1. Wstęp

Celem doświadczenia jest wyznaczenie wartości ładunku właściwego elektronu, czyli stosunku ładunku elektronu do jego masy spoczynkowej.

Ładunek właściwy elektronu możemy wyznaczyć między innymi na podstawie badań parametrów ruchu elektronu w polach magnetycznym i elektrycznym. W doświadczeniu trzeba zogniskować rozbieżną wiązkę elektronów za pomocą jednorodnego pola magnetycznego, równoległego do osi lampy oscyloskopowej - podłużnego pola magnetycznego.

2. Układ pomiarowy i przebieg wykonania ćwiczenia

Schemat układu pomiarowego przedstawiono na rys.1. Elektrony emitowane przez rozżarzoną katodę są przyspieszane przez oddziaływanie elektrostatyczne zespołu anod i uformowane w wiązkę przez ujemnie naładowaną elektrodę zwaną cylindrem Wehnelta (W). Wiązka ta następnie przechodzi przez zespół płytek odchylania pionowego (na który podawany jest przemienny sygnał) równolegle do ich powierzchni i ostatecznie trafia w pokryty luminoforem ekran.

rys.1. Schemat aparatury pomiarowej użytej w doświadczeniu.

Na odchyloną wiązkę działa siła Lorentza (1).

(1)

Prędkość elektronów v można rozłożyć na dwie składowe: prostopadłą v_n oraz równoległą v_t do kierunku ruchu elektronu co ilustruje rys.2.

rys.2. Prędkość v elektronu opuszczającego płytki odchylania pionowego rozłożona na składowe v_n i v_t. Zaznaczono dodatkowo wektor indukcji pola magnetycznego B.

Na składową równoległą do pola magnetycznego nie działa siła Lorentza, natomiast
dla składowej prostopadłej nasz wzór (1) możemy zapisać skalarnie (ze względu
na prostopadłość wektorów B i v_n) w postaci wzoru (2).

(2)

gdzie e oznacza ładunek elementarny. Ponieważ v_n zawsze pozostaje prostopadła
do B, więc elektron zakreśla okrąg o promieniu r. By zachodził ruch po okręgu siła Lorentza musi być równa sile dośrodkowej. Z równości sił wyprowadzamy wzór (3)
na promień r.

(3)

Mając promień okręgu r po którym porusza się elektron, możemy wyprowadzić wzór na okres obiegu elektronu T po tym okręgu (4) (korzystając ze wzoru (3)).

(4)

Okres obiegu elektronu po tym okręgu nie zależy od prędkości v_n i promienia r i jest taki sam dla tej samej wartości indukcji pola magnetycznego B.

Składowa równoległa v_t jest wytwarzana przez pole elektryczne (przy różnicy potencjałów U). Z równości energii pola i energii kinetycznej jaką uzyskują elektrony po jego opuszczeniu otrzymujemy wzór (5).

(5)

Zakładając, że między wyjściem z pola elektrycznego i ekranem lampy elektron przebywa odległość l, możemy wyznaczyć czas przelotu elektronów t (6).

(6)

Elektrony wychodzą z jednego punktu, przechodzą przez zespół odchylających płytek i zaczynają zataczać okręgi o różnych promieniach (w zależności od podawanego
na płytki odchylające sygnału) rys.3.

rys.3. Okręgi zataczane przez elektrony opuszczające płytki odchylania poziomego (widok z przodu - od strony ekranu).

Do ekranu elektrony docierają w tej samej fazie ruchu po okręgu zatem tworzą obraz odcinka (cięciwy okręgu). Dobierając odpowiednio wartość indukcji B, tak by czas przelotu elektronu t był równy wielokrotności okresu obiegu nT (gdzie n - liczba naturalna) dokonujemy zogniskowania wiązki (tzn. elektrony padają w ten sam punkt ekranu - każdy zatacza całkowitą liczbę okręgów). Z warunku, że t=nT i podstawiając wzory (4) i (6) otrzymujemy wzór (7) wyprowadzając szukaną wartość e/m.

(7)

Pojedynczy pomiar może nieść ze sobą zbyt dużą niedokładność. Dokonujemy zatem serii pomiarów dla różnych wartości napięcia anodowego U. Przekształcając wzór (7) dostajemy zależność (8).

(8)

Jest to zależność liniowa. Współczynnik kierunkowy prostej α opisanej tym wzorem jest równy (9).

(9)

Wyznaczając α możemy wyznaczyć szukaną wartość e/m ze wzoru (10).

(10)

Pomiar przebiega następująco: ustawiamy napięcie anodowe pokrętłem 4 na wartość 350 V. Obracając powoli pokrętłem zasilacza zwojnicy doprowadzamy
do zogniskowania wiązki (odczyty dokonujemy dla 2,3 zogniskowań). Odczytujemy wartość natężenia prądu I oraz notujemy w tabeli wartości napięcia anodowego
U i natężenia prądu zwojnicy. Zmniejszamy do zera wartość prądu zwojnicy. Zmieniamy napięcie anodowe U. Pomiary powtarzamy dla co najmniej 20 różnych wartości napięcia obejmując zakres od 350 V do 700 V.

