| POLITECHNIKA POZNAŃSKA | PRZEMYSŁAW BIELECKI NORBERT GRUSZCZYŃSKI |
|---|---|
| Data wykonania 25.03.2010 | |
Rok studiów I Semestr II |
Wydział: FT Kierunek: ETI Grupa laboratoryjna: II |
| Temat: Wyznaczanie charakterystyki statycznej przetworników pomiarowych |
1.Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia jest zbadanie charakterystyki statycznej przetwornika pomiarowego przez odczytanie przemieszczeń x końcówki przetwornika dla zadawanych wartości y na przyrządzie GIMETR. Następnie zebranie punktów pomiarowych, umieszczenie ich w tabeli i po dokonaniu obliczeń dokonanie aproksymacji liniowej funkcji y = f(x) za pomocą metody najmniejszych kwadratów.
2.Sprzęt pomiarowy:
- Mikroskop ze spiralą Archimedesa mierzący przesunięcie końcówki przetwornika z dokładnością do 0,0001mm
- Przyrząd GIMETR służący do odczytywania wartości y
3.Przebieg ćwiczenia:
Zapoznanie się z obsługą mikroskopu ze spiralą Archimedesa.
Zadawanie na mikroskopie wartości przesunięć końcówki przetwornika od 22,9645 do 25,2645 a następnie odczytanie wartości y na przyrządzie GIMETR
Sporządzenie protokołu.
4.Tabela z wynikami:
| Lp. | yi | xi | Xi | xiyi | xi2 | y (MNK) | ∆y (MNK) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [μm] | [mm] | [μm] | [μm] | [mm2] | [μm] | [μm] | |
| 1 | -1000 | 22,9645 | -1122 | 1122000 | 1258884 | -994,4998 | -5,5002 |
| 2 | -956 | 23,0145 | -1072 | 1024832 | 1149184 | -950,0528 | -5,9472 |
| 3 | -913 | 23,0645 | -1022 | 933086 | 1044484 | -905,6058 | -7,3942 |
| 4 | -870 | 23,1145 | -972 | 845640 | 944784 | -861,1588 | -8,8412 |
| 5 | -826 | 23,1645 | -922 | 761572 | 850084 | -816,7118 | -9,2882 |
| 6 | -782 | 23,2145 | -872 | 681904 | 760384 | -772,2648 | -9,7352 |
| 7 | -738 | 23,2645 | -822 | 606636 | 675684 | -727,8178 | -10,1822 |
| 8 | -694 | 23,3145 | -772 | 535768 | 595984 | -683,3707 | -10,6293 |
| 9 | -650 | 23,3645 | -722 | 469300 | 521284 | -638,9237 | -11,0763 |
| 10 | -606 | 23,4145 | -672 | 407232 | 451584 | -594,4767 | -11,5233 |
| 11 | -561 | 23,4645 | -622 | 348942 | 386884 | -550,0297 | -10,9703 |
| 12 | -517 | 23,5145 | -572 | 295724 | 327184 | -505,5827 | -11,4173 |
| 13 | -472 | 23,5645 | -522 | 246384 | 272484 | -461,1357 | -10,8643 |
| 14 | -428 | 23,6145 | -472 | 202016 | 222784 | -416,6887 | -11,3113 |
| 15 | -383 | 23,6645 | -422 | 161626 | 178084 | -372,2417 | -10,7583 |
| 16 | -339 | 23,7145 | -372 | 126108 | 138384 | -327,7947 | -11,2053 |
| 17 | -293 | 23,7645 | -322 | 94346 | 103684 | -283,3477 | -9,6523 |
| 18 | -249 | 23,8145 | -272 | 67728 | 73984 | -238,9007 | -10,0993 |
| 19 | -204 | 23,8645 | -222 | 45288 | 49284 | -194,4537 | -9,5463 |
| 20 | -167 | 23,9145 | -172 | 28724 | 29584 | -150,0067 | -16,9933 |
| 21 | -113 | 23,9645 | -122 | 13786 | 14884 | -105,5597 | -7,4403 |
| 22 | -70 | 24,0145 | -72 | 5040 | 5184 | -61,11266 | -8,8873 |
| 23 | -24 | 24,0645 | -22 | 528 | 484 | -16,66565 | -7,3343 |
| 24 | 0 | 24,0865 | 0 | 0 | 0 | 2,891033 | -2,8910 |
| 25 | 21 | 24,1145 | 28 | 588 | 784 | 27,78136 | -6,7814 |
| 26 | 65 | 24,1645 | 78 | 5070 | 6084 | 72,22836 | -7,2284 |
| 27 | 110 | 24,2145 | 128 | 14080 | 16384 | 116,6754 | -6,6754 |
| 28 | 155 | 24,2645 | 178 | 27590 | 31684 | 161,1224 | -6,1224 |
| 29 | 199 | 24,3145 | 228 | 45372 | 51984 | 205,5694 | -6,5694 |
| 30 | 244 | 24,3645 | 278 | 67832 | 77284 | 250,0164 | -6,0164 |
| 31 | 289 | 24,4145 | 328 | 94792 | 107584 | 294,4634 | -5,4634 |
| 32 | 333 | 24,4645 | 378 | 125874 | 142884 | 338,9104 | -5,9104 |
| 33 | 378 | 24,5145 | 428 | 161784 | 183184 | 383,3574 | -5,3574 |
| 34 | 422 | 24,5645 | 478 | 201716 | 228484 | 427,8044 | -5,8044 |
| 35 | 467 | 24,6145 | 528 | 246576 | 278784 | 472,2514 | -5,2514 |
| 36 | 511 | 24,6645 | 578 | 295358 | 334084 | 516,6984 | -5,6984 |
| 37 | 556 | 24,7145 | 628 | 349168 | 394384 | 561,1454 | -5,1454 |
| 38 | 599 | 24,7645 | 678 | 406122 | 459684 | 605,5924 | -6,5924 |
