POCHODNA

Pojęcie pochodnej funkcji jest podstawowym pojęciem analizy matematycznej i ma szerokie zastosowania. Definicję pochodnej podali niezależnie od siebie Newton, w związku z rozważaniami dotyczącymi prędkości ruchu punktu materialnego, oraz Leibniz, przy rozpatrywaniu zagadnienia stycznej do krzywej.

Definicja.

Niech dana będzie funkcja f : A→R, A⊂R. Jeżeli istnieje granica skończona

to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ i oznaczamy najczęściej symbolem f ’(x₀).

Iloraz

przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu nazywamy ilorazem różnicowym funkcji.

Wzory na pochodne wybranych funkcji znajdują się w dołączonej tablicy.

I. Interpretacja geometryczna. Równanie stycznej

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ i ma w tym punkcie pochodną f ’(x₀), to do wykresu tej funkcji istnieje w punkcie (x₀, f(x₀)) styczna o równaniu

y-f(x₀)=f ’(x₀)(x- x₀).

Styczna ta jest granicą siecznych przechodzących przez punkty A(x₀, f(x₀)) oraz

B(x₀+h, f(x₀+h)) przy h zmierzającym do 0. Fakt ten ilustruje poniższy rysunek.

Długość odcinka BC jest równa przyrostowi wartości funkcji f odpowiadającego przyrostowi argumentu o h (długość odcinka AC). Iloraz różnicowy funkcji jest więc stosunkiem długości odcinków BC do AC. Jest on zatem równy tangensowi kąta α nachylenia siecznej AB do osi OX, co oznacza, że w sensie geometrycznym jest on równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej AB.

Jeżeli przyrost argumentu h maleje do zera, to punkt B zbliża się do punktu A. Przy przejściu do granicy (czyli do pochodnej) punkt ten pokryje się z punktem A, a sieczna stanie się już styczną (im mniejszy przyrost argumentu h, tym bardziej sieczne zbliżają się do stycznej). Zatem pochodną w punkcie x₀ możemy interpretować geometrycznie jako współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o współrzędnych (x₀, f(x₀)).

Przykład.

Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=3x²-5 w punkcie A(1,-2).

Zauważmy od razu, że x₀=1 i f(x₀)=f(1)=-2. Aby skorzystać z podanego wzoru stycznej, brakuje nam tylko wartości f’(1). W tym celu policzmy pochodną

f’(x)= 6x oraz f’(1)= 6∙1=6.

Na podstawie podanego wzoru stycznej otrzymujemy

y-(-2)=6(x-1)

czyli równane stycznej do funkcji w punkcie A(1,-2) ma postać

y=6x-8

II. Monotoniczność funkcji

Jednym z najważniejszych zastosowań pochodnej funkcji jest badanie i wyznaczanie monotoniczności funkcji oraz wyznaczanie jej największej i najmniejszej wartości (w całej dziedzinie, lub jej podzbiorze). Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnych opiera się na następującym twierdzeniu Lagrange’a.

TWIERDZENIE Lagrange’a

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b] i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c∊(a, b), że

Wartość f’(c) interpretujemy jako średnią szybkość zmian wartości f(x) w przedziale [a, b]. Dlatego też twierdzenie to nosi nazwę twierdzenia o wartości średniej, lub twierdzenia o przyrostach.

Wnioski z tego twierdzenia są następujące:

1. Jeżeli pochodna funkcji f jest równa zero w każdym punkcie przedziału (a, b) to funkcja f jest stała w tym przedziale.

2. Jeżeli pochodna funkcji f jest dodatnia w każdym punkcie przedziału (a, b) to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca.

3. Jeżeli pochodna funkcji f jest ujemna w każdym punkcie przedziału (a, b) to funkcja f jest w tym przedziale malejąca.

Przykład.

Zbadamy monotoniczność funkcji f(x) = 4+3x²-x³.

Funkcja ta jako funkcja wielomianowa jest różniczkowalna. Policzmy jej pochodną i zbadajmy jej znak.

Zatem funkcja rośnie w przedziale (0, 2), natomiast maleje w przedziałach (-∞, 0) i (2,∞).

III. Ekstrema lokalne funkcji

Drugim bardzo ważnym zastosowaniem pochodnej funkcji jest wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji. Ekstremami lokalnymi funkcji nazywamy maksima i minima lokalne funkcji.

