POZYCYJNE MIARY ZMIENNOŚCI

1. CHARAKTERYSTYKA MIAR POZYCYJNYCH

• związane są z położeniem wartości badanej zmiennej w szeregu statystycznym

• mogą być wyznaczone w stosunku do szeregów otwartych, zarówno z góry, jak i z dołu - co nie jest możliwe w przypadku miar klasycznych (średnia arytmetyczna)

• warunkiem wyznaczenia miar pozycyjnych jest uszeregowanie danych statystycznych rosnąco według określonej cechy)

• do miar pozycyjnych należą: dominanta (modalna), mediana (kwartyl drugi) oraz kwartyl pierwszy i kwartyl trzeci

2. KWARTYLE (pierwszy i trzeci)

• kwartyl pierwszy - jest medianą pierwszej połowy szeregu statystycznego. Jest to taka wartość badanej zmiennej, przy której jedna czwarta jednostek statystycznych danej zbiorowości ma wartość niższą, a trzy czwarte wyższą

• kwartyl trzeci - jest medianą drugiej połowy szeregu statystycznego. Jest to taka wartość badanej zmiennej, przy której trzy czwarte jednostek statystycznych charakteryzuje się niższymi od niego wartościami badanej zmiennej, a jedna czwarta wyższymi

• położenie kwartyli wobec mediany jest następujące:

3. OBLICZANIE KWARTYLI

• jest analogiczne jak w przypadku mediany

• jedynie w przypadku kwartyla pierwszego zbiorowość dzielimy na 4, i wartość tę szukamy w szeregu skumulowanym w celu wyznaczenia kwartyla pierwszego lub znalezienia przedziału klasowego w którym kwartyl ten się znajduje

• w przypadku kwartyla trzeciego zbiorowość dzielimy na 3/4

3.1. Szereg rozdzielczy punktowy

• w pewnej klasie zbadano oceny uzyskane z końcowego sprawdzianu z fizyki

oceny	liczba uczniów	szereg skum
1	8	8
2	6	14
3	10	24
4	7	31
5	3	34
6	2	36
	N=36

KWARTYL PIERWSZY: (36/4 = 9)

kwartylem pierwszym jest ocena 2 - jedna czwarta zbiorowości uczniów uzyskała oceny niższe od 2, natomiast trzy czwarte wyższe

KWARTYL TRZECI: (36x3/4 = 27)

kwartylem trzecim jest ocena 4 - trzy czwarte zbiorowości uczniów uzyskało oceny niższe od 4, natomiast jedna czwarta wyższe

3.2. Szereg rozdzielczy wielowariantowy

• kwartyl pierwszy




Gdzie:

x_k - dolna granica przedziału zawierającego kwartyl pierwszy


- suma liczebności klas poprzedzających klasę zawierającą kwartyl pierwszy

n_k - liczebność klasy zawierającej kwartyl pierwszy

c_k - rozpiętość przedziału klasowego zawierającego kwartyl pierwszy

• kwartyl trzeci




Gdzie:

x_k - dolna granica przedziału zawierającego kwartyl trzeci


- suma liczebności klas poprzedzających klasę zawierającą kwartyl trzeci

n_k - liczebność klasy zawierającej kwartyl trzeci

c_k - rozpiętość przedziału klasowego zawierającego kwartyl trzeci

• przykład: zbadano wynagrodzenia stażystów w pewnej firmie konsultingowej

płace	liczba pracowników	szereg skumulowany
300-350 350-400 400-450 450-500 500-550 550-600 600-650	4 7 9 12 10 8 5	4 11 20 32 42 50 55
	N=55

Kwartyl pierwszy: 55/4 = 13,75




w badanej zbiorowości jedna czwarta stażystów zarabiała mniej niż 415,27 zł, natomiast czy czwarte osiągnęła płace większe od tej sumy

Kwartyl trzeci: 55x3/4= 41,25




w badanej zbiorowości trzy czwarte stażystów osiągnęło zarobki mniejsze niż 546,25 zł, natomiast jedna czwarta zarabiała więcej od tej sumy

4. ODCHYLENIE ĆWIARTKOWE

• określa średnią rozpiętość wartości cechy w dwóch środkowych ćwiartkach zbiorowości (w ćwiartkach drugiej i trzeciej)

• mierzy poziom zróżnicowania tylko części jednostek badanej zbiorowości, pozostałej po odrzuceniu 25% jednostek o wartościach najniższych i 25% jednostek o wartościach najwyższych

• mierzy więc średnie zróżnicowanie w połowie obszaru zmienności

• oblicza się wzorem:




5. WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI

• interpretacja jego wartości jest analogiczna jak w przypadku klasycznego współczynnika zmienności

• oblicza się wzorem:




6. WSKAŹNIKI ASYMETRII

• bezwzględny wskaźnik asymetrii:




• względny wskaźnik asymetrii (współczynnik asymetrii):




• interpretacja wskaźników analogiczna jak w przypadku miar klasycznych

3

Q₁

Q₃

Me

---