Matematyka Tensor

widok strony znajdź podobne pokaż powiązane

Tensor, obiekt geometryczny, uogólnienie skalara i wektora. Podstawowym czynnikiem klasyfikującym tensory jest reguła transformacyjna przy zmianie układu odniesienia (przekształceniu ciągłym, różniczkowalnym i wzajemnie jednoznacznym) oraz jego rząd, czyli liczba wskaźników niezbędnych do jego scharakteryzowania (tensor pierwszego rzędu reprezentowane są przez obiekty jednowymiarowe - jednokolumnowe lub jednowierszowe tablice liczb, drugiego rzędu przez tablice dwuwymiarowe itp.). Jeśli zmiana układu odniesienia nie prowadzi do zmiany tensora, jest on skalarem lub niezmiennikiem (niezmienniczość).

Wektorem kontrawariantnym (na mocy konwencji posiadającym wskaźniki u góry) jest tensor pierwszego rzędu, podlegającym regule transformacji

a^i' = Σ(∂x^i'/∂xⁱ)aⁱ

(symbole ze znakiem prim wskazują na nowy układ odniesienia). Wektor kowariantny, będący również tensorem pierwszego rzędu (wskaźniki u dołu), podlega regule transformacyjnej:

a_i' = Σ(∂x_i'/∂x_i)a_i.

Analogicznie definiuje się tensory wyższych rzędów: kowariantne, kontrawariantne i mieszane (posiadające część składowych kontrawariantnych, a część kowariantnych, tym samym część wskaźników w indeksie górnym, część w dolnym). Walencją tensora nazywa się parę liczb (n, m), z których pierwsza określa liczbę składowych kontrawariantnych, a druga liczbę składowych kowariantnych, np. prawo transformacji tensora mieszanego R o walencji (1,2) ma postać:

R^i'_j'k' =
∂x^i'/∂xⁱ)(∂x_j/∂x_j')(∂x_k /∂x_k')Rⁱ_jk.

Tensor jest symetryczny względem dwóch wskaźników, gdy zamiana miejscami tych wskaźników nie zmienia wartości tensora, antysymetryczny zaś, gdy zamiana taka zmienia jego znak.

Powiązania

Hookea prawo, Spinor, Kroneckera symbol antysymetryczny, Lepkość, Pseudotensor, Naprężenie, Tensorowe pole, Symetria kryształów, Podatność elektryczna, Krzywizna, Indukcja, Podatność magnetyczna, Rachunek wektorowy, Kroneckera symbol symetryczny, więcej »

---