Programowanie liniowe

Zastosowanie nierówności liniowych do rozwiązywania zagadnień ekonomicznych 

Programowanie liniowe jest przede wszystkim ilustracją zastosowań równań i nierówności liniowych oraz ich układów do modelowania i rozwiązywania problemów rzeczywistych, przede wszystkim w ekonomii.

Zadanie:

Pewien zakład krawiecki przygotowuje na karnawał suknie wieczorowe długie i krótkie. Uszycie sukni długiej wymaga 3 godziny pracy krawcowej A i 1 godzinę pracy krawcowej B. Uszycie sukienki krótkiej wymaga 2 godziny pracy krawcowej A i 1 godzinę pracy krawcowej B.W ciągu miesiąca krawcowa A może pracować co najwyżej 120 godzin, a krawcowa B 50 godzin. Zakład zarabia na sukience długiej 200 zł, a na krótkiej 150 zł. Ile długich, a ile krótkich sukienek powinien uszyć w ciągu miesiąca aby osiągnąć maksymalny zysk? Ile wyniesie ten zysk?

x - ilość sukni długich

y - ilość sukni krótkich

Układ warunków:

x, y ≥ 0  i  x, y Є C
3x + 2y ≤ 120   (czas pracy krawcowej A)
x + y ≤ 50         (czas pracy krawcowej B)

Po uproszczeniu układ jest równoważny następującemu układowi:

x, y ≥ 0  i  x, y Є C
y ≤ -1,5 x + 60
y ≤ -x + 50

Zysk zależy od ilości uszytych sukni długich i krótkich.

wzór „funkcji zysku”.

Z(x,y) = 200x + 150y

wykres układu nierówności

Jeżeli obszar możliwych wyników rozwiązań jest ograniczony, to „funkcja zysku” przyjmuje w tym obszarze największą i najmniejszą w pewnych punktach wierzchołkowych.

Optymalną liczbę sukni określają współrzędne punktu (20, 30).Zysk maksymalny wynosi

Z (20, 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 8 500

---