Elementy przestrzeni:

Elementami występującymi na rysunkach są punkty, proste i płaszczyzny. Punkt, prosta i płaszczyzna są to pojęcia w aksjomatyce geometrii elementarnej jako pierwotne, nie wymagające definiowania. Elementy te zwykle oznacza się odpowiednio i opisuje za pomocą umownie przyjętych symbolów. Bez oznaczenia i opisania elementów rysunek może stać się niezrozumiały, a tym samym bezwartościowy.

Elementy przestrzeni

Punkty oznacza się na rysunkach okręgami o małej średnicy (ok. l-2mm) i opisuje dużymi literami alfabetu łacińskiego, cyframi arabskimi lub rzymskimi, np. A, B, C, ... l, 2, 3, ... I, II, III, ..., można też stosować oznaczenia z indeksami cyfrowymi np. A₁,A₂, A₃,...

Linie proste, zwane krótko prostymi, będziemy opisywać małymi literami alfabetu łacińskiego umieszczając przy literze w razie potrzeby wskaźnik w postaci cyfry np. a, b, c,... a_1, a₂, a₃,...

Linii krzywych przeważnie nie opisujemy; w razie potrzeby stosujemy przy opisywaniu duże litery alfabetu łacińskiego pisane kaligraficznie.

Płaszczyzny i kąty opisujemy małymi literami alfabetu greckiego; dla rozróżnienia będziemy opisywać płaszczyzny literami początkowymi, np. α, β, γ,…, a kąty - literami końcowymi, np. φ, ψ, ω,…

Rysunki geometrii wykreślnej są przeważnie graficznymi rozwiązaniami pewnych zadań geometrycznych.

Elementy znajdujące się na tych rysunkach dzielimy w zależności od roli jaką w zadaniu spełniają, na trzy kategorie:

1)    elementy, których rodzaj, położenie itp. jest określone w temacie zadania: nazywamy je elementami danymi;

2)         elementy nie podane w temacie, lecz takie, których umieszczenie na rysunku jest konieczne do otrzymania rozwiązania; elementy te nazywamy pomocniczymi;

3)         elementy poszukiwane, czyli te, które są rozwiązaniem zadania; nazywamy je elementami wynikowymi.

Wymienione rodzaje elementów rozróżnia się na rysunkach przez odpowiednie ich kreślenie. Linie rozróżniamy przez rysowanie ich z różną grubością. Grubością porównawczą jest grubość linii danych. Zależy ona m.in. od rozmiarów rysunku i ilości szczegółów na rysunku. Zwykle wynosi ona ok. 0,2 -0,4mm. Linie wynikowe są w przybliżeniu dwukrotnie grubsze od linii danych, a linie pomocnicze dwukrotnie cieńsze.

Punkty i proste znane z geometrii elementarnej (euklidesowej) nazywamy elementami właściwymi. Dołączamy do nich tzw. elementy niewłaściwe. Termin „punkt niewłaściwy" zastępuje znany termin „kierunek". Mówimy więc, że dwie proste równoległe mają wspólny punkt niewłaściwy, zamiast jak dawniej — wspólny kierunek. Punktów niewłaąciwych na płaszczyźnie jest nieskończenie wiele; tworzą one zbiór, który nazywamy prostą niewłaściwą. Zbiorem prostych niewłaściwych wszystkich płaszczyzn jest płaszczyzna niewłaściwa.

Elementy niewłaściwe oznaczamy tak, jak elementy właściwe, dopisując u góry znak nieskończoności, np.

Na rysunku punkty niewłaściwe oznaczamy strzałkami . Prostą tzn. prostą przechodzącą przez punkt A i punkt B niewłaściwy, kreślimy punkt A równolegle do strzałki oznaczającej punkt . Równoległość dwóch

Punkt niewłaściwy Prosta niewłaściwa

prostych a i b określamy przez oznaczenie ich punktu niewłaściwego.

Proste równoległe

Zależności między elementami przestrzeni

Dwa punkty określają (wyznaczają) jedną i tylko jedną prostą k=AB.  

Prosta określona dwoma punktami.  

Dwie płaszczyzny α i β określają jedną i tylko jedną prostą .

Prosta określona dwoma płaszczyznami.

Trzy punkty nie współliniowe określają jedną i tylko jedną płaszczyznę.

Płaszczyzna określona trzema punktami.  

Trzy dowolne płaszczyzny nie współliniowe i nie współpłaszczyznowe α,β,γ określają jeden i tylko jeden punkt .

Punkt określony trzema płaszczyznami.  

Prosta a i płaszczyzna α nie przynależne do siebie określają punkt .

Punkt określony prostą i płaszczyzną.

Dwie proste a i b przynależne do punktu P określają jedną i tylko jedną płaszczyznę α=ab. Dwie proste a i b przynależne do płaszczyzny α określają tylko jeden punkt P=a∩ b.

Płaszczyzna określona dwoma prostymi przynależnymi do punktu P.

Dwa punkty l i 2 przynależne do płaszczyzny określają prostą a przynależną do płaszczyzny .

Prosta określona dwoma punktami leżącymi na płaszczyźnie.  

Dwie płaszczyzny a i β przynależne do punktu określają prostą k przynależną do punktu .  

Prosta określona dwoma płaszczyznami przynależnymi do punktu P.

Oznaczenia przynależności elementów:

•       punkt i prosta do siebie przynależne -

•       prosta i płaszczyzna do siebie przynależne -

•       punkt i płaszczyzna do siebie przynależne -

Oznaczenie równoległości i nie równoległości elementów:

•       proste równoległe a i b - a || b

•       proste nierównoległe a i b - a b

•       prosta a i płaszczyzna α równoległe – a || α

•       prosta a i płaszczyzna α nierównoległe – a α

•       płaszczyzny α i β równoległe - a || β

•       płaszczyzny α i β nierównoległe - α β

Oznaczenia prostopadłości i nie prostopadłości elementów:

•       proste prostopadłe a i b -

•       proste nie prostopadłe a i b -

•       prosta a i płaszczyzna α prostopadłe -

•       prosta a i płaszczyzna α nie prostopadłe —

•       płaszczyzny α i β prostopadłe -

•       płaszczyzny α i β nie prostopadłe -

Rzutowanie

Rzut środkowy

Przyjmujemy dowolną płaszczyznę π, przeważnie poziomą albo pionową, zwaną rzutnią lub tłem, na którą odwzorowuje się elementy przestrzeni i utwory geometryczne. Przyjmujemy punkt właściwy O nie leżący na rzutni, zwany środkiem rzutowania. Każda prosta przechodząca przez środek rzutowania jest tzw. prostą rzutującą lub promieniem rzutującym. W celu odwzorowania danego punktu na rzutnię π prowadzimy przez punkty O i A prostą rzutującą a i wyznaczamy punkt przebicia A¹ rzutni π prostą a. Punkt A¹ nazywa się rzutem środkowym lub perspektywą punktu A. Podobnie wyznaczamy B¹. Jeżeli punkt C leży na rzutni, to jego rzut środkowy C¹ jednoczy się z punktem C. Dla poszczególnych punktów P, Q, R leżących na prostej rzutującej p, ich rzuty środkowe jednoczą się w punkcie .

