Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery

Laboratorium

Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu

SPRAWOZDANIE

Ćwiczenie nr 6

Temat ćwiczenia: System do pomiaru strumienia objętości wody za pomocą zwężki.

Wykonawca:

Imię i Nazwisko: Agata Matras

Nr indeksu: 192901

Wydział: Mechaniczno – Energetyczny

Rok studiów: I

Data wykonania ćwiczenia: 16.05.2013r.

Imię i Nazwisko prowadzącego: Dr inż. Monika Tkaczuk – Serafin

Data oddania sprawozdania: 29.05.2013r.

Ocena:

Poprawa:

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest sporządzenie charakterystyki przepływowej zwężki tj. zależności strumienia przepływu wody od ciśnienia różnicowego na kryzie oraz obliczenie niepewności pomiaru strumienia przepływu.

1. Opis przebiegu ćwiczenia

Przebieg ćwiczenia polegał na odczytywaniu z manometru rtęciowego różnic wysokości ciśnień oraz odpowiadających im strumieni objętości z przepływomierza wirowego „Ursaflux” dla określonej (i zmniejszanej) liczby obrotów pompy, zaczynając od 2800 obr/min.

1. Wyniki pomiarów

Tabela 1. Wyniki pomiarów liczby obrotów pompy, różnic ciśnień na manometrze oraz strumieni objętości na przepływomierzu.

Lp.	n −  obr/min	h/mm	qv/  m^3/h
1.	2800	578, 00	22, 1
2.	2480	468, 18	19, 7
3.	2250	369, 92	17, 7
4.	1820	283, 22	15, 4
5.	1500	208, 08	13, 3
6.	1200	144, 50	11, 1
7.	960	92, 48	9, 1
8.	710	52, 02	6, 8
9.	550	23, 12	5, 4
10.	450	5, 28	3, 8

Temperatura wody i powietrza na początku pomiarów:

t_w = 23

t_p = 23

Temperatura wody i powietrza po wykonaniu pomiarów:

t_w = 25

t_p = 25

Średnica otworu kryzy: d = 31, 4 mm

Średnica rurociągu: D = 50, 0 mm

Współczynnik przepływu kryzy: C = 0, 608

Ciecz manometryczna: rtęć

Liczba ekspansji: =1

1. Opracowanie wyników.

   1. Obliczenie strumienia objętości przepływającej wody.

Wzór na strumień objętości przepływającego płynu wyznacza się z równania:

$$q_{v} = \frac{C}{\sqrt{1 - \beta^{4}}}\frac{\pi d^{2}}{4}\sqrt{\frac{2p}{\rho}}$$

gdzie: C – współczynnik przepływu

β – przewężenie, $\beta = \frac{d}{D}$

– liczba ekspansji

d – średnica otworu kryzy

p – ciśnienie różnicowe na kryzie, p = (ρ_m−ρ)gh

ρ – gęstość przepływającego czynnika, $\rho = 1000\frac{\text{kg}}{m^{3}}$

ρ_m – gęstość cieczy manometrycznej (rtęci), $\rho_{m} = 13600\frac{\text{kg}}{m^{3}}$

Najpierw obliczymy ciśnienie różnicowe na kryzie:

$${p}_{1} = \left( \rho_{m} - \rho \right)g{h}_{1} = \left( 13600 - 1000 \right) \bullet 9,81 \bullet 0,578 = 71444,268\ \frac{\text{kg}}{m \bullet s^{2}}$$

Teraz obliczymy strumień objętości przepływu:

$$q_{v1} = \frac{C}{\sqrt{1 - \beta^{4}}}\frac{\pi d^{2}}{4}\sqrt{\frac{2{p}_{1}}{\rho}} = \frac{0,608}{\sqrt{1 - \left( \frac{0,0314}{0,05} \right)^{4}}}1\frac{3,1415 \bullet \left( 0,0314 \right)^{2}}{4}\sqrt{\frac{2 \bullet 257199364,8}{1000}} =$$

$$= 0,006124192\frac{m^{3}}{s} = 22,04709007\frac{m^{3}}{h}$$

Tabela 2. Wyniki obliczeń strumienia objętości i ciśnienia różnicowego dla pozostałych różnic wysokości.

