Zadanie 1

Dana jest następująca gra dwuoosobowa:

		Gracz 2
		W	X	Y	Z
Gracz 1	A	2, 0	2, 4	5, 9	11, 5
		B	0, 5	1, 0	3, 6	0, 1
		C	3, 3	2, 2	7, 1	1, 0
		D	2, 1	3, 3	0, 2	0, 0

Rozwiązanie:

1. Czy gracze mają strategie zdominowane? Jeśli tak, które strategie są zdominowane przez które?

Dla gracza 1 B jest zdominowane przez A - bez względu na to, którą strategię wybierze gracz 2, B daje zawsze ściśle niższą wypłatę niż A w odpowiedzi na każdą strategię gracza 2. B jest również zdominowane przez C.

Dla gracza 2 Z jest zdominowane przez Y - podobnie jak wyżej Y daje graczowi 2 wyższą wypłatę niż Z bez względu na to, jaką strategię wybierze gracz 1 (proszę pamiętać, że aby mówić o dominacji, dana strategia musi dawać wyższą wypłatę w odpowiedzi na każdy wybór strategii przez pozostałych graczy - również wybór przez nich strategii zdominowanych).

2. Przez iterację eliminacji zdominowanych strategii proszę zredukować grę do najprostszej możliwej postaci.

Po wyeliminowaniu strategii zdominowanych (B i Z) można grę zredukować na następującej postaci:

		Gracz 2
				W	X	Y
Gracz 1	A	2, 0	2, 4	5, 9
		C	3, 3	2, 2	7, 1
		D	2, 1	3, 3	0, 2

W tej grze żaden z graczy nie ma strategii zdominowanej - dla żadnej pary nie strategii nie zachodzi, że jedna z nich jest zawsze ściśle lepsza niż druga bez względu na zachowanie drugiego z graczy.

Proszę zwrócić natomiast uwagę, że w odpowiedzi na W i Y, C daje ściśle wyższą wypłatę niż A, w odpowiedzi zaś na X obie te strategie dają taką samą wypłatę. W takiej sytuacji mówimy o słabej dominacji. Używanie słabej dominacji do eliminacji strategii to jest błąd merytoryczny i proszę tego nie robić. Po pierwsze, powodem dla którego eliminujemy strategie zdominowane jest to, że ich wybór nigdy nie jest optymalny, bo zawsze istnieje strategia dająca wyższą wypłatę - tego rozumowania nie możemy zastosować w przypadku słabej dominacji, bo strategia słabo zdominowana może w pewnych sytuacjach być strategią optymalną, jeśli strategia która ją słabo dominuje daje taką samą, a nie wyższą, wypłatę. Po drugie, mogą istnieć równowagi Nasha, w których gracze wybierają strategie słabo zdominowane i eliminując strategie słabo zdominowane przeoczymy te równowagi. Po trzecie wreszcie, eliminując strategie słabo zdominowane możemy uzyskać różne wyniki w zależności od tego, w jakiej kolejności te strategie eliminujemy, co jest cechą wyjątkowo niepożądaną (i oczywiście niewystępującą w przypadku eliminacji strategii ściśle zdominowanych). Podsumowując, w naszym przykładzie C słabo dominuje A w grze zredukowanej (ale nie w grze początkowej - bo w odpowiedzi na Z strategia A daje wyższą wypłatę niż strategia C), ale nie jest to wystarczającym powodem dla eliminacji A.

Ponieważ żaden z graczy nie ma strategii zdominowanej, więc gry nie da się bardziej uprościć przez iterację eliminacji strategii zdominowanych.

3. W grze wyznaczonej w powyższym punkcie proszę wyznaczyć równowagi Nasha.

Strategie, które wyeliminowaliśmy przez iterację, nie mogą być częścią żadnej równowagi Nasha, więc wystarczy jeśli szukając równowag Nasha ograniczymy się do gry z punktu b).

Najlepszą odpowiedzią gracza 1 na W jest C, najlepszą odpowiedzią gracza 1 na X jest D, a jego najlepszą odpowiedzią na Y jest C.

Podobnie najlepszą odpowiedzią gracza 2 na A jest Y, na C jest W, a najlepszą odpowiedzią na D jest X:

		Gracz 2
				W	X	Y
Gracz 1	A	2, 0	2, 4	5, 9
		C	3, 3	2, 2	7, 1
		D	2, 1	3, 3	0, 2

Ponieważ równowaga Nasha to profil (czyli w przypadku dwóch graczy - para) wzajemnie najlepszych odpowiedzi, więc w tej grze będziemy mieli dwie równowagi: (C, W) i (D, X). Z powodów, o których wspomniałem na wykładzie, jeszcze raz uczulam Państwa na to, że to nie (3, 3) jest równowagą - równowaga to para strategii, nie liczb. (3, 3) jest wynikiem uzyskiwanym w równowadze, równowagami natomiast są pary strategii (C, W) i (D, X).

Zadanie 2

Następującą grę w postaci rozwiniętej proszę przedstawić w postaci strategicznej i wyznaczyć dla niej równowagi Nasha.