Rzut środkowy o środku O i rzutni π.

Rzuty równoległe

Przyjmujemy rzutnię π oraz dowolną prostą k || π, będącą kierunkiem rzutowania. Środek rzutowania jest zatem punktem niewłaściwym . W celu odwzorowania danego punktu a na rzutnię π, prowadzimy przez ten punkt prostą rzutującą a || k i wyznaczamy punkt przebicia A¹ rzutni π, prostą a. Punkt A¹ nazywa się rzutem równoległym punktu A. Podobnie wyznaczamy punkt B¹. Jeżeli punkt C leży na rzutni, to jego rzut równoległy C¹ jednoczy się z punktem C. Dla poszczególnych punktów P, Q, R,... prostej rzutującej p ich rzuty równoległe jednoczą się w punkcie .

Zależnie od tego czy kierunek rzutowania k jest prostą prostopadłą do rzutni czy nie prostopadłą do π, nazywamy rzut równoległy rzutem prostokątnym lub rzutem ukośnym.

Rzut równoległy o kierunku k i rzutni π.

Rzuty cechowane

Rzuty cechowane są to rzuty prostokątne elementów i utworów geometrycznych na jednią rzutnię, na ogół poziomą, zwana płaszczyzną porównawczą. Rzutnia dzieli przestrzeń na dwie pół przestrzenie: dodatnią, znajdującą się nad rzutnią i ujemne, pod rzutnia. Odcinkiem prostopadłym do rzutni przypisujemy znak + lub - w zależności od pół przestrzeni dodatniej lub ujemnej. Przyjmujemy jednostkę miary długości „j”. Rzut prostokątny A¹ opatrzony cechą nazywa się rzutem cechowanym punktu A.

Rzuty cechowane na rzutnię π.  

Rzuty Monge'a

Metoda odwzorowania figur geometrycznych za pomocą rzutu na jedną płaszczyznę nie ma w praktyce technicznej większego zastosowania. Rzuty figury geometrycznej na jedną płaszczyznę nie określa w przypadku ogólnym kształtu ani wielkości tej figury oraz nie podaje jej położenia w przestrzeni. Na rysunku widzimy, że trójkąty ABC i PRS mają identyczne rzuty, chociaż ich kształty, wielkość i położenia względem rzutni π są różne.

Rzut trójkątów.

Dla usunięcia tej niedogodności stosujemy w geometrii wykreślnej (podobnie jak w rysunku technicznym) rzucanie figur na dwie niekiedy trzy lub więcej płaszczyzn wzajemnie prostopadłe. Metoda rzutów na płaszczyzny wzajemnie prostopadłe została opracowana i rozpowszechniona przez G. Monge'a i dlatego nazwano ją metodą Monge'a.

Do odwzorowania jakiejkolwiek figury metodą Monge'a przyjmujemy dwie wzajemnie prostopadłe płaszczyzny i uważamy je za płaszczyzny rzutów. Jedna z tych płaszczyzn zajmuje zazwyczaj położenie poziome i dlatego nazywa się rzutnią poziomą. Oznaczamy ją symbolem π₁. Druga płaszczyzna prostopadła do π₁ ma zazwyczaj położenie pionowe, nazywamy ją rzutnią pionową i oznaczamy symbolem π₂. Prosta, która jest krawędzią rzutni π₁ i π₂ nazywamy osią rzutów i oznaczmy x. Dzieli ona każdą z dwóch płaszczyzn rzutów na dwie półpłaszczyzny, te dzielą się z kolei na cztery obszary zwane ćwiartkami.

  Ćwiartki przestrzeni.

Rzuty punktu

  Przyjmujemy układ odniesienia. Dany jest punkt A leżący w l ćwiartce przestrzeni. Wyznaczamy kolejno rzuty punktu A na rzutnię poziomą i pionową odpowiednio A1 i A11, prowadząc przez punkt A proste rzutujące w i g.

A1 jest rzutem poziomym, AII rzutem pionowym punktu A. Proste w i g przechodzące przez punkt A określają płaszczyznę ε, która przecina oś w punkcie Ax. Sprowadzamy układ odniesienia wraz z rzutami A1 i AII do płaszczyzny rysunku. Odległość punktu A od rzutni poziomej, odcinek AA1 = AAX = w nazywa się wysokością punktu A, a odległość punktu A od rzutni pionowej, odcinek AA11 = A1 Ax = g nazywa się głębokością.

 

Ruty prostokątne punktu A w układzie odniesienia:

a) układ przestrzenny, b) układ sprowadzony do płaszczyzny.

Sprowadzamy układ odniesienia wraz z rzutami A1 i A11 do płaszczyzny rysunku. Odległość punktu A od rzutni poziomej, odcinek AA1 = AAX = w nazywa się wysokością punktu A, a odległość punktu A od rzutni pionowej, odcinek AAII=AIAx = g nazywa się głębokością.

Wysokości punktów leżących nad rzutnią poziomą, a więc w ćwiartce I i II są dodatnie, a leżących pod rzutnią poziomą w ćwiartkach III i IV są ujemne oraz głębokości punktów leżących przed rzutnią pionową, a więc w ćwiartkach I i IV są dodatnie, a leżących za rzutnią pionową w ćwiartkach II i III są ujemne.

