1) Wcięcie kątowe wprzód:

Dane: współrzędne x, y ptów A, B oraz kąty α, β

Szukane: współrzędne x, y ptu C.

Z wierzchołka C opuszczamy wysokość h na bok AB dzielące go w pcienC na 2 odcinki: p, q przy czym:

p=hctgα ; q=ctg (1).

Długość d bazy AB można wiec wyrazić wzorem:

D=p+q=h(ctgα+ctgβ) (2).

Oznaczymy azymut (AB) boku AB symbolem φ I obliczymy współrzędne Xc, Yc ptu C jako końcowego ptu poligonu A,B,C. Otrzymamy:

Xc=Xa+pcosφ+hcos(90+φ),

Yc=Ya+psinφ+hsin(90+φ).

Ponieważ:

cos(90+φ)=-sinφ=-(Yb-Ya)/d

sin(90+φ)=cosφ=(Xb-Xa)/d (4),

więc podstawiając (4) do (3) będziemy mieli:

Xc=Xa+ctg(Xb-Xa)/d-h(Yb-Ya)/d

Yc=Ya+ ctg(Yb-Ya)/d-h(Xb-Xa)/d (5),

A po podstawieniu (2)

Xc=Xa+hctgα(Xb-Xa)/h(ctgα+ctgβ) - h(Yb-Ya)/h(ctgα+ctgβ)

Yc=Ya+hctgα(Yb-Ya)/h(ctgα+ctgβ) - h(Xb-Xa)/h(ctgα+ctgβ) (6)

Po uproszczeniu przez h i sprowadzeniu prawych stron zwiazków (6) do wspólnego mianownika uzyskamy:

Xc=Xa(ctgα+ctgβ) ctgα(Xb-Xa) - (Yb-Ya)/ctgα+ctgβ.

Yc=Ya(ctgα+ctgβ) ctgα(Yb-Ya) - (YXb-Xa)/ctgα+ctgβ. (7).

W powyższych wyrażeniach zlikwidujemy nawiasy i będzie:

Xc=Xactgα+Xactgβ+Xbctgα-Xactgα - Yb+Ya/ctgα+ctgβ,

Yc=Yactgα+Yactgβ+Ybctgα-Yactgα - Xb+Xa/ctgα+ctgβ (8),

Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy ostatecznie:

Xc=Xactgβ+Ya+Xbctgα-Yb /ctgα+ctgβ,

Yc=-Xa +Yactgβ + Xb+Ybctgα /ctgα+ctgβ (9)

Zauważmy, że zestawiając formę złożoną:

F=/Xa Ya/Xb Yb/

/-1 ctgβ/1 ctgα/ (10)

Możemy wzory na współrzędne przedstawić jako następujące funkcje jej elementów:

Xc=F(1); Yc=F(2) (11).

2) Wcięcie kątowe wstecz:

Dane: współrzędne x, y ptów L,C,P

Szukane: kątα.

Z rysunku 1 widać, że kątα jest różnicą azymutów tworzących go ramion α=φp-φL (1).

Ponieważ z powyższego wynika, że tgα=tg(φp-φL) (2), wiec korzystając ze wzoru na tangens różnicy dwóch kątów możemy napisać:

tgα=tgφp-tgφL/1+tgφp∙tgφL (3).

Pamiętając o wzorach:

tgφp=ΔyCP/ΔxCP, tgφL=ΔyCL/ ΔxCL (4).

Możemy wyrazić tgα jako funkcję współrzędnych:

I przekształcać otrzymane wyrażenie otrzymując kolejno:

Zauważmy, że związek (6) można przedstawić jako funkcję zerową formuły:

tgα= /ΔxCL ΔyCL/ = f1/f2

/ΔxCP ΔyCP/0 (7)

3) Rozwiązanie układu równań metodą nieoznaczoną

Niech będzie dany układ s równań liniowych z s niewiadomymi o niezerowym wyznaczniku podstawowym. Zapiszemy go w postaci uproszczonej:

X1 X2…Xi…Xs 1 /

a1 b2…i1…s1 l1/ I1

a2 b2…i2…s2 l2/ I2

… …………… …/…

as bs…is…Ss ls/ Is (1)

Będziemy chcieli obliczyć i-tą niewiadomą układu korzystając z pojęć wyznacznikowych. W tym celu pomnóżmy stronami pierwsze równanie przez kofaktor I1 elementu i, drugie przez kofaktor I2 elementu i2,…, wreszcie s-te równanie przez kofaktor Is oraz przekształcone tak równanie zsumujemy. Otrzymamy jedno równanie:

[a I]x1+[b I]x2+…+[ Ii]xi+…+[s I]+[l I]=0 (2)

Które spełniają niewiadome układu wyjściowego, gdyż mnożenie równań stronami przez stałe i sumowanie nie zmienia wartości niewiadomych.