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum (minimum) lokalne równe f(x₀), jeżeli istnieje takie otoczenie (x₀-δ, x₀+δ) punktu x₀, że dla każdego x∊(x₀-δ, x₀+δ) zachodzi nierówność

f(x)≤ f(x₀) ( f(x)≥ f(x₀) )

Powyższe określenia ilustrują rysunki.

Pojęcie ekstremum funkcji w punkcie jest pojęciem lokalnym odnoszącym się do małego otoczenia tego punktu i nie należy go mylić z wartością najmniejszą i największą funkcji!

Pojęcia wartość największa lub wartość najmniejsza są globalne, a więc odnoszące się do całego zbioru, w którym określona jest dana funkcja.

Funkcja f może mieć w przedziale określoności kilka minimów i maksimów lokalnych, ale tylko jedną wartość najmniejszą i największą, która nie koniecznie musi być ekstremum lokalnym.

Na przedstawionym rysunku funkcja f w punktach x₁ i x₃ ma maksimum lokalne, a w punktach x₂ i x₄ minimum lokalne. Jednocześnie zauważmy, że najmniejszą wartością tej funkcji w przedziale [a, b] jest f(a), a największą f(x₁). Tak więc w przedziale [a, b] funkcja f osiąga w punkcie x=a minimum globalne (mimo, że nie jest to minimum lokalne!), a w punkcie x=x₁ maksimum globalne.

Ponieważ bezpośrednio z definicji trudno jest wyznaczyć ekstremum, sformułujemy teraz twierdzenia podające warunki konieczne i wystarczające istnienia ekstremum lokalnego funkcji f w punkcie x₀.

TWIERDZENIE Fermata

Jeżeli funkcja różniczkowalna f ma w punkcie x₀ ekstremum, to f ’(x₀)=0.

Twierdzenie Fermata orzeka, że warunkiem koniecznym na to, aby funkcja f różniczkowalna w punkcie x₀, miała w tym punkcie ekstremum jest zerowanie się pochodnej w tym punkcie.

Zerowanie się pochodnej w pewnym punkcie nie wystarcza jednak do istnienia ekstremum, w tym punkcie czego dowodem jest poniższy przykład.

Przykład 1.

Funkcja g(x)=x³ nie ma ekstremum w punkcie x₀=0 (co jest widoczne na poniższym rysunku), ale jak łatwo sprawdzić g’(0)=0.

Pojawia się wiec pytanie o warunek wystarczający istnienia ekstremum i określenia jego typu (czy jest to maksimum czy minimum). Odpowiedź jest następująca.

Warunkiem wystarczającym na to, aby funkcja f miała w punkcie x₀, w którym pochodna się zeruje (f’(x₀)=0) ekstremum jest zmiana znaku pochodnej w tym punkcie, przy czym jeśli pochodna zmienia znak z - na +, to funkcja ma w punkcie x₀ minimum, natomiast jeśli pochodna zmienia znak z + na -, to funkcja ma w punkcie x₀ maksimum.

Przykład 2.

Zbadajmy ekstrema funkcji f(x)=2x³+3x²-36x+15.

Obliczamy pochodną:

f’(x) = 6x²+6x-36

f’(x) = 6 (x²+x-6),

czyli

f’(x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x²+x-6 = 0, tj. dla x=-3 i x=2

Badamy teraz znak pochodnej. W tym celu narysujmy jej przybliżony wykres.

Widzimy więc, że w punkcie x=-3 funkcja ma maksimum (znak pochodnej zmienia się z + na - ) równe f_max(-3)=96, a punkcie x=2 funkcja ma minimum (znak pochodnej zmienia się z - na + ) równe f_min(2)=-19.

Przykład 3.

Zbadajmy jaką najmniejszą i jaką największą wartość przyjmuje funkcja

y = x³-3x²-9x+7 w przedziale [-2,1].

Wyznaczmy najpierw ekstrema lokalne tej funkcji. w tym celu policzmy pochodną

f’(x) = 3x²-6x-9

f’(x) =0 ⇔ 3(x+1)(x-3) = 0 ⇔ x=-1 lub x=3

Liczba 3 nas nie interesuje, gdyż leży poza przedziałem [-2,1]. Natomiast w punkcie x=-1 pochodna zmienia znak z + na -, czyli mamy maksimum lokalne równe f_max(-1)=12.