Rzuty prostej

Rzuty dowolnej prostej

W celu wyznaczenia rzutów dowolnej prostej a prowadzimy przez tą prostą dwie płaszczyzny rzutujące: płaszczyznę poziomo rzutującą ε_I - krawędź tej płaszczyzny z rzutnią poziomą jest rzutem poziomym a^I prostej a oraz płaszczyznę pionową - rzutującą ε₂- krawędź tej płaszczyzny z rzutnią pionową jest rzutem pionowym a^II prostej a. Po sprowadzeniu układu odniesienia do płaszczyzny rysunku rzuty prostej przedstawiają się tak jak na rusunku.

Podobny efekt uzyskamy, rzutując leżące na prostej dwa punkty A i B.
a)

b)

Rzuty dowolnej prostej a:

a) układ przestrzenny, b) układ sprowadzony do płaszczyzny.

Ślady prostej

Ślady prostej są to punkty, w których prosta przebija rzutnie. H_a ślad poziomy prostej a, jest to punkt przebicia rzutni poziomej prostą a, V_a ślad pionowy prostej a jest to punkt przebicia rzutni pionowej prostą a.
a)

b)

Ślady prostej a: a) w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.

Szczególne położenie prostych

Prosta pozioma p

a)

b)

Prosta pozioma p: a) w przestrzeni, b) na płaszczyźnie rysunku.

Prostą równoległą do rzutni poziomej nazywamy prostą poziomą. Wysokości punktów tej prostej są jednakowe, więc rzut pionowy jest równoległy do osi rzutów, a rzut poziomy wskazuje, pod jakim kątem prosta jest nachylona do rzutni pionowej. Ślad poziomy prostej jest punktem niewłaściwym.

 

Prosta pionowa,

Prosta pionowa jest prostą prostopadłą do rzutni poziomej. Jej rzut poziomy jest punktem, a rzut pionowy jest prostą prostopadłą do osi x.

a)

b)

                 

Prosta pionowa a: a) w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.  

Prosta czołowa

Prostą czołową nazywamy prostą równoległą do rzutni pionowej. Głębokości punktów tej prostej są jednakowe, więc rzut poziomy prostej jest równoległy do osi x, a nachylenie rzutu pionowego do osi x przedstawia nachylenie rzutu poziomej. Ślad pionowy prostej czołowej jest punktem niewłaściwym.

Prosta celowa

Prosta celowa jest prostą prostopadłą do rzutni pionowej. Jej rzut pionowy jest punktem, a rzut poziomy prostą prostopadłą do osi x.

Prosta prostopadła do osi x,

Rzuty dI i dII prostej d prostopadłej do osi x nie określa jednoznacznie prostej d w przestrzeni.

a)

b)

Prosta prostopadła b do osi x:

a) w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.

W celu jednoznacznego określenia prostej należy na niej przyjąć dwa dowolne punkty A i B.

Rzuty dwóch prostych

Dwie dowolne proste w przestrzeni mogą zajmować względem siebie następujące położenia:
1) mogą się przecinać,
2) być do siebie równoległe,
3) mogą być względem siebie skośne (wichrowate).

Proste przecinające się:

Rzuty punktu P przecięcia się prostych m i n leżą na jednej prostej odnoszącej. I odwrotnie, ze stwierdzenia, że odpowiednie rzuty dwóch prostych m i n parami przecinają się w dwóch punktach (m1 z n1 i m11 z n11) leżących na jednej odnoszącej wynika, że proste m i n mają punkt wspólny P, którego rzutami są wymienione punkty przecięcia rzutów prostych m i n, i .

 

Dwa przykłady prostych przecinających się m i n.  

Proste równoległe m || n

Rzuty prostych równoległych są do siebie odpowiednio równoległe: n^I || m^I i n^II || m^II.

Dwa przykłady prostych równoległych m i n.  

Proste skośne (wichrowate) k i l

Punkty przecięcia się rzutów prostych skośnych nie leżą na jednej prostej odnoszącej.

W szczególnych przypadkach rzuty jednoimienne mogą się nie przecinać, ale tylko jedyne poziome lub czołowe.

Dwa przykłady prostych skośnych k i l.

Odwzorowanie płaszczyzny

Odwzorowanie płaszczyzny polega na odwzorowaniu elementów, które ją określają. Płaszczyzna może być określona kilkoma sposobami, a mianowicie: 

1) Płaszczyzna określona dwiema przecinającymi się prostymi.

Przykład tak określonej płaszczyzny pokazany jest na rysunku poniżej. Określona jest dwoma prostymi a i b przecinającymi się w punkcie B, co można zapisać symbolami: ,

 

a)

b)

Płaszczyzna określona prostymi przecinającymi się, a=ab:

a) odwzorowanie w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.  

2) Płaszczyzna określona dwiema prostymi równoległymi.

Na rysunku poniżej pokazano przykładowo rzuty dwóch prostych równoległych

a i c określających płaszczyznę α= ac.

a)

b)

Płaszczyzna określona dwiema prostymi równoległymi a i c:

a) odwzorowanie w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.

 

 

3) Płaszczyzna określona prostą c i punktem B nie leżącym na niej.

Przykład tak określonej płaszczyzny pokazany jest na rysunku.

a)

b)

Płaszczyzna określona prostą c i punktem B:

a) odwzorowanie w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.

4) Płaszczyzna określona trzema punktami A,B,C nie współliniowymi.

Do określania płaszczyzny użycie więcej niż trzech punktów nie jest celowe. Łącząc punkty A, B i C otrzymujemy trójkąt ABC, który też w sposób jednoznaczny określa płaszczyznę α.

a)

b)

Płaszczyzna określona trzema punktami A, B i C:

a) odwzorowanie w przestrzeni, b) na płaszczyźnie.

Elementy przynależne

Punkt i prosta do siebie przynależne

Jeżeli punkt i prosta są do siebie przynależne, to odpowiednie (jednoimienne) rzuty punktu i prostej do siebie przynależą.

Punkt i prosta do siebie przynależne.

Prosta i płaszczyzna do siebie przynależne

Prosta przynależy do płaszczyzny, jeżeli dwa punkty są przynależne do tej płaszczyzny.

 

Prosta a i płaszczyzna α przynależne do siebie:

odwzorowanie w przestrzeni i na płaszczyźnie.

Punkt i płaszczyzna do siebie przynależne

Punkt leży na płaszczyźnie, gdy leży na prostej leżącej na tej płaszczyźnie.