Gracz 1

A B C

(1, 1) Gracz 2 Gracz 2

W X Y Z

(0, 4) (2, 5) (1, 3) (3, 2)

Postać strategiczna (czy inaczej normalna) musi opisywać trzy elementy: graczy, strategie każdego gracza i wypłaty każdego gracza dla każdego profilu strategii.

Graczy mamy dwóch (gracz 1 i gracz 2).

Wyznaczmy strategie obu graczy. Gracz 1 ma jeden zbiór informacyjny i musi w nim wybrać jedną z trzech decyzji A, B lub C - będzie miał zatem trzy możliwe strategie, A, B lub C.

Gracz 2 znajduje się w bardziej skomplikowanej sytuacji. Może on podczas gry znaleźć się w jednym z dwóch możliwych zbiorów informacyjnych - w pierwszym (jeśli zaobserwował, że gracz 1 wybrał B) będzie musiał wybrać między W a X, w drugim (jeśli zaobserwował, że gracz 1 wybrał C) będzie musiał wybrać między Y a Z. Każda jego strategia musi opisywać jego zachowanie w każdym zbiorze informacyjnym, w którym gracz podejmuje decyzje - ponieważ strategie muszą w wykluczający się i wyczerpujący sposób opisywać pełny plan decyzyjny gracza przed przystąpieniem do gry, gracz 2 ma dwa zbiory informacyjne i w każdym z nich jedną z dwóch decyzji do wyboru, więc gracz 2 będzie miał cztery strategie, każda składająca się z pary decyzji, po jednej dla każdego zbioru informacyjnego w którym może znaleźć się gracz 2: {WY, WZ, XY, XZ}.

Pozostaje nam wreszcie przypisanie wypłat poszczególnym parom strategii. Proszę pamietać, że strategia to pełny plan decyzyjny, z którym gracze przystępują do gry i że każdej parze strategii musimy przypisać wypłaty. W szczególności, proszę zwrócić uwagę na dwie rzeczy - po pierwsze, jeśli gracz 1 wybierze A gra się kończy, ale nadal wypłaty przypisujemy parom strategii - gracz 2 nie miał okazji wykonać swojego ruchu, ale miał jakiś plan dotyczący jego zachowania podczas gry i opisując wypłaty musimy wziąć ten fakt pod uwagę. Po drugie, jeśli gracz 1 wybierze na przykład B, znaczenie dla wypłaty będzie miało tylko to, jak gracz 2 planował się zachować po wyborze B, ale nie jaki miał plan w drugim ze zbiorów informacyjnych - pary strategii {B, WY} oraz {B, WZ} doprowadzą do takich samych wypłat dla obu graczy, gdyż różnią się one od siebie wyłącznie w części, która nie została zrealizowana, mianowicie w części, która opisuje potencjalne zachowanie gracza 2 w odpowiedzi na C - której to strategii gracz 1 nie wybrał.

Postać strategiczna dla zadanej gry w postaci rozwiniętej wygląda zatem następująco:

		Gracz 2
		WY	WZ	XY	XZ
Gracz 1	A	1, 1	1, 1	1, 1	1, 1
		B	0, 4	0, 4	2, 5	2, 5
		C	1, 3	3, 2	1, 3	3, 2

Możemy zauważyć, że żaden z graczy nie ma w tej grze strategii zdominowanych, więc gry nie da się uprościć przez iterację eliminacji strategii zdominowanych.

Aby znaleźć równowagi Nasha w powyższej grze, analizujemy najlepsze odpowiedzi każdego z graczy w odpowiedzi na każdą strategią drugiego z graczy i szukamy takich par strategii, które są wzajemnie najlepszymi odpowiedziami na siebie. Najwyższe wypłaty w odpowiedzi na każdą strategię przeciwnika zaznaczone są w tabelce:

		Gracz 2
		WY	WZ	XY	XZ
Gracz 1	A	1, 1	1, 1	1, 1	1, 1
		B	0, 4	0, 4	2, 5	2, 5
		C	1, 3	3, 2	1, 3	3, 2

Równowagami Nasha (czyli parami wzajemnie najlepszych odpowiedzi) są zatem pary strategii (A, WY), (B, XY) oraz (C, WY).

Proszę zwrócić uwagę, że najlepsza odpowiedź nie musi być określona jednoznacznie - w powyższej grze gracz 2 w odpowiedzi na każdą strategię gracza 1 ma co najmniej 2 strategie, z których każda jest najlepszą odpowiedzią. W szczególności - każda strategia gracza 2 jest najlepszą odpowiedzią na A.

Proszę również zwrócić uwagę, że (podobnie jak w dylemacie więźnia) wynik osiągany w równowadze Nasha nie musi być optymalny w sensie Pareto - spośród trzech równowag Nasha tej gry tylko (B, XY) prowadzi do wyniku optymalnego w sensie Pareto.

Proszę wreszcie zauważyć, że strategia WY jest słabo zdominowana przez XY (XY daje czasem wypłaty lepsze i nigdy nie daje gorszych niż WY bez względu na to, jaką strategię wybierze gracz 1), ale pomimo tego strategia ta może być częścią równowagi Nasha.

---