Budowa funduszy inwestycyjnych (dywersyfikacja Markowitza)
Autorem teorii portfela wielu spółek jest Harry Markowitz, który po raz pierwszy przedstawił jej zasady w artykule opublikowanym w „Journal of Finance” w 1952 r. Polega ona na stworzeniu portfela akcyjnego składającego się z akcji kilku spółek w taki sposób, aby wykazywał cechy efektywnego.
Portfel efektywny jest to portfel, który:
dla danej oczekiwanej stopy zwrotu (ale wyższej od oczekiwanej stopy zwrotu portfela o minimalnym ryzyku) minimalizuje ryzyko (odchylenie standardowe),
dla danego ryzyka (odchylenia standardowego) maksymalizuje oczekiwaną stopę zwrotu .
Do budowy portfeli imitujący skład tworzonych funduszy inwestycyjnych wykorzystana została teoria portfelowa Markowitza. Obliczenia zostały wykonane w oparciu o miesięczne logarytmiczne stopy zwrotu z lat 2005-2007. Wyliczenia zostały wykonane w oparciu o wcześniej dobrane spółki przy wykorzystaniu dominacji stochastycznej (6 spółek). Wybrane spółki oraz ich podstawowe parametry zostały zaprezentowane w poniższej tabeli.
Tabela 1. Podstawowe parametry wybranych spółek
| Spółka/Parametr | Sa (oczekiwane ryzyko) | Ra (oczekiwana stopa zwrotu) | Beta |
|---|---|---|---|
| GETIN | 8,69% | 4,29% | 0,73 |
| BRE | 7,94% | 4,13% | 1,14 |
| INGBSK | 7,79% | 2,15% | 0,97 |
| PKOBP | 6,30% | 1,67% | 0,86 |
| PEKAO | 6,36% | 1,54% | 0,95 |
| ŻYWIEC | 6,32% | 0,94% | 0,07 |
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
W pierwszej kolejności wyznaczono zbiór portfeli efektywnych oraz linię rynku kapitałowego (CML) przy założeniu braku możliwości krótkiej sprzedaży (udziały poszczególnych spółek w portfelu wyłącznie dodatnie).
W rezultacie otrzymano następujące wyniki, które zostały ukazane na poniższym wykresie.
Wykres 1. Optymalizacja Markowitza przy założeniu braku krótkiej sprzedaży
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
Na powyższym wykresie linia niebieska to tzw. granica efektywna lub zbiór efektywny. Portfele należące do tego zbioru nazywają się portfelami efektywnymi. Tylko one są atrakcyjne dla inwestora, który kieruje się zasadą uzyskania jak najwyższej oczekiwanej stopy zwrotu i jak najniższego odchylenia standardowego. Linia czerwona to linia rynku kapitałowego – linia CML, która uwzględnia również udział aktywa wolnego od ryzyka (jego udział spada do zera w portfelu rynkowym). Założono miesięczną stopę wolną od ryzyka wynoszącą 0,5%. Z kolei punktem styczności linii CML z granicą efektywną jest punkt, który odpowiada portfelowi rynkowemu. Zielone punkty reprezentują zbiór dopuszczalnych jednoskładnikowych portfeli akcji.
W następnej kolejności przeprowadzono ponownie wcześniejsze obliczenia, jednakże założono możliwość krótkiej sprzedaży (udziały poszczególnych spółek w portfelu mogą być ujemne). W efekcie otrzymano następujące wyniki, które zostały zilustrowane na poniższym wykresie.
