ANALIZA STRUKTURY ROZKŁADU JEDNOWYMIAROWEGO

Zadanie 1:

Liczba zdobytych bramek przez pewną drużynę meczach rundy wiosennej i jesiennej przedstawia się następująco: 332122342102011231102340120422

1. wyznaczyć i zinterpretować średnią arytmetyczną, medianę i dominantę

2. porównując obliczone miary ocenić i zinterpretować kierunek asymetrii (bez obliczania siły asymetrii)

Zadanie 2:

Rozkład połowów 40 załóg kształtował się następująco:

Wysokość połowów w tonach	Poniżej 20	Poniżej 40	Poniżej 60	Poniżej 80	Poniżej 100
Odsetek załóg	10	40	75	95	100

1. w oparciu o podane informacje wyznaczyć liczbowo medianę

2. wyznaczyć wartość dominanty w tym rozkładzie

3. wartość dystrybuanty empirycznej dla x=60 zaznaczyć na wykresie

Zadanie 3

W wyniku badania losowej próby inwestorów giełdowych otrzymano następujący rozkład wielkości stopy zwrotu z inwestycji (w %)

Stopa zwrotu	2,5-7,5	7,5-12,5	12,5-17,5	17,5-22,5	22,5-27,5	27,5-32,5
Liczba inwestorów	10	20	40	70	40	20

1. obliczyć i zinterpretować średnią arytmetyczną i dominantę stopy zwrotu z inwestycji

2. porównując obliczone miary ocenić i zinterpretować kierunek asymetrii (bez obliczania siły)

3. ocenić zróżnicowanie badanego rozkładu

Zadanie 4

W celu zbadania struktury wypłaconych trzynastek w zł (X) w dwóch grupach pracowniczych pobrano dwie próby i otrzymano wyniki:

Parametry	n	X średnia	do	me	s	V	A
Grupa 1	100	1400				12%	0
Grupa 2	100	2000	1900	1978	200

Uzupełnić brakujące informacje w tabelce. Dokonać wszechstronnej analizy porównawczej rozkładów wypłaconych trzynastek w obu grupach w zakresie tendencji centralnej, zróżnicowania i asymetrii.

Zadanie 5

N podstawie próby 50 tramwajów użytkowych w Warszawie ustalono, że ich rozkład ze względu na okres użytkowania (w latach) był następujący:

Okres użytkowania	0-4	4-8	8-12	12-16	16-20
Częstość tramwajów	0,02	0,04	0,20	0,40	0,34

Ponadto wiadomo że wariancja w tej próbie jest równa 18,3 lat (do kwadratu). Czy jest prawdą że:

1. większość zbadanych tramwajów była użytkowana powyżej 15 lat?

2. Względne zróżnicowanie tramwajów ze względu na okres użytkowania przekracza 30%?

Zadanie 6

Poniższe zestawienie prezentuje informacje o strukturze gospodarstw domowych w województwie kujawsko - pomorskim wg liczby osób:

Liczba osób w gospodarstwie	1	2	3	4	5
Skumulowany odsetek gospodarstw	20	45	66	86	100

1. korzystając z miar klasycznych oceń średnią i zróżnicowanie wielkości gospodarstw

2. wiedząc dodatkowo, że trzeci moment centralny w rozkładzie wynosi 0,38 oceń asymetrię rozkładu

Zadanie 7

Poniższe zestawienie przedstawia informacje o rozkładzie wieku czytelników „Polityki”

Wiek w latach	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
Odsetek czytelników	5	20	40	20	10	5

1. oceń zróżnicowanie wieku dla 50 % czytelników znajdujących się w obszarze

rozstępu kwartylowego

Zadanie 8

Informacje o strukturze gospodarstw domowych wg liczby osób (na wsi) prezentuje zestawienie:

Liczba osób w gospodarstwie	1	2	3	4	5
Odsetek gospodarstw	21	23	20	22	14

1. korzystając z miar pozycyjnych oceń absolutne i względne zróżnicowanie wielkości gospodarstw na wsi

ZMIENNE LOSOWE, ROZKŁADY STATYSTYK Z PRÓBY

Zadanie 1

Zakładając, że prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi 0,51 a dziewczynki 0,49 oraz że zdarzenia są niezależne, obliczyć prawdopodobieństwo, że w rodzinie w której będzie troje dzieci

a) urodzą się trzy dziewczynki

2. urodzi się jeden chłopiec

3. urodzi się co najmniej dwóch chłopców

Zadanie 2

Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 2000 losujących osób:

1. żadna nie wygra

2. wygra co najmniej jedna osoba

3. wygrają co najwyżej dwie osoby

Zadanie 3

Przypuścimy, że wzrost (w cm) poborowych w Polsce ma rozkład normalny N(175,7). Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że wylosowany poborowy będzie miał wzrost:

1. nie większy od 170 cm

2. z przedziału (180, 190]

Zadanie 4

Zmienna losowa X ma rozkład N(100, 20). Korzystając z operacji standaryzacji i tablicy dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:

1. P(X≤90)

2. P(X>126)

Odp. A)0,3085: B)1-0,9032

Zadanie 5

Wiadomo, że co piąty student nie podchodzi do egzaminu ze statystyki w pierwszym terminie. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że:

1. wśród losowo wybranych studentów do egzaminu nie podejdzie więcej niż trzech

2. w losowej próbie 300 studentów nie więcej niż 40 nie podejdzie do egzaminu

Zadanie 6

Zużycie paliwa (w litrach na 100 km) w samochodzie SEAT ma rozkład normalny z parametrami 8; 1,2

1. obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zużycie paliwa w losowo wybranym samochodzie przekroczy 7,6 litra

2. dla jakiej wielkości zużycia paliwa dystrybuanta w badanym rozkładzie przyjmuje wartość 0,75?

Odp: a) 0,6293 b) 8,804

Zadanie 7

Czas oczekiwania na tramwaj linii 33 jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym równym 1 min:

1. ile wynosi przeciętny czas oczekiwania na tramwaj jeśli 75,8% osób oczekujących na ten tramwaj czeka nie krócej niż 4 min

Odp: m=4,07

Zadanie 8

Poziom cholesterolu we krwi jest zmienną losową o rozkładzie N (200, 30)

1. jaki odsetek ludzi ma poziom cholesterolu nie przekraczający 185

Odp: 30, 85%

Zadanie 9

Zmienne X1 i X2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach odpowiednio: N(20, 3) i N (4,2). Należy obliczyć:

1. wartość oczekiwaną, wariancję i współczynnik asymetrii zmiennej Y=X1-2X2

2. prawdopodobieństwo P(Y>9,6)

Odp: a) EY=12, DY=5 więc wariancja 25, A=0

2. 0,6844

Zadanie 10

Rzucamy 10000 razy monetą. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie nie więcej niż 5100 razy oraz że liczba wyrzuconych reszek będzie zawierała się pomiędzy 4900 a 5500

Odp. A) 0.97725: b)0, 81855

Zadanie 11

Zmienna losowa W ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 105 i wariancji 9

1. oblicz ile wynosi kwartyl trzeci w tym rozkładzie

2. oblicz wartośc oczekiwaną i wariancję zmiennej Z=250 - 2W

Odp:a) Q3=107,01, b)EZ=40, wariancja wynosi 36

---