 

Punkt P przynależny do płaszczyzny α:

odwzorowanie w przestrzeni i na płaszczyźnie.  

Elementy wspólne

Punkt wspólny dwóch prostych

Rzuty wspólnego punktu dwóch prostych a i b (punkt przecięcia się prostych) leżą na prostej odnoszącej.

Punkt wspólny dwóch prostych,  

Punkt wspólny prostej i płaszczyzny rzutującej

Rzuty punktu przebicia płaszczyzny rzutującej prostą znajdujemy tak jak na przykładowym rysunku. W przecięciu a^I i α rzutów poziomych prostej a i płaszczyzny poziomo - rzutującej a znajdujemy P¹ rzut poziomy szukanego punktu przebicia P, następnie wyznaczamy z P^I odnoszącą, która przetnie a^II rzut pionowy prostej a w punkcie P¹¹ będący oczywiście rzutem pionowym punktu przebicia P.

Punkt wspólny prostej i płaszczyzny dowolnej

W celu wyznaczenia punktu przebicia płaszczyzny dowolnej prostą należy postępować następująco :

1)                - przez prostą a prowadzimy płaszczyznę β najwygodniej rzutującą,

2)                - znajdujemy krawędź przecięcia płaszczyzn α i β

3)                - znajdujemy punkt przecięcia krawędzi k z prostą α.
Punkt P jest szukanym punktem wspólnym prostej a i płaszczyzny α. 

a)

b)

Punkt przebicia płaszczyzny poziomo - rzutującej α z prostą a:

a) układ przestrzenny, b) układ sprowadzony do płaszczyzny.

 

Wyznaczenie punktu przebicia płaszczyzny α prostą a.  

Krawędź dwóch płaszczyzn określonych prostymi i punktami

Krawędź dwóch płaszczyzn określamy, wyznaczając dwa punkty krawędzi. Dla przykładu rozpatrzmy płaszczyzny α = mn (m||n) i β= ABC.

Do wyznaczenia krawędzi potrzebne są tylko dwa punkty, wyznacza się M i N. Im dalej od siebie położone są punkty, tym dokładniej jest wyznaczona krawędź, a więc najkorzystniej wyznaczyć punkty P i N. W tym celu przez bok AC prowadzimy płaszczyznę pionowo – rzutującą ρ, znajdujemy krawędź ; następnie przez prostą n prowadzimy płaszczyznę poziomo – rzutującą γ, wyznaczamy krawędź i punkt N. Punkty P i N wyznaczają krawędź .

 

a)

b)

Krawędź dwóch płaszczyzn:

a) w układzie przestrzennym, b) sprowadzona na płaszczyznę π₁ i π_2.

Elementy równoległe

Proste równoległe

Dwie proste nazywamy równoległymi, jeśli leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają wspólnych punktów właściwych.

Rzuty prostych równoległych są odpowiednio do siebie równoległe. Jeżeli odpowiednie rzuty dwóch prostych równoległych są do siebie równoległe ale nie prostopadłe do osi x, to proste są do siebie równoległe.  

Prosta i płaszczyzna do siebie równoległe

Prosta a jest równoległa do płaszczyzny α wówczas, gdy jest równoległa do prostej b leżącej na płaszczyźnie α. Płaszczyzna α jest równoległa do prostej a wówczas, gdy przechodzi przez prostą b równoległą do prostej a.  

Płaszczyzny równoległe

Dwie płaszczyzny są równoległe, jeśli nie mają wspólnych punktów właściwych. Można stwierdzić, że płaszczyzna β jest równoległa do płaszczyzny α wówczas, gdy przechodzi przez dwie przecinające się proste, równoległe do płaszczyzny.

Elementy prostopadłe

Prosta dowolna prostopadła do prostej głównej

 

Rzuty dwóch prostych do siebie prostopadłych, z których jedna jest równoległa do rzutni, są na tej rzutni prostopadłe. Mogą to być proste przecinające się lub skośne.

Rzuty dwóch prostych prostopadłych.

Proste prostopadłe do prostych głównych.  

Prosta prostopadła do płaszczyzny

Prosta a jest prostopadła do płaszczyzny a wówczas, gdy jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych leżących na tej płaszczyźnie.

Prosta a prostopadła do płaszczyzny α.  

Płaszczyzny do siebie prostopadłe

Płaszczyzna β jest prostopadła do płaszczyzny α wówczas, gdy przechodzi przez prostą a prostopadłą do płaszczyzny α. Poprzez tę prostą a możemy poprowadzić pęk płaszczyzn.

 

Prosta a prostopadła do α.

Rodzaje wielościanów

Wielościanem nazywamy bryłę, które ściany złożone są ze skończonej ilości wielokątów płaskich. Wielościany mogą być wklęsłe i wypukłe, dzielimy je na:
1) ostrosłupy,
2) graniastosłupy,
3) wielościany foremne i półforemne,
4) wielościany nieforemne.

Ostrosłupy - wielościany mające ściany boczne w postaci trójkątów o jednym wspólnym wierzchołku zwanym wierzchołkiem ostrosłupa, w którym przecinają się krawędzie boczne ostrosłupa oraz podstawę w postaci dowolnego wielokąta płaskiego, którego boki nazywamy krawędziami podstawy.

 

Ostrosłup: a) prosty, b) pochyły.  

Mamy ostrosłupy proste i pochyłe. Ostrosłup prosty to taki, którego podstawę można opisać w okrąg, a spodek wysokości leży w środku tego okręgu. Krawędzie boczne są zatem równej długości. Ostrosłup pochyły nie spełnia tych warunków.

Graniastosłupy - wielościany mające ściany boczne w postaci równoległoboków lub prostokątów, oraz dwie równoległe podstawy, krawędzie boczne są do siebie równoległe. Mamy graniastosłupy proste i pochyłe. Graniastosłup prosty ma krawędzie boczne prostopadłe do podstaw, a ściany boczne są prostokątami. Graniastosłup pochyły nie spełnia tych warunków. Graniastosłup prosty, którego podstawy są przystającymi wielokątami foremnymi nazywamy graniastosłupem prawidłowym.

Graniastosłup pięciokątny: prosty i pochyły.