Wykres 2. Optymalizacja Markowitza przy założeniu możliwości krótkiej sprzedaży
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
Zgodnie z powyższym wykresem, widać, że możliwość krótkiej sprzedaży umożliwia osiągnięcie wyższych stóp zwrotu niż w przypadku jej braku, ponieważ krzywa portfeli efektywnych jest bardziej wypukła – w rezultacie umożliwia większe możliwości wyboru portfela efektywnego zgodnego z preferencjami inwestora. Jednakże krótka sprzedaż powoduje dużo większe ryzyko transakcyjne oraz w przypadku wielu spółek notowanych na polskim rynku kapitałowym transakcja krótkiej sprzedaży jest niedozwolona. Zgodnie z art. 107 regulaminu GPW:
„Przedmiotem zlecenia krótkiej sprzedaży, z zastrzeżeniem ust. 2 i 3, mogą być wyłącznie papiery wartościowe wpisane na listę, o której mowa w ust. 6, spełniające co najmniej jedno z poniższych kryteriów:
1) akcje wchodzące w skład indeksu giełdowego WIG20, lub
2) akcje biorące udział w rankingu płynności, o którym mowa w ust. 3, które spełniają łącznie poniższe warunki:
a) wartość akcji w wolnym obrocie wyliczona na dzień rankingu płynności akcji, o którym mowa w ust. 3, wynosi co najmniej 300 milionów złotych, oraz
b) średnia dzienna wartość obrotów akcji w okresie ostatnich 6 miesięcy wyliczona na dzień rankingu płynności akcji, o którym mowa w ust. 3, wynosi co najmniej 2 miliony złotych, lub
3) akcje, których wartość w wolnym obrocie w dniu ich pierwszego notowania stanowi lub stanowiła co najmniej 1% wartości akcji w wolnym obrocie wszystkich spółek uczestniczących w rankingu płynności akcji, o którym mowa w ust. 3, z zastrzeżeniem, że na podstawie tego kryterium akcje mogą być przedmiotem krótkiej sprzedaży jedynie w okresie 6 miesięcy od dnia ich pierwszego notowania, lub
4) papiery wartościowe emitowane przez Skarb Państwa lub Narodowy Bank Polski.
2. Przedmiotem zleceń krótkiej sprzedaży składanych przez członka giełdy w ramach wykonywania zadań animatora rynku, mogą być także akcje zajmujące nie niższą niż sto czterdziesta pozycję w rankingu płynności akcji, o którym mowa w ust. 3, pod warunkiem…”
Zgodnie z powyższym, zdecydowano się budować portfele funduszy inwestycyjnych biorąc jedynie pod uwagę zbiór portfeli efektywnych zakładających brak możliwości krótkiej sprzedaży. W rezultacie utworzono trzy fundusze inwestycyjne według następujących zasad:
Fundusz Inwestycyjny Business Angels Plejada 35 – maksymalizacja stopy zwrotu przy zadanym średnim poziomie ryzyka mierzonego odchyleniem standardowym.
Fundusz Inwestycyjny Business Angels Zbilansowany 55 – minimalizacja ryzyka przy zadanej średniej stopie zwrotu.
Fundusz Inwestycyjny Business Angels Bezpieczny 67 – minimalizacja ryzyka – portfel o globalnym minimalnym ryzyku.
Charakterystyka wybranych funduszy inwestycyjnych oraz portfela rynkowego została zaprezentowana w poniższej tabeli.
Tabela 2. Parametry wybranych portfeli funduszy inwestycyjnych oraz portfela rynkowego (koniec 2007 r.)
| Nazwa/Fundusz | Plejada 35 | Zbilansowany 55 | Bezpieczny 67 | Portfel rynkowy |
|---|---|---|---|---|
| Udziały portfeli | ||||
| GETIN | 14,22% | 26,52% | 19,53% | 38,9% |
| BRE | 85,78% | 14,90% | 0,01% | 40,2% |
| INGBSK | 0,00% | 0,00% | 0,06% | 0,0% |
| PKOBP | 0,00% | 20,41% | 32,26% | 0,0% |
| PEKAO | 0,00% | 0,00% | 3,39% | 0,0% |
| ŻYWIEC | 0,00% | 38,17% | 44,75% | 20,9% |
| Podstawowe parametry portfeli | ||||
| Beta portfela | 1,08 | 0,56 | 0,48 | 0,76 |
| Oczekiwana Rp | 4,15% | 2,45% | 1,85% | 3,52% |
| Oczekiwane Sp | 7,23% | 3,90% | 3,69% | 5,21% |
| Wskaźniki efektywności portfeli | ||||
| Wskaźnik Sharpe'a | 3,37% | 3,47% | 2,81% | 4,00% |
| Wskaźnik Treynora | 50,49% | 50,05% | 36,66% | 58,01% |
| Wskaźnik Jensena | 0,37% | 0,25% | -0,10% | 0,74% |
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
Zgodnie z powyższą tabelą, do funduszy agresywnego zostały wybrane jedynie dwa banki: Getin i Bre (z dużą przewagą Bre), które charakteryzują się najwyższą oczekiwaną stopą zwrotu. Z kolei do funduszu zbilansowanego wybrane zostały 4 spółki (największy udział Żywca), a fundusz bezpieczny składa się z wszystkich 6 spółek, przy czym ponad 40% stanowią aktywa Żywca, która charakteryzuje się najniższym współczynnikiem beta oraz oczekiwaną stopą zwrotu.
