Egzamin z matematyki dyskretnej 14 września 2011
Imię: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Nazwisko: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Grupa: |
|
Numer Indeksu: |
|
|
|
|
|
|
Uwagi:
Czas rozwiązywania 100 minut.
Ewentualne wątpliwości związane z niejednoznacznością sformułowań w zadaniach należy umieścić obok udzielonych odpowiedzi.
Dozwolone jest korzystanie z pomocy wyłącznie w formie własnoręcznych notatek. Nie wolno korzystać z książek i urządzeń elektronicznych.
W trakcie egzaminu nie wolno opuszczać sali przed oddaniem pracy.
Zad. 1. (9 pkt.) Wyraź równoważność za pomocą wyłącznie koniunkcji i negacji:
p ↔ q ⇔ ……………………………………………………………………………………
Zad. 2 (8 pkt.) Wyznacz moce zbiorów, gdzie A = {1,2, 3, {1, 2, 3}}, B = {{1,2},1,2}, C = {{1,2,3},1,2}
|(A \ B) × C| = ........... |(A \ C) × (B \ A)| = .............
|(A × C) \ (B × A)| = ............. |(A ∪ B) \ C| = ..................
Zad. 3. (9 pkt.) Uniwersum jest zbiorem studentów. Definiujemy następujące predykaty: L(x, y) - y jest lubiany przez x; M(x) - x lubi matematykę; R(x, y) ⇔ x = y
Wyraź w języku rachunku predykatów pierwszego rzędu, korzystając wyłącznie ze zdefiniowanych powyżej predykatów, następujące zdania: (a) Tylko jeden student lubi matematykę. (b) Wszyscy lubią studentów, którzy lubią matematykę. (c) Pewien student jest nielubiany przez wszystkich.
(a) ...................................................................................................................................................................................................................
(b) ...................................................................................................................................................................................................................
(c) ...................................................................................................................................................................................................................
Zad. 4. (8 pkt.) Niech R(A) oznacza liczbę relacji symetrycznych w zbiorze A. Wyznacz:
R({1, 2}) = ...................... R({1, 2, 3}) = ..................
R({1, 2, 3, 4}) = .................. R({1, 2, 3, 4, 5}) = ..................
Zad. 5. (9 pkt.). Przedstaw przykład relacji równoważności w zbiorze liczb naturalnych, która ma dokładnie dwie klasy abstrakcji - jedną skończoną i jedną nieskończoną.
xRy ⇔ ……………………………………………………………………………………...............................................................................
Zad. 6. (9 pkt.) Na ile sposobów można ułożyć 10-cio literowe słowo z liter {a, b, c, d, e} aby
(a) każda litera wystąpiła dokładnie dwa razy ................................................................................................................
(b) każda litera wystąpiła co najmniej raz...............................................................................................................................
(c) litera „a” wystąpiła dokładnie 5 razy...............................................................................................................................
Zad. 7 (6 pkt.) Wyznacz odpowiednie parametry zadanych grafów:
|
Liczba chromatyczna |
Długość najdłużeszego cyklu |
Długość najkrótszego cyklu |
K7 - e |
|
|
|
K3,5,10 |
|
|
|
W6 |
|
|
|
C7 + C4 |
|
|
|
Zad. 8 (8 pkt.) Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi: 9 | 4n + 6n - 10. Dowód przedstaw na odwrocie kartki.