W pewnej firmie rozważano możliwość przyjęcia jednego z dwóch programów inwestycyjnych. Pierwszy z programów zapewnia po
latach zysk krańcowy
, a drugi program odpowiednio
. Przez ile lat program drugi będzie korzystniejszy od pierwszego? Jak będzie całkowita nadwyżka zysku z przyjęcia programu drugiego zamiast pierwszego?

Oznaczmy zyski krańcowe obu programów odpowiednio przez (w tys. zł)

Dla określenia relacji między tymi funkcjami powinniśmy sporządzić szkic wykresu ich funkcji

Dla ustalenia współrzędnej punktu przecięcia wykresów obu funkcji musimy rozwiązać równanie

Warunki naszego zadania spełnia
, a z wykresu wynika, że w przedziale
zysk krańcowy drugiego programu inwestycyjnego jest większy od zysku z pierwszego programu.

W tym przedziale nadwyżka zysku krańcowego jest opisana różnicą funkcji

Całkowita nadwyżka zysku na przestrzeni 15 lat jest równa

tys. zł

Zakreskowane pole na pokazanym wyżej wykresie jest graficzną ilustracją tej całkowitej nadwyżki zysku.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b, a≤b jest równe całce oznaczonej

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Całka oznaczona - intuicyjnie: pole powierzchni między wykresem funkcji f(x) w pewnym przedziale [a,b], a osią odciętych, wzięte ze znakiem plus dla dodatnich wartości funkcji i minus dla ujemnych. Pojęcie całki oznaczonej, choć intuicyjnie proste, może być sformalizowane na wiele sposobów. Jeśli jakaś funkcja jest całkowalna według dwóch różnych definicji całki oznaczonej, wynik całkowania będzie taki sam.

---