Analiza ryzyka i stopy zwrotu wybranych portfeli wskazuje, iż największą oczekiwaną stopę zwrotu odznacza się fundusz Plejada 35, która jest przewyższa stopę zwrotu portfela rynkowego. W dodatku, fundusz agresywny charakteryzuje się najwyższym ryzykiem mierzonym odchylenie standardowym oraz współczynnikiem beta, co jest zgodne preferencjami inwestorów poszukujących ryzyka, do których jest on adresowany. Natomiast najniższym poziomem ryzyka rynkowe charakteryzuje się fundusz bezpieczny 67, a co za tym idzie zapewnia najniższą oczekiwaną stopę zwrotu. W efekcie jego charakterystyka jest zgodna oczekiwaniami osób z awersją do ryzyka, które w nadchodzącym okresie zaczną konsumować zgromadzone środki po przejściu na emeryturę. Z kolei fundusz zbilansowany 55 zapewnia przeciętną stopę zwrotu oraz średni poziom ryzyka oraz jest w przeznaczony dla osób z neutralną postawą wobec ryzyka.
Wskaźniki rentowności portfeli wskazują, iż najlepszym portfelem jest portfel rynkowy, co jest zgodne z teorią Markowitza. Dalsze miejsca zajmują portfele w zależności od poziomu ich „agresywności” tzn. im większą stopę zwrotu zapewnia portfel tym większe przyjmuje wartości wskaźników Sharpe’a, Treynora i Jensena, co oznacza, że fundusz bezpieczny odznacza się najmniejszą rentownością inwestycji, a fundusz agresywny najwyższą.
Analizując wskaźniki rentowności należy pamiętać, że wskaźnik Sharpe’a uwzględnia jedynie stosunek premii za ryzyko do ryzyka systematycznego (współczynnik beta), natomiast współczynnik Treynora pokazuje stosunek premii za ryzyko do odchylenia standardowego stóp zwrotu z portfela (czyli ryzyka całkowitego portfela a nie tylko ryzyka systematycznego). Wskaźnik określa jaki jest zwrot z premii za ryzyko uzyskany na jednostkę całkowitego ryzyka. Natomiast wskaźnik Jensena jest oparty na modelu wyceny kapitału CAPM. Wskaźnik Jensena oblicza premię za ryzyko w kategoriach ryzyka systematycznego (podobnie do Treynora). Wskaźnik ten jest funkcją liniową stopy zwrotu (portfela lub papieru wartościowego) w danym okresie określoną stopą zwrotu inwestycji wolnej od ryzyka, premii za ryzyko, która zależy od ryzyka systematycznego w tym czasie oraz ryzyka losowego.
Symulacja kwartalnych zmian utworzonych funduszy inwestycyjnych w latach 2008-2009
Symulacja została przeprowadzona dla zmian kwartalnych tzn. po dodaniu nowych obserwacji do szeregu (trzech miesięcznych logarytmicznych stóp zwrotu – jeden kwartał), przeprowadzano ponowny dobór składników do portfela przy wykorzystaniu dominacji stochastycznej oraz jego ponowną optymalizację przy nowo wybranych aktywach i zaktualizowanych parametrach poszczególnych spółek (ryzyku, oczekiwanej stopie zwrotu, współczynniku beta oraz macierzy wariancji-kowariancji).
