Król Michał

2011/12

II ROK GR 5

MECHANIKA BUDOWLI

PROJEKT NR. 2

Kraków

21.05.2012

Zadanie nr.1

Sporządzić wykres sił przekrojowych metodą sił

SSN = 2

Zastępczy układ statycznie wyznaczalny, geometrycznie niezmienny

Wykres momentów dla dla stanu x₁=1 x₂=1 i ich sumy

δ₁₁ =$\int_{}^{}\frac{M_{1}M_{1}}{\text{EJ}}\ \text{dx}$ =$\ \frac{1}{\text{EJ}}\text{\ \ }$+ $\frac{1}{2EJ}x2\ $= $\frac{2}{\text{EJ}}$

$\delta_{12} = \delta_{21} = \ \int_{}^{}\frac{M_{1}M_{2}}{\text{EJ}}$ dx =$\text{\ \ }\frac{1}{2EJ}x1\ $=$\ \frac{1}{2EJ}$

δ₂₂=$\int_{}^{}\frac{M_{2}M_{2}}{\text{EJ}}$ dx =$\ \frac{1}{\text{EJ}}$ $x\frac{4}{3}\ $+ $\frac{1}{2EJ}x2\ $=$\ \frac{7}{3EJ}$

Sprawdzenie:

M_s= M₁+M₂

δ₁₁ + δ₁₂ + δ₂₁ + δ₂₂ =$\ \frac{16}{3EJ}$

$\int_{}^{}\frac{M_{s}M_{s}}{\text{EJ}}$ dx =$\ \frac{1}{\text{EJ}}$ $\left( 1 + \frac{4}{3} \right)\ $+ $\frac{1}{2EJ}\ x\ 3\ $=$\ \frac{16}{3EJ}\ $= δ₁₁ + δ₁₂ + δ₂₁ + δ₂₂→ zgadza się

δ_1P=$\int_{}^{}\frac{M_{1}M_{p}}{\text{EJ}}$ dx =$\ \frac{1}{\text{EJ}}\left( - 18\ x\frac{1}{3} \right)$ + $\frac{1}{2EJ}\left( \frac{6^{3}}{8}\ x\ 0,5 \right)\ $=$\ \frac{0,75}{\text{EJ}}$

δ_2P=$\int_{}^{}\frac{M_{1}M_{p}}{\text{EJ}}\text{dx}$ =$\ \frac{1}{\text{EJ}}\left( 200x0,5 \right)$ + $\frac{1}{2EJ}\ \left( \frac{6^{3}}{8}\ x\ 0,5 \right)$ = $\frac{106,75}{\text{EJ}}$

Sprawdzenie:

$\int_{}^{}\frac{M_{s}M_{p}}{\text{EJ}}\text{dx\ }$= $\frac{1}{\text{EJ}}\left( - 6 + 100 \right)$ + $\frac{1}{2EJ}\ x\ 27\ $= $\frac{107,5}{\text{EJ}}$ =  δ_1P+ δ_2P → zgadza się

Układ równań kanonicznych metody sił:

$$\left\{ \begin{matrix} \delta_{11}X_{1} + \delta_{12}X_{2} + \delta_{1P} = 0 \\ \delta_{21}X_{1} + \delta_{22}X_{2} + \delta_{2P} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Rozwiązanie układu równań:

$$\begin{bmatrix} 2 & 0,5 \\ 0,5 & 7 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0,75 \\ 106,75 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

Obliczenie momentów przywęzłowych:

$\begin{bmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} - 3,5 \\ 15,5 \\ \end{bmatrix}$

Q₁^L= -12+16+ $\frac{3,5}{3}$ = 5,17

Q₂^L= 5,17$+ 14 - \frac{15,5}{6}$ = 16,59

Q₄^P=$- 50 + \frac{15,5}{4}$ = - 46,125

Q₃^P=$- 46,125 + 100 - 68 - \frac{3,5}{6}$ = -14,71

Wykres sił tnących

Wykres momentów zginających

Policzenie ekstremum

x₀= 6 x $\frac{16,59}{14,71 + 16,59}$ = 3,18

M(x₀) = -12x7,18 +16x6,18 +14x3,18

-6x3,18x3,18x0,5 = -26,9

Ostateczne wykresy sił przekrojowych

Zadanie 2

Sporządzić wykres sił przekrojowych metodą sił

SSN=2

Zastępczy układ statycznie wyznaczalny, geometrycznie niezmienny

Stan x₁=1

Stan x₂=1

Stan P

δ₁₁ =$\int_{}^{}\frac{M_{1}M_{1}}{\text{EJ}}\ \text{dx}$ =$\ \frac{1}{\text{EJ}}\ \left( 48 + 21,13 + 3,56 + 0,36 \right)\ $+ $\frac{1}{3EJ}x15\ $= $\frac{77,93}{\text{EJ}}$

$\delta_{12} = \delta_{21} = \ \int_{}^{}\frac{M_{1}M_{2}}{\text{EJ}}$ dx =$\ \frac{1}{\text{EJ}}\ \left( - 18 - 4,75 - 0,04 \right) - \ \frac{1}{3EJ}x20\ $=$\ \frac{- 29,46}{2EJ}$

δ₂₂=$\int_{}^{}\frac{M_{2}M_{2}}{\text{EJ}}$ dx =$\ \frac{1}{\text{EJ}}$ (9 + 4, 75 + 0, 59)+ $\frac{1}{3EJ}x26,67\ $=$\ \frac{23,23}{\text{EJ}}$

δ_1P=$\int_{}^{}\frac{M_{1}M_{p}}{\text{EJ}}$ dx =  =$\ \frac{840}{\text{EJ}}$

δ_2P=$\int_{}^{}\frac{M_{1}M_{p}}{\text{EJ}}\text{dx}$ = = $\frac{- 360}{\text{EJ}}$

Układ równań kanonicznych metody sił:

$$\left\{ \begin{matrix} \delta_{11}X_{1} + \delta_{12}X_{2} + \delta_{1P} = 0 \\ \delta_{21}X_{1} + \delta_{22}X_{2} + \delta_{2P} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Rozwiązanie układu równań:

$$\begin{bmatrix} 77,93 & - 29,46 \\ - 29,46 & 23,23 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 840 \\ - 360 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

Obliczenie sił :

$\begin{bmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 9,45 \\ - 3,51 \\ \end{bmatrix}$

Ostateczne wykresy sił przekrojowych:

-wykres momentów

- wykres sił tnących

-wykres sił normalnych