Odwracanie  macierzy.

      Odwracanie macierzy polega na znajdowaniu macierzy odwrotnej do danej. Aby możliwe było odwrócenie macierzy, macierz dana musi być nieosobliwa, czyli posiadać wyznacznik różny od zera.

Dana jest macierz nieosobliwa

                                                   
,      i, j = 1, 2, ..., n.                                   (1.40)

Do obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy A

                                                       
                                                           (1.41)

wykorzystujemy zależność

                                                           AA^-1=E                                                            (1.42)

gdzie  E  jest macierzą jednostkową. Aby zrealizować odwracanie macierzy, mnożymy macierz  A  przez  A^-1. Otrzymamy w ten sposób n układów równań liniowych względem  n²  niewiadomych x_ij.

                                   
 ,              i, j, = 1, 2, ..., n.

gdzie

                                                               1      dla      i = j

                                                 

                                                               0      dla     i
 j

Przy rozwiązywaniu  n  układów równań liniowych (j=1, 2, ..., n) o tej samej macierzy współczynników A, które różnią się jedynie wyrazami wolnymi, posługujemy się metodą Gaussa. 

Oznaczamy poszukiwaną macierz odwrotną jako 
.  Zgodnie z  (1.42) mamy

              

                              
 * 
 = 

                                                      

Kolumny macierzy jednostkowej tworzą kolumny wyrazów wolnych.

Przykład 4.   Odwracanie macierzy.

       Znaleźć macierz odwrotną do macierzy  A

                                                      

Jeżeli macierz odwrotną   A^-1  przemnożymy przez  daną macierz  A to otrzymamy w wyniku tego działania macierz jednostkową  E.

                                                              A*A^-1=E                                                       (2.25)

Zatem w celu znalezienia macierzy odwrotnej do macierzy A możemy skorzystać z definicji macierzy. Oznaczmy poszukiwaną macierz 

 

odwrotną przez 
. Na podstawie (2.25) możemy nasze równanie zapisać w postaci:

                                
 * 
 =

gdzie macierz jednostkowa tworzy kolumny wyrazów wolnych. Mnożąc i przekształcając jednocześnie kolumny macierzy jednostkowej otrzymujemy trzy układy równań

                                           
                                        (2.26)

                                            
                                       (2.27)

                                           
                                        (2.28)

Równania te rozwiązujemy metodą eliminacji Gaussa. Rozwiązania tych układów tworzą kolumny poszukiwanej macierzy odwrotnej A^-1 do macierzy A.

Rozwiązanie układu (2.26).    Rozwiązanie układu (2.27).     Rozwiązanie układu (2.28).

               x₁₁ =  1                                    x₁₂ = 0                                           x₁₃ =  1

               x₂₁ = -2                                    x₂₂ = 1                                     x₂₃ = -1

               x₃₁ =  0                                      x₃₂  = 1                                          x₃₃ =  2

Zatem poszukiwaną macierzą odwrotną do macierzy A jest macierz

                                                            

---