CIĘGNA-taki ustrój który przenosi tylko siły (naprężenia)związane z rozciąganiem. Cięgno o małym zwisie gdy: f/l _<1/20 , s≈l ; s-długość liny -> γ-ciężar właściwy materiału cięgna ; H-siła naciągu liny na jej przekroju środkowym -> H= Al2/8f; H=T*cosα ≈T1; cosα≈1; α-mały kąt -> Ϭ=T/A= γAl²/8fA= γl²/8f ; Ϭ_<kr => f>_ γl²/8Kr/ZESZTYWNIENIA:Linie działania sił przyłożonych do układu nieodkształcalnego nie zmieniaja się jeżeli układ się odkształci.Kierunki sił nie przesuwają się względem odkształcenia /PRĘT PRYZMATYCZNY:o stałym przekroju -> γ –cieżar właściwy preta-> Ϭ=P/A+ γ(l-x); Ϭmax= γl+P/A dla x=0 -> Dł zerwania: Ϭmax=Rm – war.zniszczenia materiału -> Ϭ(x)= γ(l-x); Ϭmax= Ϭ(x=0)= γl ; γkr=Rm ; kr=Rm/ γ|ENERGIA SPRĘŻYSTA: Jeśli wartość siły wzrasta od 0 do P to wykonuje ona pracę: L=∫₀^P dL -> dL=½*[F+(F+dF)]du=½*dFdu+Fdu≈Fdu -> u=fl/EA -> du=dFl/EA -> dL=Fdu=F*{dFl/EA} = l/EA *Fdf -> L=l/EA= ∫₀^P FdF=½*P* (Pl/EA)=½*Pλ -> Es=Ls=½*Pλ -> Es=P²l/2EA=½*LA*1/E*P^Z/A^Z=½*V*V²/E => Es=½*V*(Ez)^Z/E = ½*V*ԑ(Eԑ)=1/2*V*Eԑ²|NAPRĘŻENIA DYNAMICZNE POZIOME: ES=EK; ½*P²_dl/EA=½mv²₀ ; P_d=v₀ * Pier EAm/l -> λd=P_d²/EA=v_o* Pier ml/EA ; Ϭ_d=P_d/A=v_o Pier Em/Al PIONOWE:Es=Ep; ½Pλ=mg(h+λd); ½ *l/EA*P²_d=mg(h+P_dl/EA) -> ½*l/EA*P²_d -mlg/EA*P_d-mgh=0 ; P²_d -2mgP_d-2EAmgh/l -> P_d=mg -+ mg Pier 1+2EAh/tmg / ZMIANA WYMIARÓW: ԑ_x=∆dx/dx=∆l/l=Ϭ_x/E ; ∆dy/dy=ԑ_y=h’-h/h=V*ԑ_x<0 -> ԑ_z= -Vԑ_x ; V=|ԑ_y/ԑ_z| = |ԑ_z/ԑ_x| Materiał kurczy się o te same wartości.wynika to z izotropii materiału.Jednoosiowy stan naprężenia wywołuje przestrzenny stan odkształcenia-l.Poissona/JEDNOOSIOWY[Ϭx≠0, Ϭy= sz= txy= tzx= tzy= 0]: wystapi jako rozciaganie gdy Ϭ1=Ϭ<0; Ϭ2=0; Ϭ3=0/PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA[Ϭx≠0, Ϭy≠0, txy≠0 Ϭz= tzx= tzy= 0]:występuje gdy jedno z naprężeń równe jest zeru to stan naprężenia nazywa się płaskim.Można dobrać w taki sposób układ współrzędnych, że naprężenia normalne przyjmą wartości ekstremalne a naprężenia styczne przyjmą wartości zerowe. Naprężenia normalne w takim układzie są nazywane naprężeniami głównymi, a kierunki osi kierunkami głównymi/UDOWODNIĆ: ∑Mix=0 ; txydydzdx-tyxdxdzdy+dϬxdydz*dy/2 – dϬydxdz*dx/2+pxdxdydz*dy/2-Pydxdydz*dx/2 -> txydydzdx-tyxdxdzdy=0 -> txy=tyx/UOGÓLNIONE PRAWO HOOKA:dla odkształceń linowych: ԑ_x=1/E[Gx-V(Gy-Gz)]; ԑ_y=1/E [Gy-V(Gx+Gz)]; ԑ_z=1/E[Gz-V(Gx+Gy)] dla odkształceń kątowych: γ_xy=t_xy/G ; γ_xz =t_xz/G; γ_yz=t_yz/G/CZYSTE ŚCINANIE:jeśli w przekrojach tylko naprężenia styczne. Z uogólnionego prawa Hooka wychodzi: G=E/2(1-V)/MOMENT ZBOCZENIA:moment względem układu odniesienia osi [Ixy=∫_A xydA] -> ½*Ixy=∫_A xydA=∫₀^h *a_y/2*y*a_ydy=½∫₀^h * y*a²/h²*(h-y)²dy=a²/ 2h²*∫₀^h (h²y-2hy²+y³)dy=a²/2h²*(h⁴/2-2h*h³/3+h⁴/4); ½*Ixy=a²h²/2h² (6h²/12-8h²/12+3h²/12)=a²h²/24 /:2 ; Ixy= a²h²/12 /