| 39 | 644 | 24,8145 | 728 | 468832 | 529984 | 650,0394 | -6,0394 |
| 40 | 688 | 24,8645 | 778 | 535264 | 605284 | 694,4865 | -6,4865 |
| 41 | 731 | 24,9145 | 828 | 605268 | 685584 | 738,9335 | -7,9335 |
| 42 | 776 | 24,9645 | 878 | 681328 | 770884 | 783,3805 | -7,3805 |
| 43 | 818 | 25,0145 | 928 | 759104 | 861184 | 827,8275 | -9,8275 |
| 44 | 861 | 25,0645 | 978 | 842058 | 956484 | 872,2745 | -11,2745 |
| 45 | 905 | 25,1145 | 1028 | 930340 | 1056784 | 916,7215 | -11,7215 |
| 46 | 947 | 25,1645 | 1078 | 1020866 | 1162084 | 961,1685 | -14,1685 |
| 47 | 991 | 25,2145 | 1128 | 1117848 | 1272384 | 1005,615 | -14,6155 |
| 48 | 1033 | 25,2645 | 1178 | 1216874 | 1387684 | 1050,063 | -17,0625 |
| SUMA | 888 | 1157,468 | 1316 | 19243914 | 21656848 | 1172,736 |
Gdzie:
xi - wartość współrzędnej przemieszczenia wzorca
yi - wartość wskazywana przez przyrząd GIMETR
Xi – wartość współrzędnej przemieszczenia wzorca po transformacji układu współrzędnych
Xi = xi – x(y=0), gdzie x(y=0)to wartość współrzędnej przemieszczenia wzorca dla zadanej wartości y = 0 μm.
5.Obliczenia
a) Kolumna z wartościami Xi obliczona została poprzez odjęcie od odpowiednich wartości znajdujących się w kolumnie xi wartości x z 24 pomiaru dla którego y = 0. Np. dla pierwszego pomiaru:
X1 = x1 – x24 = 22,9645 mm – 24,0865 mm = - 1,122 mm = -1122 μm.
Wyniki zamieniamy na μm ponieważ na tych jednostkach będziemy wykonywać dalsze operacje i obliczenia.
b) Po odczytaniu wartości widzimy że zakres linowy występuje na całości pomiaru
– 1000 ≤ x ≤ + 1033
c) Dla tego zakresu obliczamy parametry a i b prostej regresji y = ax + b :
a = (n Σ xiyi -Σ Xi Σ yi )/M
b = (Σ xi2 Σyi - Σ xiyi Σxi)/M
gdzie:
n = 48 to liczba punktów charakterystyki uwzględniona w obliczeniach
Σ Xi to suma wartości z czwartej kolumny tabelki
Σyi to suma wartości z drugiej kolumny tabelki
Σ Xi yi to suma iloczynów wartości z drugiej i czwartej kolumny tabelki
M = n Σ Xi 2 – (Σ Xi)2= 1039528704 – 1731856 = 1037796848
Wyniki obliczeń pomocniczych w metodzie najmniejszych kwadratów
| n Σ xiyi | Σxi | Σyi | n Σxi2 | Σ xi2 | (Σxi)2 | Σ xiyi | M |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 923707872 | 1316 | 888 | 1039528704 | 25127848 | 1731856 | 19243914 | 1037796848 |
Czyli:
a= (923707872-1316*888)/ 1037796848 = 922539264/1037796848 = 0,888940129060789 ≈ 0,88894
b= (25127848*888 - 19243914*1316)/ 1037796848 = (22331281324-25324990824)/1037796848=
-2999988879/1037796848=-2,8910327884 ≈ -2,89103
Zatem prosta regresji przyjmuje postać: y = 0,88894x--2,89103
6. Obliczenie błędów i parametrów metrologicznych przetwornika
- Czułość przetwornika
S = a
Gdzie a to współczynnik kierunkowy prostej uzyskanej metodą najmniejszych kwadratów, czyli czułość przetwornika S = 0,88894
- Błąd nieliniowości
Kolumna z wartościami yi(MNK) została obliczona z otrzymanej prostej regresji liniowej np. dla Xi = - 1122
yi(MNK) = 0= 0,88894*(-1122) - 5,87178=-991,519
Kolumna z wartościami ∆yi(MNK) powstała w wyniku odjęcia od kolumny yi kolumny yi(MNK) . Np. dla yi = -1000
∆yi(MNK) = -1000 – (-991,519) = -8,4809504
Gdzie ∆yi(MNK) to różnice rzędnych odczytanej i obliczonej metodą najmniejszych kwadratów dla i-tej wartości odciętej.
Maksymalny błąd nieliniowości występujący dla 20-ego punktu pomiarowego obliczamy ze wzoru:
δl = ∆yi(MNK)max/( yimax - yimin)
czyli
δl = 23,9145/[1033 –(-1000)] = 23,9145/2033 = 0,011763
Zatem błąd nieliniowości δl = 0,0111763
7. Wnioski:
Po przeprowadzeniu ćwiczenia, możemy stwierdzamy, że zakres liniowy występuje dla wartości –1000 ≤ x ≤ +1033. Dlatego też używamy całego zbadanego zakresu do wyznaczenia regresji. Błąd nieliniowości, który został wyliczony, nie jest duży i wynosi 1,11% (0,011763∙ 100%). Różnice między wartościami y zmierzonymi, a obliczonymi, czyli wartości ∆yi(MNK) ,nie są zbyt duże, za wyjątkiem 20 pomiaru co objawia się też położeniem tego punktu na linii trendu (punkt ten tylko w małym stopniu pokrywa się z linią trentu).