Symbole sumowe Gaussa, np. [a I]=∑ aqbq=a1 I+a2 I2+…+as Is (3)

Wprowadzono dla uproszczenia zapisu.

Z twierdzenia głównego wiemy, że iloczyn i-tej kolumny tabeli wyznacznika przez i-tą kolumnę tabeli kofaktorów jest równy wartości tego wyznacznika. Oznaczając przez d wartość wyznacznika podstawowego możemy więc napisać:

[i I]=d (4)

Z tego samego twierdzenia wiemy, że pozostałe kolumny wyznacznika podstawowego mnozona przez i-tą kolumnę tabeli kofaktorów dają zera czyli:

[a I]=[b I]=…=[s I]=0 (5)

Równanie (2) przyjmuje więc postać:

[i I]xi+[l I]=0 (6)

Skąd xi= - [l I]/[i I] (7)

albo, po podstawieniu (4)

xi= - [l I]/d (8)

Wynika stąd, że aby obliczyć i-tą niewiadomą należy iloczyn kolumny wyrazów wolnych oraz i-tej kolumny tabeli kofaktorów podzielić przez wartość wyznacznika podstawowego i zmienić znak wyniku.

Jeżeli wyrazy wolne leżą z prawej strony znaku równości - nie zmieniamy znaku ilorazu.

4) Rozwiązanie układu równań metodą redukcyjną

Istota metody redukcyjnej

polega na eliminowaniu kolejnych niewiadomych układu, aż do momentu otrzymania jednego równania z jedną, ostatnią niewiadomą. Po jaj wyznaczeniu oblicza się pozostałe niewiadome z kolejnych reduktów zaczynając od końca, przy czym i-tym reduktem układu wyjściowego nazywamy układ równań otrzymany z danego po eliminacji i początkowych niewiadomych. Eliminacja i-tej niewiadomej z (i-1)go reduktu polega faktycznie na obliczeniu i-tej niewiadomej z pierwszego równania tego reduktu jako funkcji pozostałych niewiadomych i podstawieniu jej do następnych równań. Tok dowodu:

Rozważmy układ n równań liniowych z n niewiadomymi, który zapiszemy w postaci uproszczonej podanej schematem (1)

X1 X2 X3…Xn 1 /

a1 b2 c1…n1 l1/-a2-a3-…-

a2 b2 c2…n2 l2/ a1

a3 b3 c3…n3 l3/ a1

… …………… …/…

an bn cn…Nn ln/ a1

(a1a2-a2a1)(a1b2-a2b1)(a1c2-a2c1)…(a1n2-a2n1)(a1l2-a2l1)

(a1a3-a3a1)(a1b3-a3b1)(a1c3-a3c1)…(a1n3-a3n1)(a1l3-a3l1)

… … … … … … … … … … … ….… … … … … … … … … …

(a1an-ana1)(a1bn-anb1)(a1cn-anc1)…(a1Nn-anN1)(a1ln-anl1) (2)

Aby obliczyć kolejne równania pierwszego reduktu R1 pomnóżmy pierwsze równanie przez - a2, drugie przez a1 i zsumujemy następnie pierwsze przez - a3, trzecie przez a1 i zsumujmy…Wreszcie mnożąc pierwsze równanie przez -an, a n-te przez a1 i sumując otrzymamy ostateczne równanie pierwszego reduktu. Otrzymujemy pierwszy redukt układu wyjściowego jest układem (n-1) równań z (n-1) niewiadomymi x2,x3,…,xn, gdyż jak łatwo spostrzec, wszystkie współczynniki przy x1 są równe zeru. Jest przy tym oczywiste, że układ R1 jest równoważny danemu gdyż mnożenie równań przez stałe i sumowanie wartości niewiadomych nie zmienia. Zauważmy, że wyrażenia objęte nawiasami, czyli współczynniki redukatu R1, można przedstawić w postaci wyznaczników drugiego stopnia bardzo prostych do zestawienia i obliczenia. Powyższa uwaga pozwala otrzymany układ (2) zapisać w postaci:

x2 x3 xn 1

a1 b1//a1 c1/…/a1 n1//a1 l1/

a2 b2//a2 c2/…/a2 n1//a2 l2/

a1 b1//a1 c1/…/a1 n1//a1 l1/

a3 b3//a3 c3/…/a3 n3//a3 l3/

a1 b1//a1 c1/…/a1 n1//a1 l1/

an bn//an cn/…/an Nn//an ln/ (3)

Dokonując identycznego przekształcenia reduktu R1 otrzymujemy redukt R2 a przedłużając postępowanie dalej otrzymujemy wreszcie ostatni redukt stanowiący jedno równanie, z którego obliczamy niewiadomą ostatnią. Podsumowując ją do właściwego równania przedostatniego reduktu wyznaczamy przedostatnia niewiadomą i postępując analogicznie - obliczymy niewiadome pozostałe.

