Wydział WIiTCh	Imię i nazwisko	Zespół	Data 07.01.2010
Grupa	Siatka dyfrakcyjna	Nr ćwiczenia 28	Ocena i podpis

1. Wprowadzenie do ćwiczenia

Siatka dyfrakcyjna to układ N wzajemnie równoległych i rozmieszczonych w równych odstępach szczelin. Odległość d środków sąsiednich szczelin nazywamy stałą siatki. Jeżeli na siatkę pada równoległa wiązka światła monochromatycznego o długości , to każda szczelina będzie źródłem pęku promieni ugiętych pod różnymi kątami. Otrzymany rozkład natężenia światła na ekranie jest podobny do obrazu otrzymanego w przypadku dwóch szczelin i składa się z serii prążków interferencyjnych, których względne natężenie modulowane jest przez obraz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny.

Promienie wychodzące ze wszystkich szczelin i tworzące z pierwotnym kierunkiem kąt α, będą się wzajemnie wzmacniały, gdy różnica dróg δ miedzy dwoma sąsiednimi ugiętymi promieniami równa jest wielokrotności długości fali:

n=0,1,2,3,…

Równanie to określa położenie maksimów głównych natężenia światła. Oznacza to, że odległość kątowa prążków jest określona stosunkiem λ/d i nie zależy od liczby szczelin N. Dla n = 0 otrzymujemy prążek zerowy odpowiadający wiązce nieugiętej, dla n = 1, 2, …, k otrzymujemy prążki ugięte pierwszego, drugiego, k-tego rzędu. Jeżeli padające światło jest mieszaniną fal o różnych długościach, to położenia maksimów natężenia odpowiadają różnym kątom α_n. Każdy rząd rozciąga się w widmo pierwszego, drugiego, n-tego rzędu. Liczba otrzymywanych rzędów jest ograniczona stałą siatki d, zgodnie z warunkiem: nλ/d ≤ 1.

Równanie poprzednie jest analogiczne do równania określającego położenia maksimów natężenia światła otrzymanego w wyniku interferencji na dwóch szczelinach. Ze wzrostem liczby szczelin N maleje szerokość maksimów głównych, pomiędzy nimi pojawia się N − 1 minimów bocznych oraz N − 2 maksimów wtórnych o bardzo małym natężeniu, wywołanych wzmacnianiem się promieni pochodzących z mniejszej liczby szczelin. Położenie kątowe k-tego minimum, leżącego pomiędzy kolejnymi maksimami głównymi określa równanie:

$$\sin\alpha_{k} = \frac{\text{kλ}}{\text{Nd}},\ k = 1,2,\ldots,N - 1$$

Dla k = N otrzymujemy już maksimum główne. Gdy rośnie liczba szczelin, w tym samym stosunku rośnie liczba minimów i maksimów wtórnych.

Interferencja fal polega na nakładaniu się dwóch lub więcej fal harmonicznych o tej samej długości, prowadzącym do powstania ustalonego w czasie przestrzennego rozkładu obszarów wzmocnienia i osłabienia fali wypadkowej.

Zjawisko to obserwujemy, gdy światło pada na dwie szczeliny. Fala ugięta na pojedynczej szczelinie oświetla ekran w sposób prawie równomierny, ugięte fale dają obraz interferencyjny składający się na przemian z jasnych i ciemnych prążków o prawie jednakowym natężeniu. W określonym punkcie P obserwujemy prążek jasny, jeśli dociera do niego równocześnie maksimum (minimum) pierwszej i drugiej fali. W przypadku spotkania się minimum jednej i maksimum drugiej fali, dochodzi do wygaszenia fal.

Jeżeli dyfrakcja następuje na jednej szczelinie to zależy od stosunku /a, gdzie a jest szerokością szczeliny. Zmieniając szerokość szczeliny możemy zmieniać położenie pierwszego ciemnego prążka. Dla bardzo wąskich szczelin może nastąpić wygaszenie w wyniku zjawiska dyfrakcji i fala ugięta na szczelinie oświetla centralnie część ekranu w sposób równomierny. Zjawisko dyfrakcji można łatwo zaobserwować dla wiązki światła laserowego. Jest ono w wysokim stopniu monochromatyczne i skolimowane w przeciwieństwie do źródeł konwencjonalnych (np. lamp) i nie zachodzi zacieranie się obrazu dyfrakcyjnego poprzez nakładanie się na siebie obrazów dyfrakcyjnych różnych długości fal czy też wytworzonych przez odległe punkty powierzchni źródła.

