Politechnika Częstochowska

Katedra Fizyki

Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności za pomocą drgań skrętnych

Wyznaczanie momentu bezwładności brył za pomocą drgań skrętnych.

1. Ruch harmoniczny prosty.

Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Ruch periodyczny często nazywamy ruchem harmonicznym . Jeżeli punkt materialny porusza się ruchem okresowym tam i z powrotem po tej samej drodze, to ruch taki nazywamy drgającym

• Okresem ruchu harmonicznego T jest czas trwania jednego pełnego drgnięcia, to jest czas powtarzania się każdego pełnego przemieszczenia albo cyklu

• Częstością ruchu v jest liczba drgań na jednostkę czasu. v=1/T

• Położeniem równowagi w ruchu drgającym nazywamy położenie, w którym na punkt materialny nie działa siła wypadkowa.

• Przemieszczeniem jest to odległość drgającego punktu materialnego od położenia równowagi w danej chwili.

W ruchu harmonicznym prostym energia potencjalna zmienia się jak kwadrat przemieszczenia (U(x)=1/2kx²),a siła działająca na punkt jest proporcjonalna do przemieszczenia, lecz ma kierunek przeciwny (F(x)=-kx k-stały współczynnik charakteryzujący sprężystość). W ruchu harmonicznym prostym granice przemieszczenia są jednakowe po obydwu stronach położenia równowagi. Wartość bezwzględna maksymalnego przemieszczenia nazywamy amplitudą ruchu harmonicznego prostego.

2. Drgania torsyjne bryły sztywnej.

Są to drgania powstające w układach sprężystych, gdy poszczególne elementy tych układów poddane są odkształceniu skrętnemu. Najczęstszym przypadkiem drgań skrętnych są drgania wału korbowego ze związanymi z nim masami. W celu przeprowadzenia obliczeń wał korbowy zastępuje się równoważnym mu wałem prostoliniowym z masami skupionymi, przy tym sztywność skrętną odpowiednich odcinków wału równoważnego przyjmuje się równą sztywności odpowiednich odcinków wału korbowego.

3. Momenty bezwładności.

Każde ciało można podzielić na dowolnie małe elementy, które możemy uważać za punkty materialne. Rozpatrzmy ciało i zawarty w nim jeden z jego elementów o masie dm. Jego położenie względem osi układu współrzędnych określają współrzędne x,y,z.

Momentem bezwładności ciała o masie m względem płaszczyzn XY,YZ,ZX nazywamy granice, do których dążą sumy iloczynów mas elementów ciała dm przez kwadraty ich odległości od tych płaszczyzn , gdy liczba elementów rośnie nieograniczenie, zaś ich wymiary dążą do zera

∫_mz²dm, ∫_mx²dm, ∫_my²dm

Moment bezwładności ciała względem danej osi

I_x=∫_m(y²+z²)dm

I_y=∫_m(z²+x²)dm

I_z=∫_m(x²+y²)dm

Z zależności tych wynika , że moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy sumie momentów bezwładności tego ciała względem dwóch prostopadłych płaszczyzn , których krawędzią przecięcia jest dana oś.

Momentem odśrodkowym (dewiacyjnym) ciała względem dwóch prostopadłych do siebie płaszczyzn następujące wyrażenie

I_xy=∫_mxydm;

Iyz=∫myzdm;

Izx=∫mzxdm

Z definicji momentów wynika ich wymiar . Jest nim iloczyn masy i kwadratu długości, a więc jednostką główna jest kg*m²

Jeżeli momenty odśrodkowe dowolnego ciała względem trzech par płaszczyzn układu współrzędnych są równe zeru, to osie współrzędnych są --> [Author:MZ] głównymi osiami bezwładności tego ciała. Jeżeli początek tych osi znajduje się w środku masy ciała, to osie te nazywają się głównymi centralnymi osiami bezwładności ciała.

4. Tensor momentu bezwładności bryły sztywnej.

Tensor momentu bezwładności (tensor bezwładności) możemy zapisać w postaci macierzy kwadratowej:

I_xx I_xy I_xz

I= I_yx I_yy I_yz

I_zx I_zy I_zz

Wielkości I_xx, I_xy, ... nazywamy składowymi tensora. Składowe I_xx, I_yy, I_zz leżące na przekątnej tablicy nazywamy diagonalnymi. Wartości składowych zależą od wyboru układu współrzędnych. Tensor ten charakteryzuje bezwładne własności bryły w ruchu obrotowym.

W wyniku szeregu operacji dochodzimy do możliwości wypisania wzorów na składowe tensora I w postaci tablicy:

∫m(y²+z²)dm -∫mxydm -∫mxzdm

I= -∫myxdm ∫m(x²+z²)dm -∫myzdm

-∫mzxdm ∫mzydm ∫m(x²+y²)dm

Diagonalne składowe tensora są momentami bezwładności względem odpowiednich osi układu współrzędnych. Składowe nie diagonalne nazywamy dewiacyjnymi momentami bezwładności.

Jeżeli osie układu współrzędnych są osiami głównymi bezwładności, to tensor bezwładności ma postać:

I_x 0 0

I= 0 I_y 0

0 0 I_z

Wielkości I_x,I_y,I_z nazywamy głównymi momentami bezwładności bryły. Głównymi momentami bezwładności nazywamy momenty osiowe, obliczone nie dla dowolnych osi, lecz dla osi głównych bryły.

---