Egzamin z matematyki dyskretnej 10 lutego 2011
Imię: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Nazwisko: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Grupa: |
|
Numer Indeksu: |
|
|
|
|
|
|
Uwagi:
Czas rozwiązywania 100 minut.
Ewentualne wątpliwości związane z niejednoznacznością sformułowań w zadaniach należy umieścić obok udzielonych odpowiedzi.
Dozwolone jest korzystanie z pomocy w formie własnoręcznych notatek i wydruków slajdów z wykładu. Nie wolno korzystać z książek i urządzeń elektronicznych.
NWD(x, y) oznacza największy wspólny dzielnik liczb x i y.
Cn oznacza cykl o n wierzchołkach, Pn oznacza ścieżkę o n wierzchołkach, Wn oznacza koło o n wierzchołkach
W trakcie egzaminu nie wolno opuszczać sali przed oddaniem pracy.
Zad. 1. (9 pkt.) Czy następująca funkcja zdaniowa:
[ (A ∩ B) \ C = ∅ ˄ (A ∪ B) \ (C \ A) = (A ∩ B) ˄ C ≠ B] ⇒ [B ∩ C ≠ ∅]
jest prawdziwa dla każdych trzech podzbiorów zbioru {1,2,3}? (Tak/Nie)? .............
Jeśli odpowiedziałeś "Nie", przedstaw kontrprzykład przez wskazanie trzech (niekoniecznie różnych) zbiorów A, B, C ⊆ {1, 2, 3}, dla których ta funkcja staje się zdaniem fałszywym.
Kontrprzykład (opcjonalnie): A = ....................................... B = ....................................... C = .......................................
Zad. 2. (9 pkt.) Uzupełnij poniższe formuły symbolami zmiennych zdaniowych tak, aby powstałe schematy logiczne były logicznie równoważne schematowi (p → r) → (r → q). Możesz używać wyłącznie symboli zmiennych zdaniowych (np. p, q, r, s). Dopisywanie spójników logicznych jest niedozwolone. Jeżeli uważasz, że w którymś przypadku takie uzupełnienie nie jest możliwe, wpisz obok formuły sformułowanie "brak rozwiązania".
(a) [..... ˄ (~..... )] ∨ [..... ˄ (~..... )] (b) [..... ˄ (~..... )] ˄ [..... ∨ (~..... )] (c) ~ (..... → .....)
Zad. 3. (9 pkt.) Uniwersum jest zbiorem studentów. Definiujemy następujące predykaty: Z(x) - x zdał egzamin z matematyki; W(x) - x chodził na wykłady z matematyki; R(x, y) - x i y to ten sam student.
Wyraź w języku rachunku predykatów pierwszego rzędu następujące zdania: (a) Dokładnie dwóch studentów nie zdało egzaminu z matematyki. (b) Żaden, spośród studentów, którzy chodzili na wykłady z matematyki, nie oblał egzaminu z tego przedmiotu (c) Co najwyżej jeden student zdał egzamin z matematyki. Nie wolno używać żadnych innych symboli niż: nawiasy, wymienione powyżej predykaty, zmienne, kwantyfikatory oraz spójniki logiczne.
(a) ...................................................................................................................................................................................................................
(b) ...................................................................................................................................................................................................................
(c) ...................................................................................................................................................................................................................
Zad. 4. (9 pkt.) Porzedstaw przykład relacji porządku liniowego w zbiorze liczb naturalych N, która nie jest dobrym porządkiem. Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 5. (9 pkt.). W zbiorze A = {1, 2, ..., 10} zdefiniowano relację binarną S:
xSy ⇔ ( x < y ∧ NWD(x, 2y + 3 ) > 1)
Niech R = p(z(S)). Dla zbioru częściowo uporządkowanego (A, R) Wyznacz:
(a) Wszystkie elementy minimalne: ...........................................................................................................................
(b) Wszystkie elementy maksymalne:.........................................................................................................................
(c) Najliczniejszy antyłańcuch: ..................................................................................................
Na odwrocie przedstaw diagram Hassego tego porządku.
Zad. 6. (10 pkt.) Dla grafu przestawionego powyżej wyznacz:
(a) Wagę minimalnego drzewa spinającego: .....................................
(b) Długość optymalnej trasy chińskiego listonosza:.....................................
(c) Długość najkrótszej marszruty zamkniętej zawierającej wszystkie wierzchołki (praktyczna odmiana problemu komiwojażera):.................
(d) Liczbę chromatyczną :.................
Zad. 7. (10 pkt.) Wyznacz liczbę podgrafów pełnego grafu K10, które są izomorficzne z grafem:
(a) K1,1,8: ............................................................. (b) P8: ...............................................................................
(c) K3,3: ............................................................ (d) W6: ................................................................................