Michał Pietrzak gr. 2.6 2011/2012

Mechanika Płynów

(studia dzienne – rok II, semestr 3)

Praca domowa nr 2

Zadanie nr 1

Wyprowadzić równanie dynamiki płynu lepkiego, rozważania opatrzyć komentarzami i ilustracjami. Napisać równania dla płynu ściśliwego oraz w rozwiniętej postaci dla ustalonego przepływu płynu.

Rozpatruję dowolny obszar Ω:

Prawo Newtona:

Zmiana pędu ciała (pochodna pędu) w czasie jest równa sumie sił działających na ten obszar.

Więc dla każdego obszaru Ω:

Gdzie:

Korzystając z twierdzenia Gaussa- Ostrogradskiego otrzymuję:

Dla płynu lepkiego występują zależności:

;

Podstawiam i otrzymuję:

Gdzie:

σ_{L –} tensor naprężeń związanych z odkształceniem postaciowym płynu lepkiego

- dewiator prędkości odkształcenia postaciowego

μ - lepkość dynamiczna płynu

Tensor prędkości odkształcenia postaciowego wynosi:

, ponieważ

Gdzie:

-macierz jednostkowa

Zatem otrzymuję:

Następnie:

, gdzie ∇ jest operatorem Laplace’a

Więc:

Ponieważ to dalej mogę napisać:

Podążając dalej mam zależność na siłę wypadkową:

Z bilansu pędu wiem, że:

Korzystając z twierdzenia Gaussa- Ostrogradskiego otrzymuję:

i podstawiając:

Ponieważ (gdzie to gęstość płynu), oraz ,otrzymuję:

Wiem, że jest pochodną materialną i podstawiając do równania otrzymuję:

podstawiając powstaje:

oraz podstawiając dalej:

Prawo zachowania masy prowadzi do zależności: , a zatem:

Porównując wyrażenia podcałkowe, otrzymuję równanie dynamiki płynu lepkiego (ściśliwego):

- prawo zachowania masy (ciągłości)

- gęstość płynu w funkcji ciśnienia

Powyższe równania są równaniami dynamiki płynu lepkiego, zwane

równaniami Naviera-Stokesa.

Równania płynu ściśliwego to powyższe równania Naviera-Stokesa, czyli:

Równanie w rozwiniętej postaci dla ustalonego przepływu płynu

(stały w czasie )