Relacje - zadania

Zadanie 1

Dla następujących relacji w zbiorze S={0,1,2,3} określ, które z własności (zwrotność, symetria, antysymetria, przechodniość) są spełnione:

1. (m,n) ∈R , jeśli m+n=3

2. (m,n) ∈R, jeśli m-n jest liczbą parzystą

3. (m,n) ∈R, jeśli m ≤ n

4. (m,n) ∈R, jeśli m+n ≤ 4

Zadanie 2

W zbiorze N (liczby naturalne) określone są następujące relacje:

1. (m,n) ∈R, jeśli m+n=5

2. (m,n) ∈R, jeśli max{m,n}=2

3. (m,n) ∈R, jeśli min{m,n}=2

Które z własności (zwrotność, symetria, antysymetria, przechodniość) spełniają te relacje?

Zadanie 3

Podaj przykład relacji, która jest:

1. antysymetryczna i przechodnia, ale nie jest zwrotna.

2. symetryczna, ale nie jest zwrotna i przechodnia.

Zadanie 4

Niech Σ będzie alfabetem, dla słów ω(1) i ω(2) w zbiorze Σ* określamy relację

ω (1) ~ ω (2) ⇔długość (ω (1)) = długość (ω (2)). Sprawdź, czy relacja ta jest relacją równoważności i opisz jej klasy równoważności.

Zadanie 5

Niech ~ będzie relacją na zbiorze funkcji określonych na przedziale [0,1] o wartościach rzeczywistych

f~g ⇔ |f(x)-g(x)|≤1, dla x∈[0,1]

Określmy relację „ ≈”

f ≈ g ⇔ istnieje ciąg funkcji f=f₁, f₂, ......, f_n =g taki, że f₁ ~f₂, f₂~f₃, ...,f_n-1~f_n

1. pokazać, że „ ≈”jest relacją równoważności

2. opisać klasę równoważności dla f(x)=0 (f. stała)

Zadanie 6

Wypisz elementy zbiorów A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, A₇₃ określonych wzorem

A_k = {m∈Z: -10 ≤ m ≤10 oraz m ≡ k (mod 3)}

---