoległe do tej płaszczyzny.

Punkt mierzenia prostej - Jeśli odcinek AB jest równoległy do rzutni, punktem mierzenia może być dowolny punkt M należący do zα.

Punkt Ma należący do zα (płaszczyzny w której leży prosta) nazywamy punktem mierzenia prostej b. Służy on do wyznaczania rzeczywistych wymiarów odcinków leżących na danej prostej.

Punkt mierzenia dla prostej prostopadłej. Punkt mierzenia porstej p leży na śladzie zbiegu płaszczyzny γ zawierającej tę prostą.

Odległość punktu mierzenia Mp od środka rzutów jest w tym przypadku równa długośći odcinka Z_pS_x

1)Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna do siebie prostopadłe

Płaszczyznę w przestrzeni jednoznacznie wyznaczają:

1^o trzy punkty nie leżące na jednej prostej, albo 2^o prosta i punkt poza nią leżący

3^o dwie przecinające się proste 4^o dwie równoległe proste.

Wynika to z określenia równoległości dwu prostych.

a) prosta, która ma dwa punkty wspólne z płaszczyzną, leży całkowicie na tej płaszczyźnie; b) jeżeli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to muszą mieć i drugi, czyli linią przecięcia się dwóch płaszczyzn jest linia prosta;

c) płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwie części, czyli dwa obszary, to znaczy, że odcinek, łączący dwa punkty w przestrzeni, położone w różnych jej częściach, przecina płaszczyznę.

Zastanawiając się następnie nad położeniem dwóch prostych w przestrzeni, stwierdzamy, że albo one mają jeden punkt wspólny, albo nie mają żadnego.

W pierwszym przypadku proste przecinają się ze sobą i wyznaczają płaszczyznę,Jeżeli dwie proste, nie mające żadnego punktu wspólnego, leżą na jednej płaszczyźnie, to są do siebie równoległe. Może się jednak zdarzyć tak, że mamy prostą AB (rys. 180) położoną na płaszczyźnie P i prostą CD, przecinającą(tj. mającą z płaszczyzną tylko jeden punkt wspólny) tę płaszczyznę w pewnym punkcie E nie leżącym na prostej AB.

Wtedy proste AB i CD nie mają punktu wspólnego i nie ma takiej płaszczyzny, która zawierałaby obie te proste. Takie proste nazywamy skośnymi albo wichrowatymi.

Mając daną w przestrzeni prostą AB (rys. 181), możemy zawsze z pewnego jej punktu C wystawić prostopadłą. Należy wtedy przez tę prostą przesunąć jakąkolwiek płaszczyznę, np. P i wystawić prostopadłą CD, położoną na tej płaszczyźnie.

Ale, jak wiemy, przez daną prostą możemy przesunąć jeszcze inną płaszczyznę, np. Q, i znowu poprowadzić CE prostopadłą do AB. Możemy tych płaszczyzn poprowadzić przez AB nieskończoną ilość, a więc i prostopadłych do AB, wystawionych z punktu C, będzie w przestrzeni nieskończona ilość. Równocześnie prosta AB będzie wtedy prostopadła do nieskończonej ilości prostych w przestrzeni poprowadzonych przez dany punkt na tej prostej. Twierdzenie. Jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch prostych w przestrzeni poprowadzonych przez dany punkt na niej to jest ona prostopadła do każdej prostej poprowadzonej przez ten punkt i położonej na płaszczyźnie wyznaczonej przez pierwsze dwie proste.

1. Płaszczyznę, na której są położone wszystkie proste prostopadłe do danej prostej w pewnym jej punkcie, nazywamy płaszczyzną prostopadłą do prostej. Odwrotnie prostą, która jest prostopadła do dowolnej prostej, położonej na płaszczyźnie, poprowadzonej przez punkt przecięcia, nazywamy prostą prostopadłą do płaszczyzny.

Na podstawie poprzednich dwóch twierdzeń możemy powiedzieć:

miejscem geometrycznym wszystkich prostych w przestrzeni prostopadłych do danej prostej w pewnym jej punkcie jest płaszczyzna prostopadła do tej prostej przez ten punkt poprowadzona.

2. Z tych twierdzeń widzimy również, że koniecznym i wystarczającym warunkiem prostopadłości danej prostej do płaszczyzny jest ten, aby była ona prostopadła do dwóch prostych położonych na tej płaszczyźnie i przechodzących przez ich punkt przecięcia.

3. Ponieważ każda z prostych BC, BD i BE (rys. 182) jest prostopadła do odcinka KK' i przechodzi przez jego środek B, więc

miejscem geometrycznym punktów w przestrzeni, jednakowo oddalonych od dwóch punktów danych, jest płaszczyzna prostopadła do odcinka, łączącego dane punkty i przechodząca przez jego środek.

Ta płaszczyzna nazywa się płaszczyzną symetrii danego odcinka. .

