Zmienna losowa dyskretna

Zad. 1 Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa określona tabelą

xi	-1	0	2
pi	1/2	1/6	1/3

1. Wyznaczyć i wykreślić dystrybuantę.

2. Obliczyć P(X ≥ 1).

Zad. 2

Między niezależnymi zmiennymi losowymi X, Y, Z zachodzi wiązek Z = 2X - 3Y. Zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną 4 i wariancję 3. Zmienna losowa Y ma wartość oczekiwaną 5 i wariancję 1. Ile wynosi wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Z?

Zad. 3 W hali produkcyjnej pracują 4 obrabiarki. Prawdopodobieństwo zepsucia się każdej z nich jest równe 1/5. Awarie maszyn są od siebie niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo awarii:

1. jednej maszyny,

2. wszystkich 4 maszyn

3. co najwyżej 3 maszyn

Zad 4. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy i znane jest prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu w 4 próbach: P(X ≥ 1) = 80/81. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu w jednej próbie?

Zad 5. Jeden procent samochodów ma niesprawne tylne światła. Ile samochodów należy zbadać, aby prawdopodobieństwo znalezienia przynajmniej jednego z niesprawnymi tylnymi światłami wynosiło przynajmniej ½?

Zad. 6 Materiał radioaktywny emituje cząstki α w ilości 0,7 na sekundę. Zakładamy, że cząstki są emitowane zgodnie z rozkładem Poissona.

1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu 1 sek zostanie wyemitowana jedna cząstka.

2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu 1 sek zostaną wyemitowane więcej niż 3 cząstki.

3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba wyemitowanych w ciągu 1 sek cząstek będzie między 1 i 4.

Zad. 7 Średnia liczba cząstek przechodzących radioaktywnych przechodzących przez licznik w ciągu 1 milisekundy wynosi 4.

1. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że 6 cząsteczek przejdzie przez licznik w ciągu 1 milisekundy?

2. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że 12 cząstek przejdzie przez licznik w ciągu 2 milisekund?

Zad. 8 Towarzystwo ubezpieczeniowe ubezpieczyło od nieszczęśliwych wypadków 50 tys osób. Prawdopodobieństwo, że ubezpieczony w ciągu roku ulegnie wypadkowi powodującemu wypłacenie odszkodowania wynosi 0,00001. Zakładając, że ubezpieczeni ulegają wypadkowi niezależnie od siebie obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu roku towarzystwo wypłaci:

1. 4 odszkodowania,

2. co najwyżej 5 odszkodowań.

Wskazówka

Jeśli n jest duże i p małe (n ≥ 50, p ≤ 0,1) to

---