Dyspersją kątową siatki nazywamy wielkość:

Jest ona miarą odległości kątowej dwu linii utworzonych przez dwie monochromatyczne fale, których długości różnią się od siebie o Δλ. Dyspersja wzrasta wraz z rzędem widma, natomiast jest odwrotnie proporcjonalna do stałej siatki d.

Zdolność rozdzielcza siatki jest miarą zdolności siatki do rozdzielania dwóch blisko leżących linii widmowych. Wielkość tę wyrażamy wzorem:

gdzie jest średnią długością fali dwóch linii, które zostaną jeszcze rozdzielone, a jest różnicą ich długości. Zdolność rozdzielcza określa najmniejsza możliwa różnicę długości fali , jaką można rozdzielić w n-tym rzędzie przy użyciu siatki o N szczelinach.

Siatki dyfrakcyjne otrzymuje się przez nacinanie diamentowym ostrzem równoległych rys na szkle lub rowków na metalowej płycie. W siatkach transmisyjnych rysy nacinane są na szkle, przerwy między nimi pełnią rolę szczelin. W siatkach odbiciowych rysy nacinane są na polerowanej powierzchni metalu, a światło padające na miejsca pomiędzy rysami jest odbijane, dając taki sam rezultat końcowy, jak światło przechodzące przez siatkę transmisyjną. Holograficzne siatki dyfrakcyjne nanosi się na wklęsłe powierzchnie pokryte materiałem światłoczułym. Siatki te otrzymane techniką laserową posiadają wysoką zdolność rozdzielczą i wykazują niskie straty energii świetlnej.

2.Metoda pomiaru

W celu wyznaczenia długości fali emitowanej ze źródła należy zestawić przyrządy według rysunku.

Źródłem światła jest lampa rtęciowa emitująca widmo liniowe, złożone w części widzialnej z kilkunastu jasnych linii. Badane światło pada na szczelinę S o regulowanej szerokości umieszczonej w ognisku kolimatora. Dzięki temu wiązka światła padająca na siatkę jest wiązką promieni równoległych. Po ugięciu na siatce dyfrakcyjnej światło pada na soczewkę skupiającą, która ogniskuje promienie na ekranie, dając rzeczywiste obrazy szczeliny, ugięte pod różnymi kątami. Za pomocą tak zestawionego układu można wyznaczyć sinus kąta ugięcia dowolnego maksimum interferencyjnego:

$$\sin\alpha_{n} = \frac{y_{n}}{\sqrt{L^{2} + y_{n}^{2}}}$$

Równanie na różnicę dróg optycznych przyjmuje postać:

3. Wykonanie ćwiczenia

Obliczenie stałej siatki d oraz niepewności maksymalnej Δd:

gdzie:

d – stała siatki, d_ok – wielkość działki skali okularu,

d_w – wielkość działki mikrometrycznej skali wzorcowej,

k – liczba rys siatki,

k’ – liczba działek skali wzorcowej,

n, n’ – liczba działek siatki i skali wzorcowej.

dla n = n′:

$$d = \frac{d_{w} \bullet k^{'}}{k}$$

Po podstawieniu wartości otrzymanych z pomiarów:

n = n′=6 [dz], d_w = 0, 01 [mm]

k = 47, 5 [dz], k′=23 [dz]

$$d = \frac{0,01 \bullet 23}{47,5}\ \lbrack mm\rbrack = {4,8421 \bullet 10}^{- 06}\ \lbrack m\rbrack$$

Niepewność maksymalna d siatki:

, gdzie n′=n = 0, 5 [mm]

$$d = 4,8421 \bullet 10^{- 3} \bullet 2 \bullet \frac{0,5}{6}\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack = 8,0702 \bullet 10^{- 4}\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack = 0,8071 \bullet 10^{- 6}\ \lbrack m\rbrack$$

d = (4, 8421 ± 0, 8071)•10⁻⁶ [m]