Lp.	h /mm	p /Pa	$$q_{v}\ /\frac{m^{3}}{h}$$
1.	578, 00	71444, 268	22, 04709007
2.	468, 18	57869, 8571	19, 84238107
3.	369, 92	45724, 3315	17, 63767206
4.	283, 22	35007, 6913	15, 43296305
5.	208, 08	25719, 9365	13, 22825404
6.	144, 50	17861, 067	11, 02354504
7.	92, 48	11431, 0829	8, 818836029
8.	52, 02	6429, 98412	6, 614127022
9.	23, 12	2857, 77072	4, 409418014
10.	5, 28	652, 63968	2, 107193017

1. Niepewność pomiaru strumienia przepływu za pomocą kryzy.

Zakładając, że poszczególne wielkości wchodzące w skład powyższego równania są niezależne, ogólny wzór na niepewność standardową złożoną strumienia objętości wyraża się następująco:

$$u_{c}\left( q_{v} \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial q_{v}}{\partial C} \right)^{2}u^{2}\left( C \right) + \left( \frac{\partial q_{v}}{\partial d} \right)^{2}u^{2}\left( d \right) + \left( \frac{\partial q_{v}}{\partial D} \right)^{2}u^{2}\left( D \right) + \left( \frac{\partial q_{v}}{\partial} \right)^{2}u^{2}\left( \right) + \left( \frac{\partial q_{v}}{p} \right)^{2}u^{2}\left( p \right) + \left( \frac{\partial q_{v}}{\rho} \right)^{2}u^{2}\left( \rho \right)}$$

gdzie: u(C), u(d), u(D), u(), u(p), u(ρ) – niepewności standardowe wielkości składowych.

Po przekształceniach otrzymujemy:

$$\frac{u_{c}\left( q_{v} \right)}{q_{v}} = \sqrt{\left\lbrack \frac{u\left( C \right)}{C} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{u\left( \right)}{} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{2\beta^{4}}{1 - \beta^{4}} \right\rbrack^{2}\left\lbrack \frac{u\left( D \right)}{D} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{2}{1 - \beta^{4}} \right\rbrack^{2}\left\lbrack \frac{u\left( d \right)}{d} \right\rbrack^{2} + {\frac{1}{4}\left\lbrack \frac{u\left( p \right)}{p} \right\rbrack}^{2} + {\frac{1}{4}\left\lbrack \frac{u\left( \rho \right)}{\rho} \right\rbrack}^{2}}$$

Poszczególne składowe niepewności oblicza się w następujący sposób:

1. Względna niepewność standardowa współczynnika przepływu.

$$\frac{u\left( C \right)}{C} = \left( 1,667\beta - 0,5 \right)\%\ \ \ \ \ \ \ \ 0,6 \leq \beta \leq 0,75$$

$$\beta = \frac{d}{D}$$

gdzie: d – średnica otworu kryzy

D – średnica rurociągu

Zatem:

$$\beta = \frac{31,4}{50,0} = 0,628$$

Więc:

$$\frac{u\left( C \right)}{C} = \left( 1,667 \bullet 0,628 - 0,5 \right)\% = 0,546876 \approx 0,6\%$$

1. Względna niepewność standardowa liczby ekspansji.

$$\frac{u\left( \right)}{} = 4\frac{p}{p_{1}}$$

Dla wody, która jest nieściśliwa przyjmujemy =1 oraz $\frac{u\left( \right)}{} = 0$.