5) Tw. o układach równoważnych

Jeśli tabelę układu n równań liniowych z n niewiadomymi pomnożyć przez tabelę niezerowego wyznacznika stopnia n stosując mnożenie w sensie Cauchy-Binet'a, otrzymuje się tabelę układu równoważnego danemu.

Niech będzie dany układ równań liniowych z n niewiadomymi oraz tabela δ stopnia n o niezerowym wyznaczniku.

x1 x2…xn 1

a1 b1…n1 l1

a2 b2…N2 l2

… …… … …

an bn…Nn ln

Pomnóżmy stronami pierwsze równanie układu przez α, drugie przez α2,…, n-te przez αn i zsumujemy. Otrzymamy pierwsze równanie nowego układu, którego współczynniki zapisujemy stosując symbol sumowy Gaussa:

[aα]x1+[bα]x2+…+[nα]xn+[lα]=0 (2)

Analogicznie mnożąc równania stronami przez β1,β2,…,βn,…,η1,η2,…,ηn i sumując otrzymujemy drugie, trzecie,…, n-te równanie nowego układu, który ostatecznie przyjmie postać:

[aα]x1+[bα]x2+…+[nα]xn+[lα]=0

[aβ]x1+[bβ]x2+…+[nβ]xn+[lβ]=0

… … … … … …

[aη]x1+[bη]x2+…+[nη]xn+[lη]=0 (3)

Układ (3) ma to samo rozwiązanie co układ (1), gdyż mnożenie równań stronami przez stałe i sumowanie wartości niewiadomych nie zmienia. Łatwo też zauważyć, że tabela tego układu jest iloczynem Cauchy - Bineta tabeli //a// tego układu przez tabelę //δ//.

6) Korzystając z tw. asocjatywnego udowodnić tw. dysocjatywne

Mamy udowodnić, że

a (b c)= a ∙τc∙b (1)

Stosując do prawej strony danego związku twierdzenie asocjatywne otrzymujemy

a τc b = a(b∙τ(τc)) (2)

Ponieważ τ(τc)=c więc po podstawieniu będzie

a τc b = a (b c).

7) Udowodnić tw. o kwadracie krakowianu

Mamy wykazać, że dla dowolnego krakowianu a iloczyn a ∙ a=a^2 istnieje i jest krakowianem symetrycznym. To, że iloczyn a^2=a∙a istnieje dla dowolnego krakowianu a wynika z oczywistego faktu, że oba jego równe czynniki mają tą samą liczbę wierszy, a więc są zawsze wymnażane.

Aby udowodnić symetryczność tego krakowianu wprowadzimy oznaczenie a^2=b i wykażemy, że b spełnia warunek symetryczności, czyli: bij=bji. Ponieważ bij=ai ∙ aj , natomiast bji= aj ∙ ai , gdzie aj ∙ ai= ai ∙ aj,

gdyż iloczyn dwóch krakowianów jednokolumnowych jest przemienny więc bji=ai ∙ aj (8),

Czyli związek (4) istotnie zachodzi.

8) Twierdzenie o mnożeniu krakowianu przez krakowian jednostkowy

Mamy uzasadnić, że

a ∙τ=a (1)

τ ∙ a=τ ∙ a (2)

Wzór (1) wymaga uzasadnienia, że

(a ∙τ)ij=aij (3)

(a ∙τ)ij=ai ∙ τj (4)

a ponieważ w kolumnie τj istnieje tylko jeden niezerowy element położony w wierszu j-tym, równy 1, który będzie mnożony przez element aij, więc ostatecznie mamy:

(ai ∙ τj)=aij (5)

czyli (a ∙ τ)ji=aij (6)

Podobnie uzasadnimy wzór (2) wykazując, że (τ ∙ a)ij=(τ a)ij (7)

Czyli (τ ∙ a)ij=aji (8)

Ponieważ (τ ∙ a)ij=τi aji

A kolumna τi ma tylko jeden niezerowy element, różnej jedności, położony w wierszu i-tym, który będzie mnożony przez odpowiadający mu kolejnością element kolumny aj, czyli przez aji, więc ostatecznie mamy τi ∙ aj=aji (10)

Czyli (τ a)ij = aji (11).

9) Tw. o kwadracie iloczynu dwóch krakowianów

Dowód tego twierdzenia polega na uzasadnieniu związku:

(a⋅b)^2=a(τb)^2a (1)

Przekształcimy lewą stronę powyższej równości otrzymując kolejno:

(a⋅b)^2=(a⋅b) (a⋅b)=a⋅b (a⋅b) (2)

Gdyż dowolną liczbę kolejnych początkowych czynników można zawsze rozłączyć tj. usunąć nawiasy). Stosując do ostatniego iloczynu twierdzenie dysocjatywne, będziemy mieli:

a⋅b (a⋅b)=a⋅b τba (3)

a po połączeniu dwóch środkowych czynników

a⋅b τba=a(τbτb)a=a(τb)^2a (4)

czyli (a⋅b)^2= a(τb)^2a (5).

