Kolokwium wykładowe z kinamatyki

1. Obliczyć wartość iloczynu skalarnego
wektorów o składowych
i 
.

Odp.:
.

2. Obliczyć wartość iloczynu wektorowego
wektorów o składowych
i 
.

Odp.:
.

3. Obliczyć wartość iloczynu mieszanego
wektorów o składowych
,
i
.

Odp.:

.

4. Uprościć wyrażenie:
.

Odp.: Na podstawie tożsamości
wnioskujemy
.

5. Uprościć wyrażenie:
.

Odp.:
. Na podstawie antyprzemienności iloczynu mieszanego wnioskujemy, że
. Stąd wynika
.

6. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne.

Odp.:
gdzie
jest przyspieszeniem stycznym,
jest przyśpieszeniem normalnym,
jest jednostkowym wektorem stycznym,
jest krzywizną toru,
jest promieniem krzywizny toru,
jest jednostkowym wektorem normalnym.

7. Dane są równania płaskiego ruchu punktu materialnego:
gdzie
 i 
są stałymi. Wyznaczyć przyspieszenie normalne i styczne w chwili
.

Odp.:
,
.

Obliczenia: Na podstawie twierdzenia o rozkładzie przyspieszenia punktu na przyśpieszenie normalne i styczne obliczmy:

a). Wektor prędkości punktu
.

b). Długość wektora prędkości
.

c). Jednostkowy wektor styczny
.

d). Jednostkowy wektor normalny
, bo w ruchu płaskim wystarczy obrócić
o -90^o aby otrzymać
.

e). Wektor przyśpieszenia
.

f). Przyspieszenie styczne
.

g). Przyspieszenie normalne
.

h). Wartości chwilowe przyspieszenia stycznego i normalnego:

,
.

8. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym.

Odp.: W ruchu kulistym prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu
względem środka ruchu wynoszą odpowiednio

,

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły?

9. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem obrotowym ze stałą prędkością kątową
. Obliczyć składowe wektorów prędkości i przyśpieszenia punktu bryły o współrzędnych
względem układu współrzędnych z zerem na osi obrotu.

Odp.:
,
.

Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że prędkość rozpatrywanego punktu wynosi

Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły w ruchu kulistym wynika, że przyśpieszenie rozpatrywanego punktu wynosi

bo
.

10. Wiadomo, że bryła porusza się ruchem kulistym, a punkty A i B mają współrzędne odpowiednio [1,0,0] i [0,1,0] względem układu współrzędnych z zerem w środku ruchu kulistego. Wiadomo również, że składowe prędkości punktów A i B wynoszą odpowiednio [0,3,-2] i [-3,0,1] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.:
.

Obliczenia: Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły w ruchu kulistym zastosowanego dla punktów A i B wynika

,

.

Stąd wnioskujemy, że
,
,
jest rozwiązaniem otrzymanego układu równań.

11. Stożek prawidłowy o wysokości h i rozwartości 2 toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie. Wiadomo, że wartość bezwzględna wektora prędkości kątowej stożka jest stała i wynosi
. Oblicz wartość bezwzględną prędkości środka podstawy stożka / najwyższego punktu podstawy stożka.

Odp.:
/
.

Obliczenia: Z warunków zadania wynika, że stożek porusza się ruchem kulistym wokół swego wierzchołka a linia kontaktu stożka z płaszczyzną jest osią chwilowego obrotu stożka. Zatem prędkość punktu A obliczmy ze wzoru . Zatem wartość bezwzględna prędkości punktu A wynosi . Dla punktu B jest podobnie oraz .

12. Stożek prawidłowy o wysokości h i rozwartości 2 toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie. Wiadomo, że wartość bezwzględna wektora prędkości kątowej stożka jest stała i wynosi
. Oblicz wartość przyśpieszenia środka podstawy stożka.

Odp.:
.

Obliczenia: Z warunków zadania wynika, że stożek porusza się ruchem kulistym wokół swego wierzchołka a linia kontaktu stożka z płaszczyzną jest osią chwilowego obrotu stożka. Zatem prędkość środka podstawy obliczmy ze wzoru
, gdzie
jest wektorem położenia środka podstawy względem wierzchołka. jej wartość bezwzględna wynosi
i jest stała. Zatem przyśpieszenie styczne środka podstawy jest równe zeru.

Środek podstawy porusza się po okręgu o promieniu
. Zatem jego przyśpieszenie normalne wynosi
.

13. Stożek prawidłowy o wysokości h i rozwartości 2 toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie. Wiadomo, że wartość bezwzględna wektora prędkości kątowej stożka jest stała i wynosi
. Znajdź wektor przyśpieszenia kątowego stożka.