1. Względna niepewność standardowa średnicy rurociągu.

Do obliczeń można przyjąć wg PN- EN ISO 5167 błąd graniczny $\frac{_{g}\left( D \right)}{D} = 0,4\%$ stąd:

$$\frac{u\left( D \right)}{D} = \frac{\left\lbrack \frac{_{g}\left( D \right)}{D} \right\rbrack}{\sqrt{3}}$$

przy założeniu, że błędy mają rozkład prostokątny (metoda obliczeń typu B)

Zatem:

$$\frac{u\left( D \right)}{D} = \frac{\left( 0,4 \right)}{\sqrt{3}}\% = 0,230940107 \approx 0,24\%$$

1. Względna niepewność standardowa średnicy otwory zwężki.

Do obliczeń można przyjąć wg PN- EN ISO 5167 błąd graniczny $\frac{_{g}\left( d \right)}{d} = 0,07\%$ stąd:

$$\frac{u\left( d \right)}{d} = \frac{\left\lbrack \frac{_{g}\left( d \right)}{d} \right\rbrack}{\sqrt{3}}$$

przy założeniu, że błędy mają rozkład prostokątny (metoda obliczeń typu B).

Zatem:

$$\frac{u\left( d \right)}{d} = \frac{\left( 0,07 \right)}{\sqrt{3}}\% = 0,040414518 \approx 0,041\%$$

1. Względna niepewność standardowa gęstości wody.

Można przyjąć, że:

$$\frac{u\left( \rho \right)}{\rho} = 0,1\%$$

1. Względna niepewność standardowa ciśnienia różnicowego na zwężce.

Ponieważ p = (ρ_m−ρ)gh = ρgh to:

$$\frac{u\left( p \right)}{p} = \sqrt{\left\lbrack \frac{u\left( \rho \right)}{\rho} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{u\left( g \right)}{g} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{u\left( h \right)}{h} \right\rbrack^{2}}$$

Poszczególne składowe można przyjąć następująco:

• względna niepewność gęstości

$$\frac{u\left( \rho \right)}{\rho} = 0,1\%$$

• względna niepewność przyspieszenia ziemskiego

$$\frac{u\left( g \right)}{g} = 0,1\%$$

• względna niepewność różnicy wysokości ciśnień na kryzie

$$\frac{u\left( h \right)}{h}$$

u(h) = 0, 816mm

$$\frac{u\left( h \right)}{h} = \frac{0,816}{578} = 0,001411765 \approx 0,0015\%$$

Zatem:

$$\frac{u\left( p \right)}{p} = \sqrt{\left\lbrack \frac{0,1}{100} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{0,1}{100} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{0,0015}{100} \right\rbrack^{2}} = \sqrt{0,000001 + 0,000001 + 0,000000000225}$$

=0, 00141429311 ≈ 0, 0015%

Tabela 3. Wyniki obliczeń względnej niepewności standardowej ciśnienia różnicowego na zwężce dla pozostałych różnic wysokości.

Lp.	h /mm	$$\frac{u\left( h \right)}{h}\ /\%$$	$$\frac{u\left( p \right)}{p}\ /\%$$
1.	578, 00	0, 0015	0, 0015
2.	468, 18	0, 0018	0, 0015
3.	369, 92	0, 0023	0, 0015
4.	283, 22	0, 003	0, 0015
5.	208, 08	0, 004	0, 0015
6.	144, 50	0, 006	0, 0015
7.	92, 48	0, 009	0, 0015
8.	52, 02	0, 016	0, 0015
9.	23, 12	0, 036	0, 0015
10.	5, 28	0, 16	0, 0022

Niepewność standardowa strumienia objętości ma więc następującą wartość:

$$\frac{u_{c}\left( q_{v} \right)}{q_{v}} = \sqrt{\left\lbrack \frac{0,6}{100} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 0 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{2\left( 0,628 \right)^{4}}{1 - \left( 0,628 \right)^{4}} \right\rbrack^{2}\left\lbrack \frac{0,24}{100} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{2}{1 - \left( 0,628 \right)^{4}} \right\rbrack^{2}\left\lbrack \frac{0,041}{100} \right\rbrack^{2} + {\frac{1}{4}\left\lbrack \frac{0,0015}{100} \right\rbrack}^{2} + {\frac{1}{4}\left\lbrack \frac{0,1}{100} \right\rbrack}^{2}} =$$

$$= \sqrt{0,000036 + 0 + 0,000002121833595 + 0,0000003981236507 + 0,00000000005625 +}$$

$$\overset{\overline{}}{+ 0,00000025} = \sqrt{0,0000387700135} = 0,006226557114$$

$$u_{c}\left( q_{v} \right) = 0,006226557114 \bullet q_{v} = 0,006226557114 \bullet 22,04709007 = 0,137277466\frac{\text{m\ }^{3}}{h}$$

