8489


Sprawozdanie z ćwiczenia numer 2

Całkowanie numeryczne

Skład grupy:

Watras Robert 155556

Hoppe Grzegorz 155531

Celem naszego zadania było zbadanie podanej całki różnymi metodami i porownanie dokładności tychże metod w stosunku do funkcji pierwotnej.

Otrzymaliśmy następująca całkę oznaczona z funkcji:

1. f(x) = 4x3 + 3x2 2. f(x) = 3sin(x2)

A postać ogolna całki jest następująca

0x01 graphic

Gdzie a i b są przedziałami całkowania.

Cały sens naszego działania opiera się na znajdowania funkcji podobnych do naszej zadanej, która różni się nieznacznym błędem i dąży do osiągnięcia wartości naszej funkcji podstawowej.

Do wyznaczenia użyjemy trzech metod:

  1. Prostokątów

  2. Trapezów

  3. Parabol

Całość ćwiczenia będziemy realizować w Matlabie, ponieważ w ten program umożliwia nam uzyskanie naszych wynikowa czytelnie i w miare mało skomplikowanie, jeśli chodzi o złożoność kodu programu.

Pierwsza cześć naszego programu to zbadanie metoda prostokątów gdzie ogolona postać wzoru na n+1 węzłów ma postać:

0x01 graphic

Sens tej metody polega na dzieleniu danej funkcji na prostokąty, które po zsumowaniu będą wartością przybliżoną pola zajmowanego przez nasza funkcje. Jeśli liczba danych prostokątów, na które dzielimy funkcje jest mała to nasza przybliżona funkcja jest bardzo nie dokładna i błąd jest bardzo duży. Sumowanie większej liczby elementów zmniejsza błąd i pozwala nam uzyskanie bardziej dokladndego wyniku.

Kolejny etap to zbadanie naszej funkcji za pomocą metody trapezowej.

0x01 graphic

Polega ona dokładnie tak samo jak metoda prostokątów tyle ze tym razem dzielimy na trapezy a nie prostokąty, co daje mam dokładniejszy wynik jak w pierwszym przypadku i również w tej metodzie, aby uzyskać mniejszy błąd zależy podzielić funkcje na odpowiednia liczbę trapezów gdyż tak jak poprzednim przypadku im większa liczba zsumowanych cząstkowych trapezów tym pomiar jest bardziej dokładny.

Ostatnim etapem naszego zadanie było wykorzystanie metody paraboli, gdzie wykorzystywaliśmy wzór Simsona:

0x01 graphic

Dana metoda polega rowniez na dzieleniu funkcji pierwotnej, ale tym razem dzielimy na parabole. Rowniez i w tej metodzie dzieli nasza funkcje na poszczególne małe parabole, które będą niejako odzwierciedleniem naszej zadanej funkcji.

f(x)=3sin(x^2)

f(x)=4x^3+3x^2

liczba wezlow

prostokat

trapez

parabola

liczba wezlow

prostokat

trapez

parabola

500

1,8717

1,8616

1,8683

500

2,012

2

2,0187

1000

1,8667

1,8616

1,865

1000

2,006

2

2,0093

1500

1,865

1,8616

1,8639

1500

2,004

2

2,0062

2000

1,8641

1,8616

1,8633

2000

2,003

2

2,0047

5000

1,8626

1,8616

1,8623

5000

2,0012

2

2,0019

10000

1,8621

1,8616

1,8619

10000

2,0006

2

2,0009

f(x)=3sin(x2)

0x01 graphic

f(x) = 4x3 + 3x2

0x08 graphic
0x01 graphic

Na podstawie wykresow można stwierdzic ze najdokladniejsza metoda jest metoda trapezow gdyz już przy podzieleniu na kilkaset malycz czastek daj bardzo dokładne przybliżenie naszej pierwotnej funkcji. Natomiast nastepnie w zależności od badanej funkcji tj. dla 3sin(x2) szybciej dazy do funkcji pierwotnej metoda parabol a dla funkcji f(x) = 4x3 + 3x2 szybciej dozy metoda kwadratowa. Jak widac najlepiej stosowac metode trapezowa a jeśli nie mamy takiej możliwości to wtedy pozostle ale nie wiemy nigdy która nam się lepiej sprawdzi gdyz metody te lepiej radza sobie z pewna grupa funkcji a z innymi funkcjami radza sobie gorzej. Umiejętne dobranie metody jak widac ma rozniez duze znaczenie zwłaszcza jeśli nie mamy możliwości na podzielenia na zbyt duzo kawałków czastkowych. Nasze cwiczenie pokazuje nam ze zanim zdecydujemy się na takie bądź inne dzialanie musimy dokladnie przeanalizowac jakiej metody należy uzyc aby efektywniej wykonac zadanie.

1,99

1,995

2

2,005

2,01

2,015

2,02

2,025

1

2

3

4

5

6

prostokat

trapez

parabola



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
8489
8489
8489
8489
8489
8489
8489
8489
8489
8489

więcej podobnych podstron