NAPRĘŻENIA W SKRĘCANYM WALE KOLISTYM: t=Ms*p/Io – naprężenia styczne przy skrecaniu ; tmax=Ms/Wo ; Wo=Io/pmax – wskaźnik wytrz. Przek na skrecanie ;Io=πd4/32 –dla koła ; ϕ=Ms*l/G*Io – kąt skręcenia wału/CAŁKOWE WYRAŻENIA: N=∫_A ϬdA ; ty=∫_A txy; tz=∫_A txz ; Ms=∫_A (t_xzy-t_xyz)dA; M_gy=∫_A Ϭ_yzdA ; Mgz= - ∫_A Ϭ_XydA/ZALEŻNOŚCI RÓŻNICZKOWE: ∑Pix=0 -> dT/dx=-q(x) ; ∑Piy=0 -> dM/dx=T ; ∑Mix=0 -> dN/dx= -p(x)/CZYSTE ZGINANIE:występuje w przypadku belki obciążonej dwiema parami sił o momentach równych lecz przeciwnie zwróconych.Osią obojętną przekroju poprzecznego belki zginanej nazwamy część wspólną warstwy obojętnej i przekroju poprzecznego belki.Os obojętna stanowi główną oś bezwładności przekroju poprzecznego belki.Czyste zginanie występuje wtedy i tylko wtedy gdy siły wewnętrzne (przekrojowe) redukują się do wektora momentu leżącego na głównej centralnej osi bezwładności przekroju poprzecznego belki.Naprężenia z prawa Hooka:Ϭ_x=M_yz/I_y/RÓWNANIE UGIĘCIA BELKI: E*Iy*d²ω/d²x= - Mg(x) [Sztywność na zginanie; ugięcie]|ANALITYCZNA: ∑Mik=0 -> w(x=0)=0; M(x)+P(l-x)=0 -> w’(x=0)=0 -> M(x)= -P(l-x) -> Elw”= -M(x) -> Elw’=P(lx-x2/2)+C -> Elw=P(l*x2/2-x2/6)+cx -> W(x=l)=P/El[l³/2-l²/6] -> f_B=W_X=L=Pl/3El –strzałka ugięcia belki -> w’(x=l)=P/El[l²-½*l²] -> ϴ_B=Pl²/2El- kąt obrotu końca belki|BELKA O RÓWNOMIERNEJ WTRZYMAŁOSCI:to belka w przekroju której maksymalne naprężenia wywołane monentami gnacymi są jednakowe(takie same) -> Ϭmax=My(x)/Wy(x)= Ϭdop=const -> My=P(l-x) -> Wy(x)=b(x)h²/6 -> Naprężenia normalne w takich belkach są we wszystkich przekrojach jednakowe|ZGINANIE UKOŚNE:występuje wtedy gdy płaszyczna sił nie zawiera żadnej głównej centralnej osi bezwład. Przekroju(nie zawiera żądnej osi symetrii przechodzącej przez środek ciężkości).-> My=Mcosϕ -> Mz=Msinϕ -> Ϭ=(y,z)=0 <-ϬM=0 równanie osi obojętnej.W przypadku tego zginania oś obojetna przechodzi przez te same ćwiartki ukł. wsp. y,z przez które przechodzi prosta na której leży wektor momentu gnącego M.Oś obojętna odchylona jest w kierunku osi momentu minimalnego. Oś odkształconej belki jest krzywą przestrzenną ponieważ My i Mz zależne są od X |ŚCIANIENIE TECHNICZNE:jeśli siły wew redukują się do siły scinającej T to ścianie. Tz=T=∫_A t_xzdA; Ty=∫_A t_xydA; Ms=∫_A(t_xzy-t_xyz)dA -> t_xy=0 ; t_xz=const=t_śr; T=∫_At_xzdA=∫_At_śrdA -> t_śr =t=T/A| OBCIĄŻENIA WTÓRNE:stosuje się tą metodę do obliczania przemieszczeń [w(x)-linii ugięcia osi belki oraz ϴ- kątów obrotu przekrojów poprzecznych belki Elw”= - M (x) ; dw/dx=ϴ(x) -> Elϴ(x)=Tf ; ϴ(x)=Tf/El