Aby wyznaczyć ekstremum globalne (wartość największą i najmniejszą) obliczamy ponadto wartośc funkcji w punktach –2 i 1.

f(-2)=5

f(1)=-4

Wartością największą funkcji f w przedziale [-2,1] jest największa spośród liczb: 12,5,-4, czyli 12. Natomiast wartością najmniejszą funkcji f w przedziale [-2,1] jest najmniejsza spośród tych liczb, czyli –4.

IV. Wklęsłość i wypukłość wykresu funkcji.

Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie x₀ nazywamy wypukłym (wklęsłym) w tym punkcie, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu x₀, że dla każdego punktu x z tego otoczenia (oprócz niego samego) punkty P(x, f(x)) wykresu leżą powyżej (poniżej) stycznej poprowadzonej do wykresu w punkcie o odciętej x₀.

Wykres funkcji wypukły (wklęsły) w każdym punkcie przedziału (a, b) nazywamy wypukłym (wklęsłym) w tym przedziale.

Przykładem funkcji, która ma wykres wypukły jest funkcja f , natomiast o wykresie wklęsłym funkcja g.

y”>0 y”<0

Jeżeli w pewnym punkcie x₀ wykres funkcji f zmienia się z wypukłego na wklęsły lub odwrotnie, to punkt P(x₀, f(x₀)) nazywamy punktem przegięcia krzywej y=f(x).

Okazuje się, że przy pomocy pochodnych można w łatwy sposób badać wypukłość krzywych oraz wyznaczać ich punkty przegięcia. Zachodzą mianowicie następujące twierdzenia:

TWIEWDZENIE 1. Jeżeli druga pochodna funkcji f jest dodatnia w każdym punkcie przedziału (a, b), to wykres funkcji f jest w tym przedziale wypukły.

TWIERDZENIE 2. Jeżeli druga pochodna funkcji f jest ujemna w każdym punkcie przedziału (a, b), to wykres funkcji f jest w tym przedziale wklęsły.

TWIERDZENIE 3. Jeżeli druga pochodna funkcji f spełnia warunki:

• f’’(x₀)=0

• w otoczeniu punktu x₀ ma po obu stronach tego punktu różne znaki,

to punkt P(x₀, f(x₀)) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f.

Przykład.

Zbadamy wypukłość i wyznaczymy punkty przegięcia wykresu funkcji f(x) = 2x³+3x²-4x+10.

Policzmy pochodne (pierwszą i drugą):

f’(x) = 6x²+6x-4 f’’(x) = 12x+6 = 6 (2x+1)

i narysujmy przybliżony wykres pochodnej

Widzimy zatem, że wykres funkcji f jest wypukły w przedziale (-1/2, +∞) (druga pochodna funkcji f jest dodatnia), natomiast w przedziale (-∞,-1/2) wklęsły (druga pochodna funkcji f jest ujemna).

Ponieważ w punkcie x₀=-1/2 druga pochodna zeruje się i zmienia w otoczeniu tego punkty znak, to punkt x₀=-1/2 jest punktem przegięcia wykresy tej funkcji.

Wzory na pochodne

Pochodne funkcji elementarnych:

Wzory ogólne: Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne, to

[f(x) + g(x)]’ = [f(x)]’ + [g(x)]’

[f(x) - g(x)]’ = [f(x)]’ - [g(x)] ’

[f(x)g(x)]’ = [f(x)]’g(x) + f(x)[g(x)]’

[cg(x)]’ = c[g(x)]’

.

Twierdzenia:

1. (pochodna funkcji odwrotnej) - jeżeli funkcja x=g(y) jest różnowartościowa i ma pochodną [g(y)]’ ≠ 0, to funkcja y=f(x), odwrotna do niej ma pochodną

2) (pochodna funkcji złożonej) – jeżeli funkcje u=f(x) i y=g(u) mają pochodne [f(x)]’ oraz [g(u)]’ to funkcja F(x) = g(f(x)) ma pochodną [F(x)]’ = [g(u)]’[f(x)]’.

Pochodne funkcji c.d.: