1.ZAGADNIENIA TEORETYCZNE

Pole magnetyczne charakteryzowane jest wielkością wektorową B - zwaną indukcją magnetyczną.

Pojęcie indukcji magnetycznej wprowadza się na podstawie związku

B = μμ₀H, gdzie μ ( wielkość bezwymiarowa ) podaje względną przenikalność magnetyczną danego ciała, w którym pole magnetyczne to H; jednostka ta jest pochodną innych jednostek magnetycznych.

Współcześnie wprowadzamy indukcję magnetyczną jako pierwszy wektor magnetyczny, tzn. inne jednostki magnetyczne są pochodną tej wielkości.

Pojęcie indukcji magnetycznej wprowadzamy na podstawie wzoru

F = q(v * B), a więc wartości siły F wywieranej na ładunek q poruszający się z prędkością v przez indukcję magnetyczną B.

Legalna jednostka indukcji magnetycznej B w układzie jednostek SI (T -tesla) jest oparta na jeszcze innym wzorze, związanym ze zjawiskiem przepływu strumienia wektora indukcji magnetycznej przez powierzchnię przekroju s: φ=Bs.

Za jednostkę indukcji pola magnetycznego przyjmujemy indukcję magnetyczną pola magnetycznego jednorodnego, przy której na przekrój poprzeczny jednego metra kwadratowego przypada strumień magnetyczny jednego webera.

Efekt Halla

Załóżmy, że nośnikami prądu są elektrony ( założenie słuszne dla metali i półprzewodników typu n ). Jeżeli do punktów C i D przyłożymy napięcie, to w razie braku pola magnetycznego przez próbkę będzie płynąć prąd o natężeniu I. Wytworzone w próbce pole elektryczne E_X będzie skierowane zgodnie z kierunkiem płynącego prądu, natomiast elektrony poruszać się będą w kierunku przeciwnym polu,z prędkością v_X .

Gęstość prądu płynącego przez płytkę jest określona wzorem : j = env_X. Natężenie prądu I można określić jako iloczyn gęstości prądu j i powierzchni s prostopadłej do kierunku prądu , zatem : I = env_Xad .

W obecności pola magnetycznego o indukcji B, na elektrony poruszające się w tym polu z prędkością v_X, działa siła Lorentza : F_L = -e ( v_X * B ) .

Tak więc każdy elektron w płytce, poruszający się z prędkością v_X , zostaje odchylony od swego początkowego kierunku ruchu zgodnie z powyższym wzorem. Wskutek zmiany torów elektrony gromadzą się na jednej krawędzi płytki, natomiast na drugiej wytwarza się niedobór elektronów. Dzięki temu powstaje dodatkowe pole elektryczne o wartości: E_Y = U_H/a .

Proces gromadzenia się ładunków trwa tak długo, aż powstałe poprzeczne pole elektryczne E_Y , działające na elektrony siłą: F_Y = -eE_Y ,zrównoważy siłę Lorentza. Dla warunków równowagi możemy napisać: F_Y = F_L .

Następnie korzystając z powyższych zależności możemy napisać: U_H= γIB , gdzie: γ=1/(e^.n^.d) , n-koncentracja elektronów , 1/en -stała Halla;

Mierząc natężenie prądu I płynącego przez płytkę, napięcie Halla U_H oraz znając współczynnik γ , można wyznaczyć indukcję magnetyczną B.

Urządzenie służące do wyznaczania indukcji magnetycznej nazywa się hallotronem , współczynnik γ zaś nazywamy czułością hallotronu.

Fluksometr - galwanometr pełzny

Jedną z metod pomiaru pola magnetycznego jest metoda , w której w badanym polu umieszczamy cewkę pomiarową C_s,zwaną sondą bądź czujnikiem,połączoną z galwanometrem specjalnego typu (np.fluksometrem). W cewce pomiarowej pod wpływem zmiany strumienia magnetycznego powstaje impuls prądu indukcyjnego, powodujący wychylenie galwanometru. Owo wychylenie proporcjonalne jest do ładunku, który przepłynął przez uzwojenie cewki (ramki) galwanometru.