 

Wielościany foremne - inaczej bryły Platona, są to wielościany, których ściany złożone są z jednakowych wielokątów foremnych. Istnieją następujące wielościany foremne:

1)  czworościan - utworzony z 4 trójkątów równobocznych,

2)               sześcian - z kwadratów,

3)               ośmiościan foremny - z trójkątów foremnych,

4)               dwunastościan foremny, utworzony z pięciokątów foremnych.

Wielościany foremne: a) czworościan, b) sześcian, c) ośmiościan.

Wielościany półforemne - utworzone są z niejednakowych wielokątów foremnych. Wielościany, których nie możemy zaliczyć do jednej z wyżej wymienionych rodzajów, są wielościanami nieforemnymi.

Rzuty wielościanów

Rzuty wielościanu wyznaczamy, określając rzuty jego wierzchołków, a następnie jego krawędzi. Rzut konturu wielościanu nazywamy zarysem wielościanu. Jeżeli założymy, że ściany wielościanu są nieprzeźroczyste, to przy kierunku patrzenia kontur wielościanu jest linią podziału jego ścian, krawędzi i wierzchołków na widoczne i niewidoczne.

Przykład: Rzuty ostrosłupa o podstawie ABCD (równoległobok) i wierzchołku W na dwie rzutnie. W celu określenia widoczności krawędzi ostrosłupa w obu rzutach przyjmujemy kierunki widzenia: - kierunek widzenia z gór i - kierunek widzenia z przodu. Następnie bierzemy pod uwagę punkty przecięcia się rzutów krawędzi: w rzucie poziomym i w rzucie pionowym. Znajdujemy brakujące rzuty tych punktów i stwierdzamy, że wysokość punktu 2 jest większa od wysokości punktu l, więc punkt 2 i krawędź BW są w rzucie poziomym widoczne, a krawędź DC jest niewidoczna oraz głębokość punktu 3 jest większa od głębokości punktu 4, więc punkt 3 i krawędź BW są widoczne w rzucie pionowym, a krawędź DC jest niewidoczna.

Przekroje i rozwinięcia wielościanów

W przekroju wielościanu płaszczyzną otrzymać możemy w ogólnym przypadku wielokąt, którego liczba boków nie może przekroczyć liczby ścian przekrojonego wielościanu. W szczególnym przypadku figurą przekroju może być punkt albo odcinek. Przykładowo w przekroju czworościanu może występować czworokąt, trójkąt, odcinek, punkt. Wielokąt przekroju jest jednoznacznie określony, jeśli znane są jego wszystkie wierzchołki. Wierzchołkami wielokąta przekroju są punkty przebicia płaszczyzny przekroju krawędziami wielościanu.

 

Rzut ostrosłupa czworokątnego.

Dlatego też, żeby wyznaczyć przekrój wielościanu wystarczy określić punkty przebicia płaszczyzny przekroju krawędziami krojonego wielościanu. Zadanie określenia przekroju jest bezproblemowe, jeśli płaszczyzna jest rzutująca. Jeśli dana płaszczyzna przekroju nie jest rzutująca, to najlepiej ją sprowadzić w położenie rzutujące poprzez transformację układu odniesienia i dopiero wtedy wyznaczyć przekrój.

Przykład: Przekrój graniastosłupa prostego płaszczyzną rzutującą oraz rozwinięcie siatki graniastosłupa z zaznaczeniem linii przekroju. W tym przypadku wielkość krawędzi bocznych graniastosłupa prostego jest w naturalnej wielkości na rzucie pionowym, podstawa zaś na rzucie poziomym.

Przenikanie wielościanów

Dwa wielościany mogą zajmować względem siebie położenie takie, że ich ściany (wszystkie lub niektóre) będą się nawzajem przecinać. Powiemy wówczas, że wielościany te przenikają się. Zbiór punktów leżących równocześnie na ścianach obu wielościanów nazywamy wielokątem przenikania. Bokami tego wielokąta są odcinki przynależne równocześnie do ścian obu przenikających się wielościanów, a jego wierzchołkami są punkty przebicia ścian jednego wielościanu przez krawędzie drugiego oraz punkty przebicia ścian drugiego wielościanu przez krawędzie pierwszego.

Zależnie od tego jakie wielościany się przenikają oraz jak są one względem siebie położone możemy otrzymać:

a)       przenikanie zupełne,

b)       przenikanie niezupełne.

W pierwszym przypadku wielokąt przenikania składa się z dwóch linii łamanych zamkniętych.

Ogólna zasada wyznaczania rzutów wielokąta przenikania jest następująca.

Przez krawędzie jednego wielościanu prowadzimy pomocnicze płaszczyzny przecinające drugi wielościan oraz przez krawędzie drugiego wielościanu prowadzimy płaszczyzny przecinające wielościan pierwszy. Jeżeli istnieją punkty położone na tych krawędziach oraz na otrzymanych przecięciach, to są one wierzchołkami wielokąta przenikania, co wynika z definicji podanej na początku rozdziału. Otrzymane wierzchołki należy następnie odpowiednio ze sobą połączyć uwzględniając widoczność boków wielokąta przenikania w rzutach. Pomocniczych płaszczyzn siecznych nie prowadzimy dowolnie, lecz tak, aby rzuty otrzymanych przecięć były łatwe do wyznaczenia.

 

Przenikanie wielościanów: a) zupełne, b) niezupełne.

Powierzchnia kulista

Powierzchnię zakreśloną przez półokrąg obracający się dookoła średnicy, która nie zmienia swego położenia, nazywamy powierzchnią kulistą lub powierzchnią kuli.

Z definicji wynika, że powierzchnia kulista jest powierzchnią obrotową. Jest ona ponadto krzywokreślna i nierozwijalna.

Bryłę ograniczoną powierzchnią kulistą nazywamy kulą. Promień obracającego się półokręgu nazywa się promieniem kuli (powierzchni kulistej).

Rzutem poziomym i pionowym kuli, są okręgi o promieniach równych promieniowi kuli.

Rzut kuli.

 

Przekroje powierzchni kuli.