Wyniki przeprowadzonej symulacji zostały przedstawione w poniższych tabelach. Ze względu na dynamiczne zmiany na rynku, pomimo kosztów transakcyjnych zarządzających zdecydowali się zmieniać skład i udziały funduszy zgodnie z przeprowadzoną symulacją. Kwartalne zmiany składu funduszy pozwolą na utrzymanie stabilności zarządzanych funduszy oraz odpowiedniego akceptowalnego poziomu ryzyka rynkowego, które w tym okresie 2008-2009 zdecydowanie przybrało na sile.
Tabela 2. Symulacja 1 - I kwartał 2008 r.
| Spółka/Fundusz | Plejada 35 | Zbilansowany 55 | Bezpieczny 67 | Portfel rynkowy |
|---|---|---|---|---|
| GETIN | 77,19% | 14,55% | 0,40% | 47,3% |
| WAWEL | 10,64% | 14,78% | 13,68% | 14,0% |
| PKOBP | 0,00% | 20,53% | 21,27% | 9,5% |
| PEKAO | 0,00% | 0,00% | 0,00% | 0,0% |
| ŻYWIEC | 12,17% | 40,27% | 40,82% | 29,1% |
| NETIA | 0,00% | 9,87% | 23,82% | 0,0% |
| Beta portfela | 0,76 | 0,45 | 0,36 | 0,61 |
| Oczekiwana Rp | 2,84% | 1,35% | 0,82% | 2,20% |
| Oczekiwane Sp | 7,69% | 3,60% | 3,28% | 5,37% |
| Wskaźnik Sharpe'a | 3,06% | 1,90% | 0,90% | 2,80% |
| Wskaźnik Treynora | 30,45% | 23,54% | 9,82% | 31,63% |
| Wskaźnik Jensena | 1,04% | 0,09% | -0,29% | 0,67% |
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
Tabela 2. Symulacja 2 - II kwartał 2008 r.
| Spółka/Fundusz | Plejada 35 | Zbilansowany 55 | Bezpieczny 67 | Portfel rynkowy |
|---|---|---|---|---|
| GETIN | 79,60% | 13,89% | 4,16% | 64,2% |
| PKOBP | 6,43% | 27,00% | 26,89% | 13,1% |
| ŻYWIEC | 13,97% | 41,34% | 41,45% | 22,6% |
| INGBSK | 0,00% | 0,00% | 0,00% | 0,0% |
| PEKAO | 0,00% | 0,00% | 0,00% | 0,0% |
| NETIA | 0,00% | 17,78% | 27,50% | 0,0% |
| Beta portfela | 0,82 | 0,48 | 0,42 | 0,75 |
| Oczekiwana Rp | 2,78% | 1,00% | 0,61% | 2,44% |
| Oczekiwane Sp | 7,56% | 3,66% | 3,53% | 6,38% |
| Wskaźnik Sharpe'a | 2,77% | 1,05% | 0,27% | 2,59% |
| Wskaźnik Treynora | 30,13% | 13,74% | 3,24% | 30,39% |
| Wskaźnik Jensena | 0,68% | -0,43% | -0,69% | 0,48% |
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
Tabela 2. Symulacja 3 - III kwartał 2008 r.
| Spółka/Fundusz | Plejada 35 | Zbilansowany 55 | Bezpieczny 67 | Portfel rynkowy |
|---|---|---|---|---|
| PKOBP | 45,78% | 28,76% | 24,15% | 91,9% |
| PEKAO | 0,00% | 0,00% | 0,00% | 0,0% |
| ŻYWIEC | 0,00% | 45,09% | 44,54% | 8,1% |
| INGBSK | 54,22% | 0,00% | 0,00% | 0,0% |
| TPSA | 0,00% | 1,22% | 1,09% | 0,0% |
| NETIA | 0,00% | 24,93% | 30,23% | 0,0% |
| Beta portfela | 1,04 | 0,44 | 0,41 | 0,84 |
| Oczekiwana Rp | 0,84% | 0,38% | 0,27% | 1,16% |
| Oczekiwane Sp | 7,48% | 3,84% | 3,81% | 6,51% |
| Wskaźnik Sharpe'a | 0,33% | -0,27% | -0,55% | 0,79% |
| Wskaźnik Treynora | 4,57% | -3,08% | -5,94% | 10,14% |
| Wskaźnik Jensena | -0,35% | -0,41% | -0,50% | 0,11% |
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
Tabela 2. Symulacja 4 - IV kwartał 2008 r.