2. POMIARY

(Pomiar indukcji magnetycznej za pomocą fluskometru)

Schemat układu pomiarowego

Zastosowana przez nas metoda pomiarowa polega na wykorzystaniu fluskometru do pomiaru strumienia magnetycznego. Znając wartość tego strumienia i pole powierzchni przez które przepływa, bez trudu będziemy mogli wyznaczyć indukcję magnetyczną B ( φ_m = ∫Bds ). Problem sprowadza się zatem do sposobu pomiaru strumienia magnetycznego φ.

Jak wyżej wspomniałam, pomiar strumienia magnetycznego realizowany jest przez przyrząd zwany fluskometrem ( galwanometrem bez momentu zwrotnego),a wartość indukcji magnetycznej określona jest wzorem:

B = φ/s^.n

gdzie:

φ- wartość strumienia magnetycznego odczytana na fluskometrze (jest to wartość maksymalna jaką obserwujemy zaraz po włączeniu zasilania);

s- pole powierzchni przez, którą przepływa strumień magnetyczny φ ( wartość ta podana jest w instrukcji do ćwiczenia s = 4.70*0.04^. 10^-4 m² )

n- liczba zwojów cewki (sondy) podana w instrukcji do ćwiczenia n = 40*0.5

błąd dB

Błąd z jakim wyznaczamy indukcję magnetyczną obliczamy metodą różniczki logarytmicznej:

dB = ( dφ/φ + dn/n + ds/s )^.B

Błąd dφ,dI ustalamy na podstawie klasy przyrządu. W ćwiczeniu dysponowaliśmy przyrządami kl. 0,5. Błędy ustalone na tej podstawie wynoszą pół elementarnej działki i znajdują się w tabeli wyników.

I [A]	dI [A]	φ 10^-3[Wb]	dφ 10^-3 [Wb]	B 10^3 [T]	dB 10^3 [T]
0.50	0.05	1.25	0.05	53.1	3,7
1.00	0.05	2.40	0.05	117.0	5.1
1.50	0.05	3.50	0.05	180.8	6.4
2.00	0.05	4.70	0.05	239.3	5.8
2.50	0.05	5.70	0.05	292.5	8.8
3.00	0.05	6.75	0.05	340.4	8.6
3.50	0.05	7.35	0.05	382.9	9.5
4.00	0.05	8.05	0.05	414.8	11.4
4.00	0.05	8.00	0.05	420.2	11.4
3.50	0.05	7.35	0.05	382.9	10.6
3.00	0.05	6.55	0.05	340.4	8.6
2.50	0.05	5.65	0.05	292.5	8.8
2.00	0.05	4.75	0.05	234.1	7.5
1.50	0.05	3.55	0.05	175.5	6,3
1.00	0.05	2.40	0.05	111.7	5.0
0.50	0.05	1.30	0.05	42.5	3,5

B = (1^.10^-3Wb)/(40 ^. 4.7^.10^-4m²) = 117.02*10³ T

dB = ( 0.05/1 + 0.5/40 + 0.04/4.7 )^. 117.02^.10³ T = 3.7^.10³ T

(wykres zależności B od I znajduje się na osobnej kartce milimetrowej - na wykresie znajdują się uśrednione wartości B i I dla pomiarów wykonanych w dwie strony)

(Badanie efektu Hala)

schemat układu pomiarowego

pomiary przy ustalonej indukcji magnetycznej B = 0.5 [T] (ε = 2%)

I 10^-3[A]	UH [V]	γ [V/A^.T]	dγ [V/A^.T]
1.0	0.0530	10.54	0.21
1.5	0.0814	11.22	0.22
2.0	0.1117	11.23	0.22
2.5	0.1363	11.36	0.22
3.0	0.1572	11.20	0.22
3.5	0.1819	11.40	0.22
4.0	0.2016	11.25	0.22
4.5	0.2169	11.27	0.22
5.0	0.2329	11.28	0.22

I- natężenie prądu płynącego przez płytkę hallotronu;

U_H- obserwowane napięcie Halla;

