Ekomat zadania cz.2

1. Jakie muszą być znaki parametrów a, b, c, d w funkcji kosztów C=aQ³+bQ²+cQ+d, aby funkcja ta miała sens ekonomiczny? Uzasadnij odpowiedź.

2. Odwrócone funkcje popytu dla trzech segmentów rynku są następujące: P₁=63-4Q₁; P₂=105-5Q₂; P₃=75-6Q₃. Funkcja kosztów produkcji dobra, które jest sprzedawane na tych rynkach jest następująca: C=20+15Q. Przy jakich cenach i rozmiarach sprzedaży w poszczególnych segmentach łączny zysk będzie maksymalny?

3. Znaleźć (korzystając z logarytmów naturalnych) roczną stopę procentową (r) przy kapitalizacji ciągłej równoważną stopie procentowej przy kapitalizacji dyskretnej (i) równej 24% przy kapitalizacji co miesiąc.

4. Znaleźć (korzystając z logarytmów naturalnych) roczną stopę procentową (r) przy kapitalizacji ciągłej równoważną stopie procentowej przy kapitalizacji dyskretnej (i) równej 10% przy kapitalizacji co pół roku.

5. Firma produkuje dwa dobra, Q₁ i Q₂, których ceny to P₁₀ i P₂₀. Funkcja kosztów jest następująca: C=2Q₁²+Q₁Q₂+2Q₂². Przy jakich rozmiarach produkcji tych dóbr firma osiągnie maksimum zysku? (sprawdzić warunki konieczny i dostateczny dla maksimum).

6. Firma produkuje dwa dobra, Q₁ i Q₂, dla których funkcje popytu są następujące: Q₁=40-2P₁+P₂, Q₂=15+P₁-P₂. Funkcja kosztów jest następująca: C=Q₁²+Q₁Q₂+Q₂². Przy jakich rozmiarach produkcji i cenach sprzedaży tych dóbr firma osiągnie maksimum zysku? (sprawdzić warunki konieczny i dostateczny dla maksimum).

7. Wykazać, że na dowolnym rynku zależność pomiędzy przychodem krańcowym, ceną i elastycznością jest następująca: MR=P(1-1/IεI)

8. Firma stosuje czynniki produkcji a i b do produkcji dobra Q. Ceny czynników to P_a i P_b , a P jest ceną produktu Q. Proces produkcji zajmuje t lat, a stopa dyskontowa dla kapitalizacji ciągłej jest równa r. Funkcja produkcji ma postać: Q=Q(a,b). Zapisz funkcję całkowitego kosztu, funkcję przychodu ze sprzedaży dobra Q, oraz funkcję zysku (pamiętając o zdyskontowaniu funkcji przychodów). Zapisz warunek konieczny dla maksymalizacji zysku. Zapisz warunek wystarczający drugiego rzędu dla maksimum zysku. Korzystając z twierdzenia o funkcji niejawnej oblicz pochodne statyki porównawczej
   ;
   ;
   ;
   ;
   . Określ i zinterpretuj znaki tych pochodnych.

9. Firma stosuje czynniki produkcji a i b do produkcji dobra Q. Ceny czynników to P_a i P_b , a P jest ceną produktu Q. Proces produkcji zajmuje jeden rok, procenty kapitalizowane są co kwartał, a roczna stopa procentowa wynosi i₀. Funkcja produkcji ma postać: Q=Q(a,b). Zapisz funkcję całkowitego kosztu, funkcję przychodu ze sprzedaży dobra Q, oraz funkcję zysku (pamiętając o zdyskontowaniu funkcji przychodów). Zapisz warunek konieczny dla maksymalizacji zysku. Zapisz warunek wystarczający drugiego rzędu dla maksimum zysku.

10. Korzystając z metody mnożników Lagrange'a znaleźć stacjonarne wartości dla z=x-3y-xy przy warunku x+y=6. Za pomocą obrzeżonego hesjanu określić, czy stacjonarna wartość z stanowi maksimum czy minimum.

11. Korzystając z metody mnożników Lagrange'a znaleźć stacjonarne wartości dla z=x(y+4) przy warunku x+y=8. Za pomocą obrzeżonego hesjanu określić, czy stacjonarna wartość z stanowi maksimum czy minimum.

12. Korzystając z metody mnożników Lagrange'a znaleźć stacjonarne wartości dla z=xy+2x przy warunku 4x+2y=60. Za pomocą obrzeżonego hesjanu określić, czy stacjonarna wartość z stanowi maksimum czy minimum.

13. Korzystając z metody mnożników Lagrange'a znaleźć stacjonarne wartości dla z=xy przy warunku x+2y=2. Za pomocą obrzeżonego hesjanu określić, czy stacjonarna wartość z stanowi maksimum czy minimum.

14. Dana jest funkcja użyteczności U=U(z,y) przy ograniczeniu g(x,y)=c, a funkcja Lagrange'a zapisana jest następująco: Z=U(z,y)+λ[c- g(x,y)]. Wykazać, że w sytuacji maksimum użyteczności pochodna ∂Z/∂c=λ
    
    

---