Każda płaszczyzna sieczna przecina powierzchnię kuli w okręgu. Płaszczyzna ta dzieli kulę na dwie części zwane odcinkami kuli, a jej powierzchnię na dwie czasze kuliste. Jeżeli płaszczyzna sieczna przechodzi przez środek kuli, to otrzymane przecięcie nazywamy okręgiem wielkim. Przecięciem kuli płaszczyzną poziomą jest okrąg o promieniu równym połowie długości cięciwy w rzucie pionowym. Gdy płaszczyzna sieczna w rzucie pionowym przyjmuje położenie inne niż poziome to rzutem poziomym krawędzi przecięcia jest elipsa.

a)

b)

Przecięcie kuli płaszczyzną:

a) płaszczyzną poziomą, b) płaszczyzną dowolną.

Powierzchnia walcowa

Załóżmy, że dana jest jakakolwiek krzywa K (niekoniecznie płaska i niekoniecznie zamknięta) oraz prosta l przecinająca się z tą krzywą w punkcie A. Jeżeli prosta l będzie się poruszać pozostając stale równoległą do pierwotnego położenia oraz przecinać się z krzywą K, to zakreśli wówczas powierzchnię zwaną powierzchnią walcową.

 

Powierzchnia walcowa.

Krzywa K nazywa się kierownicą powierzchni walcowej, a prosta l - tworzącą tej powierzchni. Powierzchnia walcowa jest powierzchnią prosto-kreślną i rozwijalną.

Szczególne znaczenie posiada powierzchnia walcowa obrotowa. Tę powierzchnię można zdefiniować jako powierzchnię walcową, której kierownicą jest okrąg, a tworząca jest prostopadła do płaszczyzny kierowniczej.

Oprócz powierzchni walcowych obrotowych, spotykane są w praktyce również inne rodzaje powierzchni walcowych. W szczególności, gdy kierownicą powierzchni jest elipsa, a tworząca jest prostopadła do płaszczyzny kierowniczej, otrzymana powierzchnia nazywa się powierzchnią walcową eliptyczną.

Przekroje walca obrotowego

Jeżeli płaszczyzna sieczna jest prostopadła do osi powierzchni walcowej obrotowej, to przecięciem jest okrąg, jeżeli zaś przechodzi przez oś lub jest do niej równoległa, to przecięciem są dwie tworzące. Natomiast gdy płaszczyzna sieczna jest nachylona do osi powierzchni walcowej obrotowej pod kątem różnym od 90°, to przecięciem tej powierzchni jest elipsa.

Rozwinięcie powierzchni walca obrotowego

Siatka walca obrotowego składa się z prostokątnej pobocznicy oraz dwóch przystających kół. Przy ustawieniu walca, jak na rysunku poniżej, promienie tych kół oraz wysokość pobocznicy otrzymujemy bezpośrednio z rzutów. Długość pobocznicy znajdujemy przez wyprostowanie okręgu podstawy walca metodą Kochańskiego.

Rozwinięcie powierzchni walca obrotowego.

Powierzchnia stożkowa

Niech będzie dana dowolna krzywa K oraz punkt W leżący dowolnie w przestrzeni. Jeżeli przez ten punkt przeprowadzimy prostą l przecinającą się z krzywą K i prostą tę będziemy następnie poruszać tak, aby przechodziła stale przez punkt W oraz przecinała się z krzywą K, to prosta l zakreśli powierzchnię zwaną powierzchnię stożkową .

Szczególnym rodzajem powierzchni stożkowej jest powierzchnia stożkowa obrotowa, którą zakreśla prosta przecinająca się z osią obrotu pod kątem różnym od 90°. Kierownicą tej powierzchni może być okrąg, jeżeli prosta przechodząca przez środek tego okręgu i przez wierzchołek powierzchni jest prostopadła do płaszczyzny kierowniczej.

 

Powierzchnia stożkowa.

 Przekroje stożka obrotowego.  

Przekrojami powierzchni stożkowych obrotowych płaszczyznami nie przechodzącymi przez wierzchołek powierzchni stożkowej są krzywe stożkowe: elipsy, parabole lub hiperbole, a w szczególnym przypadku okręgi.

Rozpatrzmy powierzchnię stożka obrotowego o tworzących nachylonych do osi l pod kątem φ oraz płaszczyznę nachyloną do osi stożka pod kątem ψ.

Jeśli:

Φ< ψ - to krzywa jest elipsą,

Φ= ψ- krzywa jest parabolą,

Φ> ψ- krzywa jest hiperbolą.

a) b) c)

Tworzenie krzywych stożkowych:

a) elipsy, b) paraboli, c) hiperboli.

Powierzchnia pierścieniowa (torus)

Powierzchnię pierścieniową albo torusem nazywamy powierzchnię obrotową powstałą przez obrót okręgu dookoła osi leżącej na płaszczyźnie tego okręgu, nie przechodzącej przez jego środek.

Wyróżniamy trzy rodzaje powierzchni pierścieniowych:

Torus: zwykły, dwubiegunowy, jednobiegunowy.

Konstrukcja elipsy, paraboli i hiperboli

Elipsa

Elipsą nazywamy miejscem geometryczne punktów płaszczyzny, dla których suma odległości od dwóch punktów stałych f₁ i F₂ jest wielkością stałą, większą niż odległość punktów f₁ i F₂ (rys. 2.58.).

Punkty f₁ i F₂ nazywamy ogniskami elipsy, odcinek F₁F₂ - ogniskową, a środek S ogniskowej - środkiem elipsy.

 

Elipsa

Oś wielka AB jest to najdłuższa średnica; na niej leżą ogniska elipsy. Średnica CD prostopadła do AB nazywa się osią małą; Osie elipsy są osiami symetrii, środek elipsy - środkiem symetrii.

Średnice sprzężone elipsy są to dwie jej średnice, z których każda połowi cięciwy równoległe do drugiej.

Parabola

Parabola jest miejscem geometrycznym punktów płaszczyzny równo odległych od danego punktu F (zwanego ogniskiem) i od danej prostej k (zwanej kierownicą),.

 

Parabola

  Hiperbola

Hiperbola jest miejscem geometrycznym punktów płaszczyzny, dla których bezwzględna wartość różnicy odległości od dwóch punktów stałych F₁ i F₂ jest wielkością stałą mniejszą niż odległość punktów F₁ i F₂. Punkty F₁ i F₂ nazywają się ogniskami, odcinek F₁ F₂ - ogniskową.

 

Hiperbola.

Rzut aksonometryczny

Metoda rzutów Monge'a, dzięki swym dużym zaletom została powszechnie przyjęta i znalazła szerokie zastosowanie m. in. w rysunku technicznym.