Tabela pomiarowa

L = 0, 432 [m] L = 0, 5 [mm] =  5 • 10^−4 [m]
Rząd widma [n]
I
II

Długość fali każdej barwy

$$\lambda = d \bullet \frac{y_{n}}{n \bullet \sqrt{L^{2} + y_{n}^{2}}}$$

Dla rzędu pierwszego:

- barwa żółta:

$$\lambda = 4,8421 \bullet 10^{- 6} \bullet \frac{49 \bullet 10^{- 3}}{\sqrt{{0,432}^{2} + \left( 49 \bullet 10^{- 3} \right)^{2}}} = 546\ \lbrack nm\rbrack$$

-barwa zielona:

$$\lambda = 4,8421 \bullet 10^{- 6} \bullet \frac{46,5 \bullet 10^{- 3}}{\sqrt{{0,432}^{2} + \left( 46,5 \bullet 10^{- 3} \right)^{2}}} = 518\ \lbrack nm\rbrack$$

-barwa fioletowa:

$$\lambda = 4,8421 \bullet 10^{- 6} \bullet \frac{36,5 \bullet 10^{- 3}}{\sqrt{{0,432}^{2} + \left( 36,5 \bullet 10^{- 3} \right)^{2}}} = 408\ \lbrack nm\rbrack$$

Dla rzędu drugiego:

- barwa żółta:

$$\lambda = 4,8421 \bullet 10^{- 6} \bullet \frac{100 \bullet 10^{- 3}}{2 \bullet \sqrt{{0,432}^{2} + \left( 100 \bullet 10^{- 3} \right)^{2}}} = 546\ \lbrack nm\rbrack$$

-barwa zielona:

$$\lambda = 4,8421 \bullet 10^{- 6} \bullet \frac{94 \bullet 10^{- 3}}{2 \bullet \sqrt{{0,432}^{2} + \left( 94 \bullet 10^{- 3} \right)^{2}}} = 515\ \lbrack nm\rbrack$$

-barwa fioletowa:

$$\lambda = 4,8421 \bullet 10^{- 6} \bullet \frac{75 \bullet 10^{- 3}}{2 \bullet \sqrt{{0,432}^{2} + \left( 75 \bullet 10^{- 3} \right)^{2}}} = 414\ \lbrack nm\rbrack$$

Niepewność maksymalna dla widma żółtego rzędu I:

y_n=(49±0,5) [mm], λ=546 [nm]

$$\lambda_{\max} = \lambda \bullet \left\lbrack \left| \frac{d}{d} \right| + \left| \frac{y_{n}}{y_{n}} \bullet \frac{L^{2}}{L^{2} + y_{n}^{2}} \right| + \left| \frac{- L}{L^{2} + y_{n}^{2}} \bullet L \right| \right\rbrack$$

$$\lambda_{\max} = 546 \bullet 10^{- 9} \bullet \left\lbrack \left| \frac{0,8071}{4,8421} \right| + \left| \frac{5}{49} \bullet \frac{{0,432}^{2}}{{0,432}^{2} + \left( 49 \bullet 10^{- 3} \right)^{2}} \right| + \left| \frac{- 0,432}{{0,432}^{2} + \left( 49 \bullet 10^{- 3} \right)^{2}} \bullet 5 \bullet 10^{- 4} \right| \right\rbrack$$

λ_max = 15 [nm]

=(546 ± 15)[nm]

4. Wnioski

Największy wpływ na obliczenie długości fali odegrała niepewność wyniku wyznaczonej stałej siatki dyfrakcyjnej. Z otrzymanego wyniku stałej siatki dyfrakcyjnej możemy wnioskować, że pomiary zostały przeprowadzone prawidłowo, co miało duży wpływ na dalszą część doświadczenia. Skutkowało to tym, że barwy poszczególnych widm mieszczą się w granicach podanych w opracowaniach teoretycznych. Również niepewność maksymalna długości fali dla barwy żółtej rzędu I nie jest zbyt duża.