γ- tzw. czułość hallotronu: γ = 1/(e^.n^.d) ( w ćwiczeniu wyznaczamy czułość hallotronu γ korzystając ze wzoru: γ = U_H/(I *B) [γ] = V/(A^.T) )

błędy:

dI- błąd ten ustalamy na podstawie klasy przyrządu dI = 0.05 ^. 10^-3 [A]; dla wszystkich pomiarów natężenia I jest on taki sam, ponieważ poruszaliśmy się po jednym zakresie przyrządu.

dU_H- według instrukcji do ćwiczenia przyjmujemy: dU_H = (0.001%U_max+0.05%)U_H na tej podstawie błąd dU_H < 10^-4 V we wszystkich pomiarach.

dγ- błąd stałej hallotronu wyznaczamy metodą różniczki logarytmicznej:

dγ = (dU_H/U_H + dI/I + dB/B)^.γ

Biorąc pod uwagę wielkości wkładów do błędu dγ każdej z mierzonych wielkości widzimy, że wkład do błędu dγ wielkości U_H jest o dwa rzędy wielkości mniejszy od pozostałych dlatego w ostateczności :

dγ = (dI/I + dB/B)^.γ

gdzie: dB/B = 2% przyjęte na podstawie instrukcji do ćwiczenia;

Wykres zależności napięcia Halla (U_H) od natężenia prądu sterującego hallotron znajduje się na osobnej kartce milimetrowej.

pomiary przy ustalonym natężeniu prądu płynącego w płytce I = (5.00*0.05)^. 10^-3 [A]

B [T]	UH [V]	γ [V/A^.T]	dγ [V/A^.T]
0.034	0.0179	10.52	0.22
0.100	0.0511	10.22	0.22
0.170	0.0856	10.07	0.22
0.246	0.1225	9.96	0.22
0.300	0.1559	10.25	0.22
0.370	0.1929	10.37	0.22
0.400	0.2075	10.22	0.22
0.470	0.2409	10.21	0.22
0.500	0.2581	10.22	0.22

Objaśnienia wielkości występujących w tabelce i błędów tak jak wyżej.

Wykres zależności napięcia Halla (U_H) od indukcji magnetycznej B znajduje się na osobnej kartce milimetrowej.

Na podstawie otrzymanych wykresów możemy stwierdzić, że napięcie Halla (U_H) jest wprost proporcjonalne do indukcji magnetycznej B i natężenia prądu I . Stałą hallotronu γ możemy zinterpretować jako współczynnik tej proporcjalności i ustalić jego średnią wartość.

γ [V/A^.T]	dγ [V/A^.T]
10.54	0.17
11.22	0.51
11.23	0.52
11.36	0.65
11.20	0.49
11.40	0.69
11.25	0.54
11.27	0.56
11.28	0.57
10.52	0.19
10.22	0.49
10.07	0.64
9.96	0.75
10.25	0.46
10.37	0.34
10.22	0.49
10.21	0.50
10.22	0.49
10.71	0.50

Zatem średnia wartość stałej hallotronu γ = 10.71*0.50[V/A^.T]

koncentracja elektronów swobodnych

Koncentrację elektronów swobodnych w płytce wyznaczamy korzystając z wcześniej podanego wzoru:

n = 1/(e^.γ^.d)

(na podstawie instrukcji przyjmujemy: e = 1.602 ^. 10^-19 C ;

d = 10^-4 m (grubość płytki);

ε_d = 5% );

[n] = 1/(C^.(V/A^.T)^.m) = 1/(A^.s^.(V/(A^.V/s^.m²)^.m) = 1/m³

n = 1/( 1.602^.10^{-19 .} 113 ^. 10^-4) = 1.71^. 10²⁰ [1/m³]

Błąd wyznaczamy korzystając z metody różniczki logarytmicznej :

dn = (de/e + dγ/γ + dd/d)^.n

ale wartość elementarnego ładunku e możemy odczytać z taką dokładnością,żeostatecznie:

dn = (dγ/γ + dd/d)^.n

dn = (8/113 + 0.05)^.5.53 ^. 10²⁰ = 0.16 ^. 10²⁰ [1/m³]

Otrzymaliśmy: n = 1.71*0.16 ^. 10²⁰ (ε =9%)

3. WNIOSKI I UWAGI

(Pomiar indukcji magnetycznej za pomocą fluskometru)

Na podstawie otrzymanego wykresu B = f(I) możemy powiedzieć, że indukcja magnetyczna na badanym przedziale zmian prądu płynącego w uzwojeniu cewki zależy wprost proporcjonalnie od tego prądu. Zaobserwowane zjawisko potwierdza prawo Biota-Sawarta B = μ₀I/4π ∫(dl*r)/r² .