Niepewność całkowita wyraża się wzorem:

U(q_v) = k • u_c(q_v)

gdzie: k – współczynnik rozszerzenia; k = 2

$$U\left( q_{v1} \right) = k \bullet u_{c}\left( q_{v1} \right) = 2 \bullet 0,13727466 = 0,274554931\frac{\text{m\ }^{3}}{h}$$

Tabela 4. Wyniki obliczeń niepewności całkowitej dla pozostałych różnic wysokości.

Lp.	h /mm	uc(qv) /m^3/h	U(qv) /m^3/h
1.	578, 00	0, 137277466	0, 3
2.	468, 18	0, 123549719	0, 25
3.	369, 92	0, 109821972	0, 22
4.	283, 22	0, 096094226	0, 2
5.	208, 08	0, 082366479	0, 17
6.	144, 50	0, 068638733	0, 14
7.	92, 48	0, 054910986	0, 11
8.	52, 02	0, 04118324	0, 09
9.	23, 12	0, 027455493	0, 06
10.	5, 28	0, 013120558	0, 027

1. Charakterystyka dla wykonanej serii pomiarów.

Charakterystyka ta wyraża się równaniem:

$$q_{v} = \sqrt{h}$$

Zatem:

$$q_{v1} = \sqrt{{h}_{1}} = \sqrt{0,578} = 0,760263112$$

Tabela 5. Wyniki obliczeń charakterystyki dla pozostałych wysokości.

Lp.	h /m	$$q_{v} = \sqrt{h}\ \ /\sqrt{m}$$
1.	0, 578	0, 760263112
2.	0, 46818	0, 684236801
3.	0, 36992	0, 60821049
4.	0, 28322	0, 532184179
5.	0, 20808	0, 456157867
6.	0, 1445	0, 380131556
7.	0, 09248	0, 304105245
8.	0, 05202	0, 228078934
9.	0, 02312	0, 152052622
10.	0, 00528	0, 072663608

1. Wykres charakterystyki.

Wykres 1. Wykres charakterystyki z naniesionymi niepewnościami oraz wartości strumieni objętości odczytane z przepływomierza.

1. 
   Przedział niepewności.

Tabela 6. Przedział niepewności.

Lp.	$$q_{v} + U\left( q_{v} \right)\ /\frac{m^{3}}{h}$$	$$q_{v} - U\left( q_{v} \right)\ /\frac{m^{3}}{h}$$	$$q_{v}\ /\frac{m^{3}}{h}$$	qv − U(qv) < qv < qv + U(qv)
1.	22, 34709007	21, 7470901	22, 1	tak
2.	20, 09238107	19, 5923811	19, 7	tak
3.	17, 85767206	17, 4176721	17, 7	tak
4.	15, 63296305	15, 2329631	15, 4	tak
5.	13, 45825404	13, 118254	13, 3	tak
6.	11, 16354504	10, 883545	11, 1	tak
7.	8, 928836029	8, 70883603	9, 1	nie
8.	6, 704127022	6, 52412702	6, 8	nie
9.	4, 469418014	4, 34941801	5, 4	nie
10.	2, 134193017	2, 08019302	3, 8	nie

1. Wnioski.

• Z wykonanych obliczeń niepewności można zauważyć, że im większe h tym większa niepewność.

• Ponieważ trudno odczytać z wykresu, czy wartości z przepływomierza mieszczą się w przedziałach niepewności obliczonych dla kryzy, obliczono wartości q_v + U(q_v) i q_v − U(q_v). Następnie sprawdzono, czy wartości z przepływomierza mieszczą się pomiędzy nimi. W 6 przypadkach na 10 odpowiedź była pozytywna, W pozostałych przypadkach wartości z przepływomierza były za każdym razem większe niż obliczone na podstawie zmierzonego Δh.