CIĘGNA-taki ustrój który przenosi tylko siły (naprężenia)związane z rozciąganiem. Cięgno o małym zwisie gdy: f/l _<1/20 , s≈l ; s-długość liny -> γ-ciężar właściwy materiału cięgna ; H-siła naciągu liny na jej przekroju środkowym -> H= Al2/8f; H=T*cosα ≈T1; cosα≈1; α-mały kąt -> Ϭ=T/A= γAl²/8fA= γl²/8f ; Ϭ_<kr => f>_ γl²/8Kr/ZESZTYWNIENIA:Linie działania sił przyłożonych do układu nieodkształcalnego nie zmieniaja się jeżeli układ się odkształci.Kierunki sił nie przesuwają się względem odkształcenia /PRĘT PRYZMATYCZNY:o stałym przekroju -> γ –cieżar właściwy preta-> Ϭ=P/A+ γ(l-x); Ϭmax= γl+P/A dla x=0 -> Dł zerwania: Ϭmax=Rm – war.zniszczenia materiału -> Ϭ(x)= γ(l-x); Ϭmax= Ϭ(x=0)= γl ; γkr=Rm ; kr=Rm/ γ|ENERGIA SPRĘŻYSTA: Jeśli wartość siły wzrasta od 0 do P to wykonuje ona pracę: L=∫₀^P dL -> dL=½*[F+(F+dF)]du=½*dFdu+Fdu≈Fdu -> u=fl/EA -> du=dFl/EA -> dL=Fdu=F*{dFl/EA} = l/EA *Fdf -> L=l/EA= ∫₀^P FdF=½*P* (Pl/EA)=½*Pλ -> Es=Ls=½*Pλ -> Es=P²l/2EA=½*LA*1/E*P^Z/A^Z=½*V*V²/E => Es=½*V*(Ez)^Z/E = ½*V*ԑ(Eԑ)=1/2*V*Eԑ²|NAPRĘŻENIA DYNAMICZNE POZIOME: ES=EK; ½*P²_dl/EA=½mv²₀ ; P_d=v₀ * Pier EAm/l -> λd=P_d²/EA=v_o* Pier ml/EA ; Ϭ_d=P_d/A=v_o Pier Em/Al PIONOWE:Es=Ep; ½Pλ=mg(h+λd); ½ *l/EA*P²_d=mg(h+P_dl/EA) -> ½*l/EA*P²_d -mlg/EA*P_d-mgh=0 ; P²_d -2mgP_d-2EAmgh/l -> P_d=mg -+ mg Pier 1+2EAh/tmg / ZMIANA WYMIARÓW: ԑ_x=∆dx/dx=∆l/l=Ϭ_x/E ; ∆dy/dy=ԑ_y=h’-h/h=V*ԑ_x<0 -> ԑ_z= -Vԑ_x ; V=|ԑ_y/ԑ_z| = |ԑ_z/ԑ_x| Materiał kurczy się o te same wartości.wynika to z izotropii materiału.Jednoosiowy stan naprężenia wywołuje przestrzenny stan odkształcenia-l.Poissona/JEDNOOSIOWY[Ϭx≠0, Ϭy= sz= txy= tzx= tzy= 0]: wystapi jako rozciaganie gdy Ϭ1=Ϭ<0; Ϭ2=0; Ϭ3=0/PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA[Ϭx≠0, Ϭy≠0, txy≠0 Ϭz= tzx= tzy= 0]:występuje gdy jedno z naprężeń równe jest zeru to stan naprężenia nazywa się płaskim.Można dobrać w taki sposób układ współrzędnych, że naprężenia normalne przyjmą wartości ekstremalne a naprężenia styczne przyjmą wartości zerowe. Naprężenia normalne w takim układzie są nazywane naprężeniami głównymi, a kierunki osi kierunkami głównymi/UDOWODNIĆ: ∑Mix=0 ; txydydzdx-tyxdxdzdy+dϬxdydz*dy/2 – dϬydxdz*dx/2+pxdxdydz*dy/2-Pydxdydz*dx/2 -> txydydzdx-tyxdxdzdy=0 -> txy=tyx/UOGÓLNIONE PRAWO HOOKA:dla odkształceń linowych: ԑ_x=1/E[Gx-V(Gy-Gz)]; ԑ_y=1/E [Gy-V(Gx+Gz)]; ԑ_z=1/E[Gz-V(Gx+Gy)] dla odkształceń kątowych: γ_xy=t_xy/G ; γ_xz =t_xz/G; γ_yz=t_yz/G/CZYSTE ŚCINANIE:jeśli w przekrojach tylko naprężenia styczne. Z uogólnionego prawa Hooka wychodzi: G=E/2(1-V)/

