Wydział: Mechaniczno-Technologiczny Dzień: Wtorek

Kierunek: MiBM (dzienne) Godzina: 16.00

Grupa dziekańska: 5

Semestr: 2

Laboratorium Mechaniki Ogólnej

Ćwiczenie: C.

Pełny temat ćwiczenia wg. Wykazu tematów.

Pomiar momentu bezwładności brył sztywnych za pomocą wahadła skrętnego.

Sekcja nr. 5:

1. Śliwiak Paweł

2. Omozik Paweł

1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest zbadanie elipsoidy bezwładności bryły sztywnej za pomocą wahadła skrętnego.

2. Wstęp

Bryłą sztywną nazywamy ciała stałe, które nie deformują się pod wpływem sił zewnętrznych. Przy odpowiednio małych wartościach działających sił, każde ciało stałe może być bryłą sztywną, choć w rzeczywistości takie nie istnieje. W związku z tym dzielimy ciało sztywne o masie M na „n” małych sześcianików o masach ∆m_i ; i = 1,2,3…n.

Otrzymujemy w ten sposób sztywny układ punktów materialnych, którego moment bezwładności wynosi I = Σ Δm_i r_i²

Pojęciem elipsoidy bezwładności wprowadza się celem scharakteryzowania rozkładu momentów bezwładności dla dowolnych osi przechodzących przez środek masy ciała. Elipsoida bezwładności jest powierzchnią, której dowolny punkt jest końcem odcinka poprowadzonego ze środka masy ciała, a którego długość jest równa

OB. = 1/√ I_n

gdzie: I_n - jest momentem bezwładności danej bryły względem osi pokrywającej się z tym odcinkiem.

W ogólnym przypadku dla dowolnie usytuowanego układu współrzędnych równanie takiej elipsoidy ma postać: I_xxx² + I_yyy² + I_zzz² - 2I_xyxy - 2I_xzxz -2I_yzyz = 1

Za pomocą równania elipsoidy bezwładności można znaleźć moment bezwładności względem dowolnej osi, jeśli tylko są znane główne momenty bezwładności. W przypadku gdy oś obrotu nie przechodzi przez środek masy ciała, stosujemy twierdzenie Steinera: I = I_o + md²

gdzie: I_o - moment bezwładności dla osi przechodzącej przez środek masy ciała

d - przesunięcie miedzy daną osią, a osią środkową

m - masa ciała

3. Zasada pomiaru

Przedmiotem badań jest stalowy prostopadłościan.

Aby wyznaczyć jego moment bezwładności stosujemy wahadło skrętne, którego okres drgań wynosi: T_A = 2Π√[(l_o + l_a) / k ]

gdzie: I_o = moment bezwładności samej ramki

I_a = moment bezwładności bryły prostopadłościennej względem określonej osi

k = współczynnik sztywności skrętnej drutu

4. Schemat układu oraz przebieg ćwiczenia.

1. Mierzymy długość krawędzi prostopadłościanu.

2. Mierzymy czas 10-ciu okresów drgań wahadła z pustą ramką.

3. Badany prostopadłościan zamocowujemy w ramce wahadła i mierzymy czas 10 okresów. Pomiary wykonujemy kolejno dla ustawienia bryły zgodnie z trzema głównymi osiami bezwładności.

4. Podobne pomiary wykonujemy dla innych osi obrotu.

Po otrzymaniu pomiarów rysujemy elipsoidę bezwładności badanego prostopadłościanu. Przekroje elipsoidy w płaszczyznach 0xy, 0xz, 0yz konstruuje się w następujący sposób. Najpierw mierzymy okres drgań pustej ramki To. Następnie na rysunku, wzdłuż kierunku każdej z osi obrotu, odkładamy odcinek Ri proporcjonalny do 1/√Ti² - To², gdzie Ti to okres drgań ramki z badanym ciałem wokół tej osi obrotu. Łączymy ciągłą linią otrzymane punkty.

Wnioski:

Rysunek został wykonany przez proporcje przyjmowane w zależności od Rx Ry Rz , gdzie Rx wynosi na rysunku 2cm, Ry - 3cm, Rz- 5cm.

Badany prostopadłościan posiadał siedem osi symetrii. Uzyskane różnice wynikach świadczą o tym, że moment bezwładności bryły jest uzależniony od wyboru osi dla której wyznaczymy wartość tego momentu. Momenty bezwładności uzyskuje się eksperymentalnie. Wartości z wykorzystania równania elipsoidy bezwładności świadczą o tym ,że metoda ta w dużym stopniu pozwala wyznaczyć moment bezwładności bryły dla dowolnej osi obrotu.

2

---