Odp.:
. A JEDNAK NIE ZERO.

Obliczenia: Z warunków zadania wynika, że stożek porusza się ruchem kulistym wokół swego wierzchoła a linia kontaktu z płaszczyzną jest osią centralną chwilowego obrotu stożka. Z kinematyki ruchu kulistego wynika, że środek podstawy stożka A ma prędkość
, oraz
. Z drugiej strony środek postawy porusza się po okręgu ze stałą kątową prędkością (precesji)
. Stąd wynika
,
oraz
. Z taką samą prędkością kątową porusza się koniec wektora
. Zatem traktując wektor
jako wektor położenia swego końca mamy
oraz
.

14. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach i przyśpieszeniach punktów bryły.

Odp.: Prędkość i przyśpieszenie punktu bryły o położeniu
względem innego punktu A bryły wynoszą odpowiednio

,

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły, a
jest wektorem przyśpieszenia kątowego bryły.

15. Wiadomo, że punkty A, B i C o współrzędnych [0,0,0], [1,0,0] i [0,1,0] mają prędkości o składowych odpowiednio [1,1,2], [1,3,1] i [-1,1,3] w tym samym układzie współrzędnych. Wyznaczyć składowe wektora prędkości kątowej bryły.

Odp.:
.

Obliczenia: Korzystamy ze wzorów
i
otrzymując następujący układ równań
=0,
=0.

16. Koło o promieniu R toczy się ruchem płaskim po płaszczyźnie bez poślizgu. Wiadomo, że prędkość środka koła
jest stała. Wyznaczyć przyspieszenie punktu odległego o r od środka koła w swym najwyższym/najniższym/dowolnym położeniu.

Odp.:
.

Obliczenia.

Z twierdzenia o prędkościach punktów bryły
, bo
.

Zatem prędkość kątowa koła wynosi
. Zatem przyśpieszenie kątowe koła wynosi
.

Z twierdzenia o przyśpieszeniach punktów bryły
. Ale przyśpieszenie środka koła wynosi
. Przyśpieszenie obrotowe również znika
. Pozostaje jedynie przyśpieszenie dośrodkowe
.

Uwaga! Jak to zwykle bywa w niniejszym zadaniu przyśpieszenie środka chwilowego obrotu jest niezeroweeeeeeeeeeeeeeeee i wynosi
.

17. Korba o długości r układu korbowego obraca się ze stałą prędkością kątową . Obliczyć wartości przyśpieszeń końca korbowodu w jednym z jego skrajnych położeń. Założyć, że długość korbowodu l>r.

Odp.:
.

Obliczenia: Z ruchu obrotowego korby wynika
i
. Z więzów korbowodu wynika, że C jest środkiem chwilowego obrotu korbowodu. Ze wzoru
wynika zatem prędkość obrotowa
korby oraz przyśpieszenie
dośrodkowe punktu C względem B. Wobec wzoru
oraz więzów wynika , że przyśpieszenie obrotowe punktu C względem A
. Zatem
oraz
.

18. Korba o długości r układu korbowego obraca się ze stałą prędkością kątową . Obliczyć wartości przyśpieszeń końca korbowodu w położeniu, w którym korba jest prostopadła do korbowodu. Założyć, że długość korbowodu l>r.

Odp.: . Obliczenia: Z ruchu obrotowego korby wynika i  . Z więzów korbowodu wynika, że O jest środkiem chwilowego obrotu korbowodu. Ze wzoru wynika zatem prędkość obrotowa korbowodu, a następnie przyśpieszenie dośrodkowe punktu C względem B. Rzutując wzór na oś korbowodu otrzymujemy . Stąd bo .

19. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o prędkościach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

gdzie
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie
ruchomego układu współrzednych o wersorach

to prędkość bezwzględna punktu wynosi
gdzie

jest prędkością względną, a

jest prędkością unoszenia, natomiast
jest wektorem prędkości kątowej ruchomego układu współrzędnych.

20. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o przyśpieszeniach w ruchu złożonym punktu.

Odp.: Jeżeli równania ruchu punktu materialnego przedstawić w postaci

gdzie
są współrzędnymi rozpatrywanego punktu względem zaczepionego w punkcie
ruchomego układu współrzednych o wersorach

to przyspieszenie bezwzględne punktu wynosi
gdzie

jest przyśpieszeniem względnym,

jest przyśpieszeniem unoszenia, a

jest przyspieszeniem Coriolisa natomiast
i
są wektorami prędkości i przyspieszenia kątowego ruchomego układu współrzędnych.

---