() Twierdzenie. Dwie proste prostopadłe do tej samej płaszczyzny, są do siebie równoległe.

(). Twierdzenie. Dwie proste w przestrzeni równoległe do trzeciej są do siebie rownolegle

1) Rzutem punktu na płaszczyznę nazywamy spodek prostopadłej, opuszczonej z danego punktu na płaszczyznę, np. rzutem punktu A na płaszczyznę P będzie punkt B (rys. 191), w którym prostopadła przecina się z tą płaszczyzną.

Jeżeli ze wszystkich punktów danej linii lub figury poprowadzimy prostopadłe do danej płaszczyzny, to zbiór spodków tych prostopadłych, czyli miejsce geometryczne rzutów wszystkich punktów linii lub figury, nazywamy rzutem tej linii lub figury na płaszczyznę.

Aby otrzymać rzut prostej AB (rys. 192) na płaszczyznę P, powinniśmy znaleźć rzut każdego jej punktu, łatwo jednak zrozumieć na podstawie poprzednich twierdzeń że wszystkie prostopadłe, wyprowadzone z punktów danej prostej do płaszczyzny będą leżały w jednej płaszczyźnie i rzut prostej AB otrzymamy, łącząc rzuty A' i B' dwóch punktów tej prostej.

Jeżeli dana prosta jest prostopadła do płaszczyzny rzutów, to jej rzutem będzie punkt. Jeżeli prosta przecina płaszczyznę rzutów, to dla wykreślenia jej rzutu wystarczy znaleźć rzut jednego jej punktu poza punktem przecięcia z płaszczyzną.

1. Prostopadła jest krótsza od wszelkiej pochyłej wyprowadzonej z tego samego punktu i odwrotnie, najkrótszy odcinek łączący dany punkt z płaszczyzną jest odcinkiem prostopadłej.

2. Dwie pochyłe są równe, jeżeli ich rzuty są równe, i odwrotnie z równości rzutów wnosimy o równości pochyłych.

3. Z dwóch pochyłych ta jest większa, która ma rzut większy, i odwrotnie, jeśli rzut jest większy, to większa jest pochyła.

Widzimy zatem, że najmniejszą odległością punktu od płaszczyzny jest odcinek prostopadłej poprowadzonej z tego punktu do płaszczyzny. Tym właśnie odcinkiem mierzy się odległość punktu od płaszczyzny.

Prosta położona na płaszczyźnie i prostopadła do rzutu pochyłej jest prostopadła do tej pochyłej.

Tę własność nazywamy twierdzeniem o trzech prostopadłych.

Kąt ostry, który pochyła tworzy ze swoim rzutem na płaszczyznę, nazywamy kątem nachylenia tej prostej do płaszczyzny. Np. kątem nachylenia prostej AC do płaszczyzny P (rys. 194) jest kąt ACB. O kącie tym możemy dowieść, że jest najmniejszy z kątów, jakie dana prosta tworzy z prostymi, poprowadzonymi na płaszczyźnie przez jej spodek Prosta i płaszczyzna do siebie równoległe

Określenie. Wiemy, że prosta może mieć z płaszczyzną dwa punkty wspólne - wtedy leży całkowicie na płaszczyźnie. Może mieć z płaszczyzną jeden punkt wspólny - wtedy ją przecina i bywa, jak to już widzieliśmy, albo prostopadła do płaszczyzny, albo do niej pochyła. Można jednak wyobrazić sobie prostą, która nie ma żadnego punktu wspólnego z płaszczyzną - taką prostą nazywamy równoległą do tej płaszczyzny. Twierdzenie. Prosta w przestrzeni równoległa do innej prostej położonej na danej płaszczyźnie jest równoległa do tej płaszczyzny.

Prosta i płaszczyzna do siebie równoległe Twierdzenie. Prosta w przestrzeni równoległa do innej prostej położonej na danej płaszczyźnie jest równoległa do tej płaszczyzny.Jeżeli z dowolnych punktów prostej równoległej do płaszczyzny poprowadzimy odcinki prostopadłe do tej płaszczyzny, to będą one sobie równe i dlatego odległość dowolnego punktu równoległej prostej od danej płaszczyzny nazywamy odległością prostej równoległej od tej płaszczyzny.

Płaszczyzny do siebie prostopadłe Dwie płaszczyzny, które tworzą ze sobą kąt prosty, nazywamy prostopadłymi. Twierdzenie Dowolna płaszczyzna przesunięta przez prostą prostopadłą do danej płaszczyzny jest prostopadła do tej płaszczyzny. Twierdzenie. Jeżeli dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, to prosta położona na jednej z nich i prostopadła do ich krawędzi jest prostopadła do drugiej. Twierdzenie. Jeżeli dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, to prosta wyprowadzona z punktu położonego na jednej z nich i prostopadła do drugiej leży całkowicie na pierwszej płaszczyźnie

---