Nieliniowe zagadnienia optymalizacyjne

Programem nieliniowym nazywamy zadanie o postaci:

gdzie przynajmniej jedna z funkcji f lub g_i nie jest funkcją liniową, przy czym zakłada się, że funkcje f lub g_i są ciągłe.

Nie ma ogólnej metody rozwiązywania programów nieliniowych.

Metoda rozwiązywania zależy od postaci, jaką przyjmuje zadanie.

Funkcja celu: wklęsła lub wypukła (z reguły zakłada się, że jest wypukła tzw. programowanie wypukłe).

Wyróżniamy programy o postaci:

• kanonicznej (warunki ograniczające mają postać równości)

• standardowej (wszystkie warunki ograniczające w postaci nierówności)

Metody optymalizacji

Rozpatrywane będą jednowskaźnikowe zadania programowania, przy czym elementy zbioru rozwiązań dopuszczalnych należą do przestrzeni skończenie wymiarowej Rⁿ. Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu takiego wektora należącego do zbioru , że dla każdego x należącego do zbioru X₀, f () ≤ f (x). W zadaniu tym X₀, jest zbiorem rozwiązań dopuszczalnych, f : Rⁿ → R¹ jest funkcją celu, g: Rⁿ → i h: Rⁿ → są wektorowymi funkcjami ograniczeń.

Jeden ze sposobów podziału zadań programowania:

1. programowanie liniowe - jeśli funkcje f , g i h są liniowe, a więc
   f (x) = <c, x〉
   oraz
   [ g (x)^T, h (x)^T]^T = Ax - b,
   gdzie wektory c ∈ Rⁿ, b ∈ R^m oraz macierz A o wymiarach m × n są znane.

2. programowanie nieliniowe - jeśli co najmniej jedna z funkcji f , g bądź h jest nieliniowa.

Wśród wymienionych wyżej typów zadań, za podstawowe zadanie programowania należy uznać ciągłe deterministyczne zadanie programowania nieliniowego o postaci:

znaleźć takie, że

f () = ,

gdzie

,

przy czym

f : Rⁿ → R¹, g: Rⁿ → , h: Rⁿ → .

Zadanie programowania nieliniowego z ograniczeniami równościowymi

Dla zadania programowania nieliniowego utwórzmy funkcję Lagrange'a, a mianowicie

Warunki konieczne można zapisać w postaci

Zadanie 1

Trzy elektrownie należące do jednego koncernu energetycznego zasilają węzeł sieciowy (GPZ Główny Punkt Zasilający). Chwilowe zapotrzebowanie na moc w GPZ wynosi (200+d) MW przy cosϕ=0,8. Zakładając, że każda elektrownia może pokryć powyższe zapotrzebowanie, wyznaczyć wartości mocy dosłanych do węzła GPZ z elektrowni E1, E2 i E3, minimalizujących straty mocy czynnej w sieci przesyłowej. Dane linii przesyłowych:

L1: E1-GPZ U_n=110 kV, l₁=84 km, S₁=240 mm², γ=35 MS/m,

L2: E2-GPZ U_n=110 kV, l₂=84 km, S₂=120 mm², γ=35 MS/m,

L3: E3-GPZ U_n=110 kV, l₃=136,5 km, S₃=520 mm², γ=35 MS/m

Uwzględnić ograniczenia związane z dopuszczalnymi długotrwale obciążalnościami linii napowietrznych.

d=4*nr

Zadanie 2

W stacji transformatorowej 15/0,4 kV/kV zainstalowane są trzy transformatory:

T1: S_NT1=400 kVA, ΔP_j=1,3 kW, ΔP_{obc N}=4,800 kW , i_0%=1%, Δu_z%=4 %

T2: S_NT2=630 kVA, ΔP_j=1,8 kW, ΔP_{obc N}=7,938 kW , i_0%=1%, Δu_z%=4,5%

T3: S_NT3=1000 kVA, ΔP_j=2,6 kW, ΔP_{obc N}=15,000 kW , i_0%=1%, Δu_z%=6%

Dla chwilowego obciążenia w stacji po stronie 0,4 kV P_obc= (1,62+0,05*nr) MW przy cosϕ=0,9 wyznaczyć obciążenie każdego z transformatorów przy założeniu minimum strat mocy czynnej w transformatorach. Uwzględnić straty mocy czynnej na dosłanie mocy biernej indukcyjnej do transformatora.

---