Król Michał

2011/12

II ROK GR 5

MECHANIKA BUDOWLI

PROJEKT NR. 3

Kraków

21.05.2012

Zadanie:

Obliczyć linie wpływu sił przekrojowych w przekroju belki w pkt K metodą sił

Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności

SSN = 2

Przyjęcie układu podstawowego metody sił – UPMS

- stan jednostkowy x₁

- stan jednostkowy x₂

- stan P

s₁ ∈ (0,6)

s₂ ∈ (0,6)

s₃∈ (0,3)

δ₁₁ = $\frac{2}{\text{EJ}}$

δ₁₂= $\frac{4}{\text{EJ}}$

δ₂₂=$\frac{1}{\text{EJ}}$

Określenie układu równań metody sił -URMS

$$\left\{ \begin{matrix} \delta_{11}X_{1}(s) + \delta_{12}X_{2}(s) + \delta_{1P}(s) = 0 \\ \delta_{21}X_{1}(s) + \delta_{22}X_{2}(s) + \delta_{2P}(s) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

δ_1P(s)

s₁ ∈ (0,6)

δ_1P(s₁) = $\frac{1}{\text{EJ}}\ $[ $\frac{1}{2}6$(6 - s₁)$\ \frac{1}{3}$ - $\frac{1}{2}$(6 - s₁) (6 - s₁)$\ \frac{1}{3}$ (1 -$\ \frac{s_{1}}{6}$)] = 2$s_{1} - \ \frac{1}{2}s_{1}^{2}\ $+ $\frac{1}{36}s_{1}^{3}$

s₂ ∈ (0,6) δ_1P(s₂) = 0

s₃∈ (0,3) δ_1P(s₃) = 0

δ_2P(s)

s₁ ∈ (0,6)

δ_2P(s₁) = $\frac{1}{\text{EJ}}$ ($\frac{1}{2}6\ s_{1}\ \frac{1}{3}$ - $\frac{1}{2}s_{1}s_{1}\ \frac{1}{3}$ $\ \frac{s_{1}}{6}$) = s₁- $\frac{1}{36}s_{1}^{3}$

s₂ ∈ (0,6)

δ_2P(s₂) = $\frac{1}{\text{EJ}}\lbrack\frac{1}{2}6$(6 - s₂)$\ \frac{1}{3}$ - $\frac{1}{2}$(6 - s₂) (6 - s₂)$\ \frac{1}{3}$ (1 -$\ \frac{s_{2}}{6}$)] = 2$s_{2} - \ \frac{1}{2}s_{2}^{2}\ $+ $\frac{1}{36}s_{2}^{3}$

s₃∈ (0,3)

δ_2P(s₃) = $\frac{1}{\text{EJ}}$ [-$\ \frac{1}{6}\ x$ 6 x 1 s₃] = - $\frac{1}{\text{EJ}}$ s₃

s₁ ∈ (0,6)

$$\left\{ \begin{matrix} 2X_{1}(s_{1}) + X_{2}(s_{1}) + 2s_{1} - \ \frac{1}{2}s_{1}^{2}\ + \ \frac{1}{36}s_{1}^{3} = 0 \\ X_{1}(s_{1}) + 4X_{2}(s_{1}) + \ s_{1} - \ \frac{1}{36}s_{1}^{3} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

X₁ =   $\frac{1}{96}s_{1}^{3} - \ \frac{1}{16}s_{1}^{2}\ $

X₂ = $\frac{2}{72}s_{1}^{3} + \ \frac{1}{4}s_{1}^{2} - s_{1}$

s₂ ∈ (0,6)

$$\left\{ \begin{matrix} 2X_{1}(s_{2}) + X_{2}(s_{2}) = 0 \\ X_{1}(s_{2}) + 4X_{2}(s_{2}) + \ 2s_{2} - \ \frac{1}{2}s_{2}^{2}\ + \ \frac{1}{36}s_{2}^{3} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

X₁ =   $\frac{1}{252}s_{2}^{3} - \ \frac{1}{14}s_{2}^{2}\ + \frac{2}{7}s_{2}$

X₂ = - $\frac{1}{126}s_{2}^{3} + \ \frac{1}{7}s_{2}^{2} - \frac{4}{7}s_{2}$

s₃∈ (0,3)

$$\left\{ \begin{matrix} 2X_{1}(s_{3}) + X_{2}(s_{3}) = 0 \\ X_{1}\left( s_{3} \right) + 4X_{2}\left( s_{3} \right) - s_{3} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

X₁ =  − $\frac{1}{7}s_{3}$

X₂ = $\frac{2}{7}{\ s}_{3}$

Linie wpływu sił hiperstatycznych - X₁, X₂

Linia wpływu reakcji  V_A

s₁ ∈ (0,6)

∑ M_B = 0

6V_A(s₁) + X₁(s₁) - X₂(s₁) - (6 - s₁) = 0

V_A(s₁)= $\frac{5}{16}s_{1}^{2} - {2s}_{1}$ + 1

s₂ ∈ (0,6)

∑ M_B = 0

6V_A(s₂) + X₁(s₂) - X₂(s₂) = 0

V_A(s₂) =   $\frac{1}{42}s_{2}^{2} - \frac{1}{7}s_{2}$

s₃∈ (0,3)

6V_A(s₃) + X₁(s₃) - X₂(s₃) = 0

V_A(s₃) = $\frac{1}{14}s_{3}$

s1, s2,s3	VA
0	$\frac{5}{16}s_{1}^{2} - {2s}_{1}$ + 1
1
2
3
4
5
6
0	$$\frac{1}{42}s_{2}^{2} - \frac{1}{7}s_{2}$$
1
2
3
4
5
6
0	$$\frac{1}{14}s_{3}$$
1
2
3

Linia wpływu reakcji - V_A [kN]

Linie wpływu sił przekrojowych - M_k Q_k

s₁ ∈ (0,4)

M_k(s₁) = 4 V_A + X₁(s₁) - 1(4 - s₁)

Q_k(s₁) = V_A(s₁)  − 1

s₁ ∈ (4,6)

M_k(s₁) =4 V_A (s₁) + X₁(s₁)

Q_k(s₁) = V_A(s₁) 

s₂ ∈ (0,6)

M_k(s₂) =4 V_A(s₂) + X₁(s₂)

Q_k(s₂) = V_A(s₂)

s₃∈ (0,3)

M_k(s₃) =4 V_A(s₃) + X₁(s₃)

Q_k(s₃) = V_A(s₃)

Linia wpływu reakcji  M_K [kNm]

s1, s2,s3	MK
0	Mk(s1) = 4 VA + X1(s1) - 1(4 - s1)
1
2
3
4
5
6
0	Mk(s2) =4 VA(s2) + X1(s2)
1
2
3
4
5
6
0	Mk(s3) =4 VA(s3) + X1(s3)
1
2
3

Linia wpływu reakcji  Q_K [kN]

s1, s2,s3	QK
0	Qk(s1) = VA(s1)  − 1
1
2
3
4
5
6
0	Qk(s2) = VA(s2)
1
2
3
4
5
6
0	Qk(s3) = VA(s3)
1
2
3