3. 3. Obliczanie błędu granicznego

Rozważania poprzedniego podrozdziału dotyczyły propagacji błędów prawdziwych. Wartości błędów prawdziwych są nieznane, ale prawa propagacji błędów prawdziwych są podstawą obliczania błędu granicznego maxy funkcji (3.1) na podstawie znanych błędów granicznych maxxj wielkości wejściowych xj. Rozważać będziemy obliczanie błędu granicznego modelu niedokładności deterministycznego i losowego.

Model deterministyczny niedokładności zakłada, że powtarzanie operacji wyznaczania estymat , a więc i powtarzanie obliczenia estymaty , daje zawsze takie same wartości, obarczone zawsze takimi samymi błędami  xj, nieznanymi co do wartości, ale spełniającymi zawsze

|  xj | ≤ maxxj  Dj (3.39)

gdzie max   Dj jest granicznym błędem estymaty .

Składanie błędów granicznych prowadzi do obliczenia granicznego błędu estymaty wartości funkcji max y  spełniającego

|  y | ≤ maxy  (3.39)

Obliczać będziemy błąd graniczny maxy, przyjmując jako podstawę prawo propagacji błędów bezwzględnych (3.8), metodykę obliczania można łatwo przenieść na prawo propagacji błędów względnych (3.9). Stosowane są dwie metody obliczania granicznego błędu wartości funkcji.

Metoda najgorszego rozkładu błędów zakłada, że błędy prawdziwe estymat xj przyjmują wartości maksymalizujące błąd prawdziwy funkcji y, tzn. przyjmują wartości skrajne  Dj ze znakami współczynników wrażliwości Gj. Graniczny błąd funkcji oblicza się z zależności

maxy  Dj

(3.40)

Metoda losowego rozkładu błędów zakłada, że błędy prawdziwe xj są rozłożone losowo w swoich przedziałach niepewności [ maxxj, maxxj]  [ Dj, Dj], niektóre leżą blisko krańców, niektóre bliżej środka. Błąd prawdziwy funkcji można wyrazić jako

(3.41)

gdzie

(3.42)

jest względnym położeniem błędu prawdziwego xj w jego przedziale niepewności [ Dj, Dj]. Założenie o losowym rozłożeniu położeń błędów oznacza, że j są wartościami zmiennej losowej . Zestawienie systemu pomiarowego, ustalenie wielkości o wartościach danych spoza pomiaru i aktualny stan wielkości wpływających traktuje się jako wylosowanie K wartości j z populacji wszystkich możliwych względnych położeń błędów . W ten sposób błąd prawdziwy y staje się wartością zmiennej losowej

(3.43)

gdzie zmienne j mają rozkład identyczny jak populacja generalna . Należy pamiętać, że doświadczeniem generującym wartości zmiennej losowej  jest nie powtarzanie pomiaru, lecz wybór K błędów xj ze zbioru wszystkich możliwych błędów. Przyjmuje się zwykle, że rozkład względnych położeń błędów  jest normalny, jego przedział [3σ(), 3σ()] pokrywa się z przedziałem [1, 1], a wariancja wynosi

σ 2() = σ 2(j) =
(3.44)

Stąd wynika

(3.45)

Przyjmując następnie, że przedział [*3σ (y), 3σ (y)], obejmujący 99,97 % rozkładu normalnego, jest wystarczająco szeroki i pewny, określamy graniczny błąd wielkości wyjściowej

maxy 

(3.46)

Metoda najgorszego rozkładu daje oszacowania zawyżone, ale pewne. Stosuje się ją dla małych K (zwykle K ≤ 3) i tam, gdzie zależy na absolutnej pewności oszacowania. Metoda losowego rozkładu daje oszacowania mniej pewne, ale bardziej realistyczne. Stosuje się ją dla dużych K (zwykle K > 3). Metodę losowego rozkładu można stosować tylko wówczas, gdy wielkości wejściowe a więc i składowe błędy są niezależne; jeżeli tak nie jest, należy zmienić układ zmiennych wejściowych na taki układ, w którym nowe wielkości wejściowe będą niezależne.