| Spółka/Fundusz | Plejada 35 | Zbilansowany 55 | Bezpieczny 67 | Portfel rynkowy |
|---|---|---|---|---|
| KOFOLA | 60,61% | 10,93% | 6,63% | 76,6% |
| WAWEL | 30,26% | 18,73% | 17,44% | 23,4% |
| PKOBP | 0,00% | 9,43% | 10,20% | 0,0% |
| ŻYWIEC | 9,12% | 46,01% | 47,05% | 0,0% |
| TPSA | 0,00% | 14,91% | 18,68% | 0,0% |
| PEKAO | 0,00% | 0,00% | 0,00% | 0,0% |
| Beta portfela | 0,45 | 0,39 | 0,39 | 0,49 |
| Oczekiwana Rp | 2,01% | 0,60% | 0,47% | 2,36% |
| Oczekiwane Sp | 9,19% | 4,37% | 4,32% | 11,03% |
| Wskaźnik Sharpe'a | 3,34% | 0,26% | -0,08% | 3,78% |
| Wskaźnik Treynora | 16,48% | 2,26% | -0,76% | 16,87% |
| Wskaźnik Jensena | 0,67% | -0,62% | -0,76% | 0,95% |
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
Tabela 2. Symulacja 5 - I kwartał 2009 r.
| Spółka/Fundusz | Plejada 35 | Zbilansowany 55 | Bezpieczny 67 | Portfel rynkowy |
|---|---|---|---|---|
| KOFOLA | 69,70% | 11,50% | 7,12% | 94,6% |
| WAWEL | 11,95% | 11,77% | 10,51% | 5,4% |
| ŻYWIEC | 18,35% | 47,89% | 46,73% | 0,0% |
| KRUSZWICA | 0,00% | 10,80% | 10,17% | 0,0% |
| TPSA | 0,00% | 7,33% | 10,65% | 0,0% |
| NETIA | 0,00% | 10,70% | 14,82% | 0,0% |
| Beta portfela | 0,42 | 0,31 | 0,31 | 0,50 |
| Oczekiwana Rp | 2,10% | 0,54% | 0,36% | 2,65% |
| Oczekiwane Sp | 9,52% | 3,88% | 3,81% | 12,67% |
| Wskaźnik Sharpe'a | 3,82% | 0,13% | -0,45% | 4,35% |
| Wskaźnik Treynora | 16,80% | 1,01% | -3,64% | 17,01% |
| Wskaźnik Jensena | 0,70% | -0,63% | -0,81% | 1,09% |
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
Tabela 2. Symulacja 6 - II kwartał 2009 r.
| Spółka/Fundusz | Plejada 35 | Zbilansowany 55 | Bezpieczny 67 | Portfel rynkowy |
|---|---|---|---|---|
| KOFOLA | 64,55% | 12,66% | 8,04% | 57,0% |
| WAWEL | 34,31% | 12,11% | 9,17% | 33,4% |
| KRUSZWICA | 1,13% | 12,07% | 10,28% | 5,3% |
| ŻYWIEC | 0,00% | 47,89% | 46,89% | 4,4% |
| TPSA | 0,00% | 6,22% | 11,88% | 0,0% |
| NETIA | 0,00% | 9,05% | 13,73% | 0,0% |
| Beta portfela | 0,42 | 0,30 | 0,30 | 0,42 |
| Oczekiwana Rp | 2,10% | 0,74% | 0,53% | 1,95% |
| Oczekiwane Sp | 9,47% | 3,92% | 3,82% | 8,56% |
| Wskaźnik Sharpe'a | 3,77% | 0,80% | 0,09% | 3,45% |
| Wskaźnik Treynora | 16,90% | 6,08% | 0,71% | 16,94% |
| Wskaźnik Jensena | 0,98% | -0,19% | -0,41% | 0,84% |
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
Tabela 2. Symulacja 7 - III kwartał 2009 r.