10) Tw. o odwrotności iloczynu dwóch krakowianów

Mamy udowodnić ze:

(ab)^-1=a^-1b^-1 (6)

Jeśli powyższy wzór jest prawidłowy, to wobec

(ab)^-1(ab)=τ (7)

musi być także

(a^-1b^-1)(ab)=τ (8)

I zadanie sprowadza się do wykazania, że tak jest istotnie.

Przekształcenie lewej strony formuły (8) daje kolejno:

(a^-1b^-1)(ab)=a^-1b^-1(ab)= a^-1b^-1 τba= a^-1(τbτ(b^1))a= a^-1(τb(τb)^1)a=a^-1τa=a^-1a=τ

Wykorzystaliśmy tu fakt, że transpoza odwrotności krakowianu jest równa odwrotności jego transpoza, oraz że iloczyn krakowianu a przez krakowian τ jest równy a.

11) Dowód równoważności układu symetrycznego i układu pierwiastka

Niech będzie dany symetryczny układ równań liniowych:

x∙τa+l=0 (1)

czyli układ o symetrycznym krakowianie współczynnikowym a spełniającym warunek

a=τa (2)

co pozwala układ (1) zapisać w postaci

xa+l=0 (3)

załóżmy, że krakowian a ma pierwiastek r, czyli

a=r∙r=r^2 (4)

Znajdziemy układ równań o trójkątnej tabeli współczynnikowej r (pierwiastek)

x∙τr+λ=0 (5)

który byłby równoważny układowi danemu (3).

Zadanie sprowadza się do uzyskania wzoru na obliczenie krakowianu λ wyrazów wolnych układu trójkątnego (5). Aby go uzyskać pomnóżmy układ (5) stronami przez r. Otrzymamy:

x∙τr∙r+λr=0

a po asocjacji

xr^2+λr=0 (6)

Układ (6) jest równoważny układowi (5) na mocy twierdzenia o układach równoważnych. Aby układ (6) był równoważny układowi (3) muszą zachodzić związki

a=r^2 (7)

λr=l (8)

Pierwszy z nich założyliśmy, a jak widać, z założenia tego wynika, że kolumna λ wyrazów wolnych przy pierwiastku musi być takim krakowianem, który pomnożony przez r daje kolumnę wyrazów wolnych układu symetrycznego. Wtedy z uwagi na równoważność układów (3) i (6) oraz (6) i (5) są także równoważne układy (3) i (5).

Z (7) i (8) wynika, że tabelę układu trójkątnego można uzyskać poddając transformacji Banachiewicza tabelę układu symetrycznego, co zapisujemy poniższym schematem blokowym.

12) Krakowianowy wzór na rozwiązywanie układu równań liniowych metodą nieoznaczoną.

Mając dany układ równań liniowych

x∙τa+l=0 (1)

będziemy chcieli uzyskać wzór na obliczenie niewiadomych x z wykorzystaniem algebry krakowianowej.

Pomnóżmy (1) stronami przez (a^-1). Mnożenie to na mocy twierdzenia o układach równoważnych nie zmienia wartości niewiadomych. Otrzymamy:

x∙τa∙a^-1+l∙a^-1=0 (2)

a po asocjacji x(a^-1∙a)+ l∙a^-1=0

czyli x∙τ+l∙a^-1=0

i ostatecznie x=-la^-1 (3)

Krakowian niewiadomych jest więc iloczynem krakowianu wyrazów wolnych przez odwrotność krakowianu współczynnikowego, wziętym z przeciwnym znakiem. Gdy wyrazy wolne występują z prawej strony znaku równoważności - znak pozostaje bez zmiany.

1) Wcięcie kątowe wprzód

2) Wcięcie kątowe wstecz

3) Rozwiązanie układu równań metodą nieoznaczoną

4) Rozwiązanie układu równań metodą redukcyjną

5) Tw. o układach równoważnych

6) Korzystając z tw. asocjatywnego udowodnić tw. dysocjatywne

7) Udowodnić tw. o kwadracie krakowianu

8) Twierdzenie o mnożeniu krakowianu przez krakowian jednostkowy

9) Tw. o kwadracie iloczynu dwóch krakowianów

10) Tw. o odwrotności iloczynu dwóch krakowianów

11) Dowód równoważności układu symetrycznego i układu pierwiastka

12) Krakowianowy wzór na rozwiązywanie układu równań liniowych metodą nieoznaczoną.

---