[29] Przemieszczenie i obrót ciała sztywnego (podstawowe twierdzenia)

Opiszmy teraz ruch ciała sztywnego w postaci macierzowej przy użyciu współrzędnych pokazanych na rys. 6.9.

Rys. 6.9. Układy współrzędnych i wektory opisujące położenie punktu A ciała sztywnego

Punkt 0 jest biegunem dowolnie wybranym rozważanego ciała sztywnego. Układ 0X₁X₂X₃ otrzymuje się przez przesuniecie równoległe układu absolutnego (nieruchomego) 0_iX₁X₂X₃ do punktu 0. Układ 0x₁x₂x₃ jest sztywno związany z poruszającym się ciałem sztywnym. Wektor
opisuje położenie punktu A we współrzędnych 0x₁x₂x₃. Ten sam wektor może być wyrażony we współrzędnych 0_iX₁X₂X₃ poprzez
, gdzie macierz A jest macierzą przejścia od 0x₁x₂x₃ do 0XYZ. Położenie punktu A we współrzędnych absolutnych ma postać

gdzie

Ruch kulisty ciała sztywnego może być opisany poprzez przekształcenie ortogonalne
, przy czym
(wartość
nie może być otrzymana, bo w chwili początkowej było
).

Twierdzenie 6.1 (Eulera)

Dowolne przemieszczenie ciała sztywnego z nieruchomym jednym punktem może być zrealizowane poprzez obrót wokół pewnej osi przechodzącej przez ten punkt.

Twierdzenie 6.2

Najbardziej złożone przemieszczenie ciała sztywnego można rozłożyć na przemieszczenie translacyjne (translacji podlega dowolnie wybrany biegun od swego położenia początkowego do końcowego) oraz obrót wokół pewnej osi przechodzącej przez biegun. Kierunek i długość translacji będą zmieniać się z wyborem bieguna, ale kierunek osi obrotu i kąt obrotu nie będą zależeć od wyboru bieguna.

Twierdzenie 6.3

Najbardziej ogólne przemieszczenie ciała sztywnego jest przemieszczeniem śrubowym.

Z powyższego twierdzenia wynika następujące

Twierdzenie 6.3

Najbardziej ogólne przemieszczenie figury płaskiej w jej płaszczyźnie może być zrealizowane poprzez translację lub obrót wokół pewnego punktu, zwanego środkiem obrotu.

---