       Ma ona jednak pewną, dość istotną wadę; rysunki wykonane zgodnie z jej zasadami podają wprawdzie dokładnie kształty, rozmiary i położenie odwzorowanego utworu względem przyjętego układu rzutni, nie odznaczają się jednak tzw. poglądowością. Odwzorowanie jednego utworu lub zespołu geometrycznego wymaga z reguły podania dwóch lub większej ilości jego rzutów. Odtworzenie na ich podstawie kształtu danego utworu, jako najważniejsza część składowa czytania rysunków, jest w ogóle procesem trudnym, wymagający niekiedy dużej wprawy.

      Jedna z najistotniejszych przyczyn nie poglądowości rzutów Monge'a jest specjalne ustawienie rozpatrywanych figur względem rzutni. Dobitnym przykładem tego mogą być trzy rzuty pewnego przedmiotu podane na rysunku.

Rzut przedmiot (rzut Monge'a).  

Odczytanie tego rysunku jest trudne; gdy jednak przedmiot ten narysujemy tak jak na rysunku poniżej, wówczas zorientowanie się w jego kształcie i budowie nie nastręcza prawie żadnych trudności. Rysunek poniżej nazywamy rysunkiem aksonometrycznym przedmiotu.

Załóżmy, że dane są trzy osie rzutów x, y i z przecinające się w punkcie O. Odłóżmy od tego punktu na dodatniej części każdej z osi odcinek tej samej długości d przyjęty za jednostkę, po czym rzućmy osie wraz z odcinkami w kierunku k na jakąkolwiek płaszczyznę π_a różną od π₁, π₂, π₃. Płaszczyznę tę nazwiemy rzutnią aksonometryczną.

Deformacja liniowa.

Otrzymamy w ten sposób rzut równoległy będzie figurą składającą się z trzech prostych x_a, y_a i z_a mających wspólny punkt O_a i przecinających się pod kątami, których wielkość zależy od ustawienia rzutni aksonometrycznej i od kierunku rzutów.

Na każdej z tych prostych znajdzie się rzut odcinka d (rzuty te oznaczono na rysunku symbolami d_x, d_y i d_z).

Proste x_a, y_a i z_a nazywamy osiami aksonometrycznymi, punkt O_a - środkiem aksonometrii, odcinki d_x, d_y i d_z - jednostkami aksonometrycznymi. W przypadku ogólnym nie są one sobie równe, ani nie równają się odcinkowi d, którego długość -jak wiadomo - ulega w rzucie deformacji (może się zmniejszyć lub powiększyć). Deformacja ta podobnie jak wielkość kątów między osiami aksonometrycznymi zależy od ustawienia rzutni aksonometrycznej i od kierunku rzutów.

Stosunki długości odcinków:

, ,

nazywamy współczynnikami deformacji liniowej.

Łatwo można dowieść, że jeżeli jakikolwiek odcinek jest równoległy do jednej z osi rzutów, to stosunek długości rzutu odcinka na π_a do długości tego odcinka jest równy odpowiedniemu współczynnikowi deformacji liniowej.

      W teorii rzutów aksonometrycznych bardzo ważne jest twierdzenie sformułowane i udowodnione w 1853r. Przez K. Pohlkego i zwane podstawowym twierdzeniem aksonometrii.

 

Trzy odcinki dowolnej długości leżące na płaszczyźnie rysunku i wychodzące z jednego punktu O_a z których nie wszystkie leżą na jednej prostej, mogą być uważane za rzut równoległy trzech odcinków równej długości, wychodzących z punktu O i wzajemnie prostopadłych.

Z powyższego twierdzenia wynikają bezpośrednio dwa wnioski:

1)               Kąty między osiami aksonometrycznymi można przyjąć dowolnie,
zawsze bowiem znajdzie się taki kierunek rzutów, przy którym założenie
to będzie realne;

2)               Jednostki aksonometryczne, a tym samym i współczynniki deformacji
liniowej, można przyjąć dowolnie, jeżeli rysunek nie jest wykonany
w określonej podziałce.

Wobec tego rysunek poniżej może być uważany za rzut równoległy pewnego sześcianu, chociaż wydaje się to nieprawdopodobne.

 

Rzut równoległy sześcianu.  

        Zastrzeżenie ,że „rysunek nie jest wykonany w określonej podziałce" wymaga wyjaśnienia. Zwróćmy uwagę, że z twierdzenia Pohlkego wynika, iż dowolnym odcinkom na rzutni aksonometrycznej można zawsze przyporządkować trzy równe odcinki osi rzutów x, y i z tak, że pierwsze z nich będą rzutami równoległymi drugich. Jaka może być długość tych odcinków tego twierdzenie Pohlego nie mówi; nie można z niego zatem wyciągnąć wniosku, że krawędź sześcianu, którego rzut równoległy jest podany na rysunku powyżej ma długość równą np. 100cm, jeżeli rysunek ten został wykonany w podziałce naturalnej 1:1.

Można jednak na pewno otrzymać rzut równoległy sześcianu o krawędzi 100cm, podobny do wykreślonego na rysunku powyżej. Jeżeli zatem nie będziemy zwracali uwagi na podziałkę rysunkową to rysunek ten będzie można uważać za rzut równoległy jakiegokolwiek sześcianu.

Jeżeli rzutnia aksonometryczna π_a nie jest równoległa do żadnej płaszczyzny rzutów, to przecina każdą z osi rzutów odpowiednio w punktach A, B i C. Punkty te są wierzchołkami tzw. trójkąta śladów aksonometrycznych; bokami a, bic tego trójkąta są odcinki śladów rzutni aksonometrycznej na π₁, π₂ , π_3.

Trójkąt śladów aksonometrycznych.

Na rysunku wykreślono również osie aksonometryczne wraz z jednostkami aksonometrycznymi; kierunek rzutów jest określony przez prostą OO_a.

Rodzaje aksonometrii

Rzuty aksonometryczne, podobnie jak i rzuty równolegle, dzielimy na prostokątne i ukośne. Jeżeli kierunek rzutów k jest prostopadły do rzutni aksonometrycznej π_a, to otrzymaną aksonometrię nazywamy prostokątną. W przeciwnym przypadku aksonometrię nazywamy ukośną.

