POLITECHNIKA RADOMSKA
Katedra Informatyki
09.01.2007	Metody numeryczne
			Interpolacja funkcji wielomianem

Funkcja:

f(x)= x² + 2x + 1

Jest interpolowana w punktach:

x₀=0, x₁=1, x₂=2, x₃=3, x₄=4

Wielomianem:

l₀ (x)= ((x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄)) / ((x₀ - x₁)(x₀ - x₂)(x₀ - x₃)(x₀ - x₄))

l₁ (x) = ((x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄)) / ((x₁ - x₀)(x₁ - x₂)(x₁ - x₃)(x₁ - x₄))

l₂ (x) = ((x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄)) / ((x₂ - x₀)(x₂ - x₁)(x₂ - x₃)(x₂ - x₄))

l₃ (x) = ((x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄)) / ((x₃ - x₀)(x₃ - x₁)(x₃ - x₂)(x₃ - x₄))

l₄ (x) = ((x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)(x - x₄)) / ((x₄ - x₀)(x₄ - x₁)(x₄ - x₂)(x₄ - x₃))

W(x)= f(x₀)l₀(x) + f(x1)l₁(x) + f(x₂)l₂(x) + f(x₃)l₃(x) + f(x₄)l₄(x)

W programie MATEMATICA uzyskaliśmy następujący przebieg wykresu interpolacji wielomianu W(x):

Rysunek 1

Interpolacja wielomianu dokonana w języku Pascal:

program interpol;

uses crt;

Type Tab=array[0..10]of real;

var x,y:Tab;

n,k:integer;

s,a,h,xr:real;

procedure Newton(n:integer;x:Tab;var y:tab);

var k,t:integer;

begin

for t:=1 to n do

for k:=n downto t do

y[k]:=(y[k]-y[k-1])/(x[k]-x[k-t]);

end;

procedure czytaj(z:char;n:integer;var x:tab);

var k:integer;

begin

for k:=0 to n do

begin

write(z,'[',k,']=');

readln(x[k]);

end;

end;

begin

clrscr;

repeat

write('n=');

readln(n);

until (n>0) and (n<=10);

h:=0.25;

czytaj('x',n,x);

czytaj('y',n,y);

newton(n,x,y);

s:=y[0];

a:=x[0];

xr:=(a-x[0]);

repeat

for k:=1 to n do

begin

s:=s+y[k]*xr;

xr:=xr*(a-x[k]);

end;

writeln(a:5:2,' ',s:5:2);

a:=a+h;

xr:=a-x[0];

s:=y[0];

until a>x[n];

readkey;

end.

Wnioski:

Ćwiczenie pozwoliło nam zapoznać się z metodami interpolacji funkcji za pomocą wielomianu.

Dokonaliśmy tego za pomocą dwóch programów:

• Pakietu Matematica

• Języka programowania Turbo Pascal

Obie drogi pokazały słuszność i prawidłowość założeń teoretycznych oraz ich wzajemną zgodność.

---