(Badanie efektu Hala)

Dyskusja doboru przyrządów i zakresów pomiarowych:

1) Woltomierz mierzący napięcie Hala daje możliwość odczytania napięcia z dokładnością rzędu dziesiątych części procenta.

2) Amperomierz mierzący natężenie prądu płynącego przez uzwojenie cewki plus charakterystyka B = f(I) dla tej cewki daje możliwość ustalenia indukcji magnetycznej z dokładnością do 2%.

3) Amperomierz mierzący natężenie prądu płynącego przez płytkę halotronu daje możliwość odczytania natężenia I z dokładnością rzędu kilku procent.

Na podstawie przytoczonych powyżej danych możemy powiedzieć, że przy tak dobranych przyrządach i zakresach pomiarowych tych przyrządów największy wkład do błędu γ ma pomiar natężenia prądu I płynącego przez płytkę halotronu i pomiar indukcji magnetycznej B. Te dwa pomiary decydują, że wyznaczana przez nas stała γ ma błąd względny rzędu ε_γ = 5%

Interpretacja wyników

Podczas ćwiczenia mieliśmy możliwość zaobserwowania efektu Hala i sprawdzenia teorii, która tłumaczy to zjawisko. W oparciu o tę teorię otrzymaliśmy, że powstałe napięcie Hala wyraża się wzorem: U_H = γ^.I^.B gdzie γ- tzw. stała hallotronu.

Wartość współczynnika γ=1/(e^.n^.d) zależy od wartości ładunku e koncentracji elektronów n grubości płytki d, czyli trzech wielkości, które się nie zmieniają podczas pomiarów. Na tej postawie twierdzimy, że γ powinno być stałe dla całego zakresu zmian I^.B, po którym się poruszamy w doświadczeniu. Otrzymane wyniki potwierdzają te przewidywania γ w granicach błędu z jakim je wyznaczyliśmy jest takie samo dla wszystkich pomiarów co jest dowodem słuszności teorii opisującej efekt Hala.

Wartość współczynnika γ możemy jeszcze zinterpretować jako tangens nachylenia otrzymanych krzywych ( przy czym argumentem będzie już iloczyn natężenia prądu i indukcji magnetycznej I^.B czyli będziemy mieli funkcje U_H = f(I^.B) ).

Wyznaczona przez nas koncentracja elektronów swobodnych n = (1.71*0.16)^.10²⁰ [1/m³] daje nam możliwość ustalenia właściwości elektrycznych metalu z którego wykonana jest płytka hallotronu. I tak dla miedzi i srebra n jest rzędu 10²⁸ elektronów na metr sześcienny. Porównując koncentrację elektronów swobodnych w naszej płytce hallotronu z koncentracją elektronów swobodnych w miedzi widzimy, że różnią się między sobą o osiem rzędów wielkości. Na tej podstawie możemy stwierdzić, że właściwości elektryczne (np. przewodność) naszej płytki będzie gorsza niż płytki miedzianej. Ale napięcie Halla w płytce miedzianej przy takiej samej indukcji magnetycznej B i takim samym prądzie I będzie o osiem rzędów wielkości mniejsze niż miało by to miejsce w przypadku naszej płytki(badanie tego rodzaju płytki w warunkach naszego laboratorium uniemożliwiłoby nam zaobserwowanie-zarejstrowanie-powstałego napięcia).Z wyżej wysuniętych rozważań można wysunąć wniosek, że badana płytka należy do grupy półprzewodników.

JAROSłAW MYSLIWIEC RAFAł KIERYS

PPT/FIZ/II ROK PPT/FIZ/II ROK

NR 76260 NR 76197

SPRAWOZDANIE

Z

CWICZEŃ

56 ORAZ 57

BADANIE EFEKTU HALLA

POMIAR INDUKCJI MAGNETYCZNEJ

ZA POMOCA FLUKSOMETRU

---