Inny podział aksonometrii otrzymamy biorąc za podstawę współczynnik deformacji liniowej. Jeżeli wszystkie współczynniki są sobie równe, czyli gdy l=m=n, to aksonometrię nazywamy izometryczną lub krótko izometrią. Jeżeli tylko dwa współczynniki są sobie równe, a trzeci ma wartość różną, to aksonometrię nazywamy dimetryczną (dimetria). Jeżeli żaden ze współczynników nie jest sobie równy, to aksonometrię nazywamy anizometryczną (anizometria).

Izometria

Jeżeli rzutnia aksonometryczna jest tak przyjęta, że osie aksonometryczne xⁿ, yⁿ, zⁿ tworzą jednakowe kąty z osiami x, y, z układu prostokątnego, to występuje równość skróceń aksonometrycznych S_x=S_y=S_z. Wówczas trójkąt śladów aksonometrycznych jest trójkątem równobocznym, kąty między osiami aksonometrycznymi są jednakowe i wynoszą 120°. Wielkość skrócenia aksonometrycznego S = S_x = S_y = S_z określamy z równania charakterystycznego:

(2)

Otrzymujemy: 3S² =2 (3)

 

stąd: (4)

W praktyce przyjmujemy:

S_x=S_y=S_z=1 (5)

 Stosunek skróceń aksonometrycznych:

S_x:S_y:S_z=1:1:1 (6)

 

Układ osi aksonometrycznych pokazany jest na rysunku.

  a) b)

Osie w izometrii: a) kąt między osiami, b) konstrukcja.  

Przykładowy rzut izometryczny prostopadłościanu z wycięciem pokazany jest na rysunku poniżej.

Rzut izometryczny prostopadłościanu.

Transformacja

Rzutowanie punktu 

Rysunek przedstawia rzut punktu A na rzutnie podstawowe π₁ i π₂, oraz rzutnie π₃ i π₄. Transformacja (rzutowanie punktów na rzutnie π₃ , π₄, ...) punktu A na rzutnię π₃ polega na odmierzeniu wysokości h tego punktu z rzutni π₂, natomiast rzut tego punktu na płaszczyznę π₄ wyznaczamy poprzez odmierzenie odległości X z rzutni π_4.

Rzutowanie punktu A na rzutnie π_1, π_2, π_3, π_4.

Rzutowanie sześcianu 

Na rysunku przedstawiono przykład rzutowania sześcianu ABCDEFGH na rzutnie podstawowe π₁ oraz π₂, a także na dodatkowe rzutnie π₃ i π₄, zgodnie z zasadą transformacji przedstawionej na rysunku.

Rzut sześcianu narzutnie π1 ,π2 ,π3 ,π4.

Przekroje stożka obrotowego

Elipsa 

Na rysunku przedstawiono rozwiązanie zadania polegającego na wyznaczeniu przekroju stożka po przecięciu płaszczyzną Ponieważ płaszczyzna α przecina dwie tworzące obrysowe 1’W’ i 2’W’ w punktach A' i B', krzywą będzie elipsa, wyznaczona przez średnice sprzężone AB i CD.

 

Przekrój stożka po przecięciu płaszczyzną , gdzie: AB i CD - średnice sprzężone elipsy, E i F- punkty zmiany widoczności.

Parabola 

Rozwiązanie zadania z rysunku poniżej polega na wyznaczeniu przekroju stożka po przecięciu płaszczyzną . Ponieważ płaszczyzna P jest równoległa do tworzącej obrysowej 4”W” stąd krzywa będzie parabolą.

Przekrój stożka po przecięciu płaszczyzną ,

gdzie: - punkt niewłaściwy, k - kierownica paraboli, N - punkt zmiany widoczności.  

Hiperbola 

Rysunek przedstawia rozwiązanie zadania polegającego na wyznaczeniu przekroju stożka po przecięciu płaszczyzną . Ponieważ płaszczyzna γ przecina jedną tworzącą obrysową 1”W” w punkcie A” i jednocześnie nie jest równoległa do drugiej tworzącej obrysowej to krzywa będzie hiperbolą.

Przekrój stożka po przecięciu płaszczyzną

gdzie: i - punkty niewłaściwe, t₁ i t₂ - asymptoty hiperboli.

Przekrój i rozwinięcie ostrosłupa

Zadanie polega na wyznaczeniu przekroju ostrosłupa trójkątnego płaszczyzną α pionowo-rzutującą oraz wyznaczyć rozwinięcie (siatkę) ostrosłupa.

Dla wyznaczenia rzeczywistych długości krawędzi bocznych ostrosłupa stosujemy metodę obrotu. Krawędzie podstawy ostrosłupa na rzutni π₁ występują w rzeczywistych długościach. Rozwiązanie przedstawiono na rysunku.

Przekrój i rozwinięcie ostrosłupa trójkątnego:

a) przekrój ostrosłupa, b) rozwinięcie (siatka) ostrosłupa.

Przenikanie płaszczyzn

Rysunek przedstawia rozwiązane zadania, którego celem jest wyznaczenie wspólnej krawędzi PR w rzucie na płaszczyzny π₁ i π₂ .W celu rozwiązania zadania wprowadzono dwie dowolne płaszczyzny α” oraz β”, które są prostopadłe do rzutni π₂. Płaszczyzna α pokrywa się z krawędzią DE należącą do trójkąta DEF. Przecina ona drugi trójkąt ABC wzdłuż prostej k. Ponieważ krawędź k oraz krawędź DE leżą na jednej płaszczyźnie α stąd powstaje punkt przecięcia R który jest jednocześnie punktem należącym do wspólnej krawędzi obydwu trójkątów. Analogicznie wyznaczamy drugi punk P należący do wspólnej krawędzi.

Wspólna krawędź PR dwóch trójkątów ABC i DEF.

Przenikanie brył obrotowych

Zadanie z rysunku polega na wyznaczeniu linii przenikania kuli z powierzchnią walca obrotowego o osi pionowej. Punkty linii przenikania znajdujemy prowadząc pomocnicze płaszczyzny czołowe α’₁, α’₂, … na rzutni π₁. Na płaszczyznach tych powstają przekroje w formie koła (kula) oraz tworzących należących do walca. Punkty przecięcia tych tworzących z okręgami wyznaczają wspólne punkty należące do krzywej przenikania.

 

Przenikanie walca obrotowego z kulą.