MOMENT ZBOCZENIA:moment względem układu odniesienia osi [Ixy=∫_A xydA] -> ½*Ixy=∫_A xydA=∫₀^h *a_y/2*y*a_ydy=½∫₀^h * y*a²/h²*(h-y)²dy=a²/ 2h²*∫₀^h (h²y-2hy²+y³)dy=a²/2h²*(h⁴/2-2h*h³/3+h⁴/4); ½*Ixy=a²h²/2h² (6h²/12-8h²/12+3h²/12)=a²h²/24 /:2 ; Ixy= a²h²/12 / NAPRĘŻENIA W SKRĘCANYM WALE KOLISTYM: t=Ms*p/Io – naprężenia styczne przy skrecaniu ; tmax=Ms/Wo ; Wo=Io/pmax – wskaźnik wytrz. Przek na skrecanie ;Io=πd4/32 –dla koła ; ϕ=Ms*l/G*Io – kąt skręcenia wału/CAŁKOWE WYRAŻENIA: N=∫_A ϬdA ; ty=∫_A txy; tz=∫_A txz ; Ms=∫_A (t_xzy-t_xyz)dA; M_gy=∫_A Ϭ_yzdA ; Mgz= - ∫_A Ϭ_XydA/ZALEŻNOŚCI RÓŻNICZKOWE: ∑Pix=0 -> dT/dx=-q(x) ; ∑Piy=0 -> dM/dx=T ; ∑Mix=0 -> dN/dx= -p(x)/CZYSTE ZGINANIE:występuje w przypadku belki obciążonej dwiema parami sił o momentach równych lecz przeciwnie zwróconych.Osią obojętną przekroju poprzecznego belki zginanej nazwamy część wspólną warstwy obojętnej i przekroju poprzecznego belki.Os obojętna stanowi główną oś bezwładności przekroju poprzecznego belki.Czyste zginanie występuje wtedy i tylko wtedy gdy siły wewnętrzne (przekrojowe) redukują się do wektora momentu leżącego na głównej centralnej osi bezwładności przekroju poprzecznego belki.Naprężenia z prawa Hooka:Ϭ_x=M_yz/I_y/RÓWNANIE UGIĘCIA BELKI: E*Iy*d²ω/d²x= - Mg(x) [Sztywność na zginanie; ugięcie]|ANALITYCZNA: ∑Mik=0 -> w(x=0)=0; M(x)+P(l-x)=0 -> w’(x=0)=0 -> M(x)= -P(l-x) -> Elw”= -M(x) -> Elw’=P(lx-x2/2)+C -> Elw=P(l*x2/2-x2/6)+cx -> W(x=l)=P/El[l³/2-l²/6] -> f_B=W_X=L=Pl/3El –strzałka ugięcia belki -> w’(x=l)=P/El[l²-½*l²] -> ϴ_B=Pl²/2El- kąt obrotu końca belki|BELKA O RÓWNOMIERNEJ WTRZYMAŁOSCI:to belka w przekroju której maksymalne naprężenia wywołane monentami gnacymi są jednakowe(takie same) -> Ϭmax=My(x)/Wy(x)= Ϭdop=const -> My=P(l-x) -> Wy(x)=b(x)h²/6 -> Naprężenia normalne w takich belkach są we wszystkich przekrojach jednakowe|ZGINANIE UKOŚNE:występuje wtedy gdy płaszyczna sił nie zawiera żadnej głównej centralnej osi bezwład. Przekroju(nie zawiera żądnej osi symetrii przechodzącej przez środek ciężkości).-> My=Mcosϕ -> Mz=Msinϕ -> Ϭ=(y,z)=0 <-ϬM=0 równanie osi obojętnej.W przypadku tego zginania oś obojetna przechodzi przez te same ćwiartki ukł. wsp. y,z przez które przechodzi prosta na której leży wektor momentu gnącego M.Oś obojętna odchylona jest w kierunku osi momentu minimalnego. Oś odkształconej belki jest krzywą przestrzenną ponieważ My i Mz zależne są od X |ŚCIANIENIE TECHNICZNE:jeśli siły wew redukują się do siły scinającej T to ścianie. Tz=T=∫_A t_xzdA; Ty=∫_A t_xydA; Ms=∫_A(t_xzy-t_xyz)dA -> t_xy=0 ; t_xz=const=t_śr; T=∫_At_xzdA=∫_At_śrdA -> t_śr =t=T/A| OBCIĄŻENIA WTÓRNE:stosuje się tą metodę do obliczania przemieszczeń [w(x)-linii ugięcia osi belki oraz ϴ- kątów obrotu przekrojów poprzecznych belki Elw”= - M (x) ; dw/dx=ϴ(x) -> Elϴ(x)=Tf ; ϴ(x)=Tf/El