| Spółka/Fundusz | Plejada 35 | Zbilansowany 55 | Bezpieczny 67 | Portfel rynkowy |
|---|---|---|---|---|
| KOFOLA | 70,90% | 10,61% | 6,39% | 44,3% |
| WAWEL | 29,10% | 17,24% | 14,10% | 48,9% |
| KRUSZWICA | 0,00% | 14,40% | 13,25% | 6,8% |
| ŻYWIEC | 0,00% | 46,93% | 48,61% | 0,0% |
| TPSA | 0,00% | 10,82% | 17,38% | 0,0% |
| MIESZKO | 0,00% | 0,00% | 0,27% | 0,0% |
| Beta portfela | 0,41 | 0,30 | 0,29 | 0,46 |
| Oczekiwana Rp | 2,03% | 0,68% | 0,50% | 1,85% |
| Oczekiwane Sp | 9,87% | 4,07% | 3,99% | 8,09% |
| Wskaźnik Sharpe'a | 3,73% | 0,61% | 0,01% | 2,91% |
| Wskaźnik Treynora | 15,47% | 4,43% | 0,08% | 16,71% |
| Wskaźnik Jensena | 0,97% | -0,22% | -0,39% | 0,72% |
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
Tabela 2. Symulacja 8 - IV kwartał 2009 r.
| Spółka/Fundusz | Plejada 35 | Zbilansowany 55 | Bezpieczny 67 | Portfel rynkowy |
|---|---|---|---|---|
| KOFOLA | 22,06% | 10,45% | 9,84% | 44,3% |
| WAWEL | 0,00% | 28,06% | 27,36% | 48,4% |
| KRUSZWICA | 0,00% | 13,27% | 12,91% | 7,2% |
| COMARCH | 77,94% | 0,00% | 0,00% | 0,0% |
| TPSA | 0,00% | 47,40% | 48,22% | 0,0% |
| MIESZKO | 0,00% | 0,82% | 1,67% | 0,0% |
| Beta portfela | 0,87 | 0,47 | 0,47 | 0,46 |
| Oczekiwana Rp | 0,50% | 0,66% | 0,63% | 1,85% |
| Oczekiwane Sp | 10,97% | 5,45% | 5,45% | 7,89% |
| Wskaźnik Sharpe'a | 0,00% | 0,35% | 0,27% | 2,91% |
| Wskaźnik Treynora | -0,03% | 3,01% | 2,36% | 17,09% |
| Wskaźnik Jensena | -1,18% | -0,47% | -0,51% | 0,72% |
Źródło: Opracowanie własne na podstawie danych za stroną internetową: www.bossa.pl.
Wyniki symulacji, wskazują iż, wprowadzenie nowych obserwacji do szeregu powoduje spadek możliwej stopy zwrotu ale również widoczny wzrost ryzyka, który jest najbardziej widoczny w przypadku portfela bezpiecznego. Na początku 2008 ryzyko funduszu bezpiecznego wynosiło 3,69%, natomiast w przypadku symulacji 8 wyniosło już 5,45%. Oznacza to, że w okresie symulacji nastąpił znaczny wzrost ryzyka zmienności na rynku kapitałowym. Z kolei spadająca oczekiwana stopa zwrotu wskazuje iż wzrost ryzyka był spowodowany wysoką zmiennością występującą w okresach spadków na rynku (asymetryczna zmienność).
Analiza wskaźników rentowności w okresie symulacji pokazuje, że rentowność badanych portfeli ciągle spada, co oznacza, że na rynku kapitałowym w rozpatrywanych okresie występuje rynek niedźwiedzia, który powoduje, że coraz trudniej jest uzyskać wysokie dodatnie stopy zwrotu z inwestycji.