Model losowy niedokładności zakłada, że powtarzane w warunkach powtarzalności pojedyncze pomiary (będziemy je nazywali obserwacjami) dają różniące się wartości wielkości wejściowych. Niech wartość funkcji ma postać

(3.47)

Wartości wielkości x1,x2,...,xJ są wyznaczane w pomiarach bezpośrednich, wartości pozostałych wielkości xJ+1,...,xK są dane a priori spoza pomiaru jako J+1,...,K. Pomiar pojedynczy czyli obserwacja polega na równoczesnym pomiarze wartości wielkości x1,x2,...,xJ i jest powtarzana N razy. Otrzymane wartości wielkości x1,x2,...,xJ zestawiono w J pierwszych kolumnach Tabl. 3.2, wartości wielkości xJ+1,...,xK są dane, podają je kolumny od J1 do K, wartości te nie zmieniają się w powtarzanych pomiarach. Dla każdego pomiaru obliczamy wartość funkcji

(3.48)

Wartości te podano w ostatniej kolumnie Tabl. 3.2.

Tablica 3.2. Pomiar pośredni
Nr pomiaru	x1	x2	...	xJ	xJ+1		xK	y
1	x1(1)	x2(1)	...	xJ(1)	J+1	...	K	y(1)
2	x1(2)	x2(2)	...	xJ(2)	J+1	...	K	y(2)
N	x1(N)	x2(N)	...	xJ(N)	J+1	...	K	y(N)
estymaty	1	2	...	J	J+1	...	K

Błędy powtarzanych obserwacji xj (j  1,2,...,J) mają składowe systematyczne Sxj i przypadkowe Rxj, błędy xj (j  J+1,2,...,K) wartości danych spoza pomiaru traktujemy jako błędy systematyczne, błąd y obliczonej wartości (3.48) ma składową systematyczną i składową przypadkową

y = Sy + Ry (3.49)

Estymatę wartości wielkości wyjściowej obliczamy jako średnią arytmetyczną wartości (3.48)

(3.50)

a jej błąd graniczny jako sumę granicznego błędu systematycznego i granicznego błędu przypadkowego

max  Smaxy  Rmax

(3.51)

Graniczny błąd systematyczny obliczamy tak jak graniczny błąd w modelu deterministycznym, albo metodą najgorszego rozkładu

Smaxy  Dj

(3.52)

albo metodą losowego rozkładu

maxy 

(3.53)

gdzie Dj jest granicznym błędem systematycznym Smaxxj dla wielkości wejściowych bezpośrednio mierzonych (j  1,2,...,J) i granicznym błędem maxxj wartości danej spoza pomiaru (j  J+1,2,...,K). Współczynniki wrażliwości Gj oblicza się dla wartości wielkości wejściowych 1,..., J, J+1,..., K.

Graniczny błąd przypadkowy na poziomie ufności p obliczamy zgodnie z regułami podanymi w punkcie 2.3, mnożąc estymatę odchylenia standardowego średniej arytmetycznej funkcji s() [pierwiastek z estymaty wariancji średniej arytmetycznej s2()] przez współczynnik rozszerzenia kp

			Rmax = kp s()
			kp =	      	2 p ≈ 0,95 3 p ≈ 0,99 Zp Tp(N  1)	(3.54)

gdzie: Zp i Tp(N  1) - wartości krytyczne rozkładu normalnego i rozkładu t-Studenta o

(N  1) stopniach swobody.

Estymata wariancji średniej arytmetycznej s2() wynosi

(3.55)

gdzie

(3.56)

jest estymatą wariancji zmiennej losowej modelującej wynik wartości obliczonej (3.48).

Milcząco przyjmuje się założenie, że poziom ufności granicznego błędu max jest nie mniejszy niż poziom ufności granicznego błędu przypadkowego Rmax. 

Janusz M. Jaworski

METROLOGIA ELEKTRYCZNA

Wykład 3

Str. 15

---