Egzamin 2010-02-15
D1. (B1) Uzyskaj równanie funkcji odwrotnej do funkcji, której wykres nazywamy standardową krzywą łańcuchową.
D2. (U3) Wyznacz szereg T i wielomian w Maclaurina stopnia 3 dla funkcji y = f(x), gdzie f(x) = ln(1 + x), i sporządź, na jednym rysunku, wykresy tej funkcji i tego wielomianu.
D3. Oblicz
.
D4. (s) Sprawdź, czy są do siebie podobne macierze A :=
i B :=
.
D5. Uzyskaj rozwiązanie y = y(x) równania y'' + y = 0 takie, że y(0) = 1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
E1. (Z4) Z materiału o ciężarze właściwym ρ wykonana została płaska płytka o pomijalnej grubości, szerokości 7 cm i długości 30 cm. Oblicz jej moment bezwładności względem dłuższego boku.
D2. Przedstaw zagadnienie oziębiania newtonowskiego i jego rozwiązanie.
E3. Podaj dwa różne określenia hiperboli i jej równania.
E4. (≈A5,s) Oblicz kąt α, jaki tworzą ze sobą proste U i V, gdzie U : x = t, y = 2t, z = t;
V : x = 3, y = 3+t, z = t.
E5. (s) Napisz tabelkę Cayleya na mnożenie pierwiastków 4-tego stopnia z 1 i pokaż, że zbiór tych pierwiastków wraz z mnożeniem stanowi grupę.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
F1. (U6) Wyznacz rozwiązanie y = y(x) równania y''- y = 0 takie, że y(0) = 1.
F2. (B5,s) Wyznacz punkt Q, w którym płaszczyznę Oxy przebija prosta przechodząca przez punkt P = (4, 5, 6) i prostopadła do płaszczyzny x - y + z - 1 = 0.
F3. (s) Rozwiąż ural A⋅x = b, gdy A :=
, b :=
.
F4. Oblicz powierzchnię, jaką ograniczają półprosta θ = π i łuk o równaniu θ2 - r2 = 1, gdy r, θ są współrzędnymi biegunowymi ( r ≥ 0, -π < θ ≤ π).
F5. (s) Wyznacz wartości i wektory własne macierzy obrotu płaskiego o 30°. Otrzymany wynik zinterpretuj w terminach kierunków własnych/głównych obrotu. .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------