3. Tabele z wartościami wielkości zmierzonych w trakcie eksperymentu

Tabela 1. Wartości wielkości zmierzonych w eksperymencie.

U[V]	I[A] (zogniskowania)			B[T] (zogniskowania)
		1	2	3	1	2	3
350	0,62	1,50	1,83	0,0055	0,0133	0,0163
365	0,64	1,51	1,90	0,0057	0,0134	0,0169
380	0,65	1,55	1,91	0,0058	0,0138	0,0170
395	0,66	1,57	1,98	0,0059	0,0140	0,0176
410	0,68	1,61	1,98	0,0060	0,0143	0,0176
425	0,67	1,67	2,01	0,0060	0,0149	0,0179
440	0,72	1,68	2,03	0,0064	0,0149	0,0181
455	0,71	1,71	2,08	0,0063	0,0152	0,0185
470	0,72	1,71	2,09	0,0064	0,0152	0,0186
485	0,75	1,76	2,19	0,0067	0,0157	0,0195
500	0,76	1,79	2,19	0,0068	0,0159	0,0195
515	0,78	1,86	2,24	0,0069	0,0165	0,0199
530	0,78	1,85	2,28	0,0069	0,0165	0,0203
545	0,80	1,87	2,32	0,0071	0,0166	0,0206
560	0,80	1,90	2,31	0,0071	0,0169	0,0205
575	0,81	1,93	2,35	0,0072	0,0172	0,0209
590	0,83	1,96	2,41	0,0074	0,0174	0,0214
605	0,85	1,99	2,45	0,0076	0,0177	0,0218
620	0,85	1,98	2,46	0,0076	0,0176	0,0219
635	0,86	2,04	2,48	0,0076	0,0181	0,0221
650	0,87	2,08	2,49	0,0077	0,0185	0,0221
665	0,89	2,06	2,59	0,0079	0,0183	0,0230
680	0,91	2,11	2,60	0,0081	0,0188	0,0231
700	0,91	2,15	2,58	0,0081	0,0191	0,0229

4. Opracowanie wyników

W Tabeli 1 zestawiono wartości zmierzonych dla poszczególnych napięć natężeń prądów dla kolejnych zogniskowań wiązki elektronów. Wartość indukcji pola magnetycznego B policzono zgodnie ze wzorem zamieszczonym w instrukcji (11).

(11)

gdzie: µ=1 - przenikalność magnetyczna ośrodka wewnątrz zwojnicy - powietrza, μ₀=4π·10^-7 - przenikalność magnetyczna próżni, I - natężenie prądu w zwojnicy, N=2215 - całkowita liczba zwojów zwojnicy, R=0,04 m - promień wewnętrzny zwojnicy, h=0,009 m - grubość warstwy zwojów, d=0,3 m - długość zwojnicy.

Zależność (8) to liniowa funkcja postaci y=αx+β, gdzie wartości y odpowiadają napięciom U, argumenty x odpowiadają kwadratowi indukcji pola magnetycznego
B², współczynnik α opisany jest wzorem (9), a współczynnik β powinien wyjść bliski
0. Zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów współczynniki α i β wyznaczymy
ze wzorów (12), (13) i (14).

(12)

(13)

(14)

gdzie n oznacza liczbę pomiarów. Oczywiście za wartości przyjmujemy serie kwadratów indukcji z poszczególnych zogniskowań. Dostaniemy w ten sposób
3 wyniki. Po obliczeniu współczynników α i β obliczamy szukaną wartość
e/m korzystając ze wzoru (10). Wyniki tych obliczeń przedstawiono w Tabeli
2. Oczywiście do (10) dla pierwszego zogniskowania wstawiamy n=1, dla drugiego n=2, a dla trzeciego n=3.

Tabela 2. Współczynniki α, β oraz szukane wartości e/m

Seria	α [V/T^2]	β [V]	e/m [C/kg]
1	9722512	58	1,48·10^11
2	1851256	28	1,13·10^11
3	1254374	19	1,72·10^11

5. Rachunek błędów

Zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów możemy oszacować niepewności wyznaczenia współczynników α i β. Korzystamy ze wzorów (15), (16) i (17).

(15)

(16)

(17)

Następnie metodą różniczki zupełnej możemy wyznaczyć niepewność wyznaczenia szukanej wartości e/m zgodnie ze wzorem (18).

(18)

Obliczone niepewności pomiarów zamieszczono w Tabeli 3.

Tabela 3. Wyznaczone wartości niepewności Δα, Δβ i Δ(e/m)

Seria	Δα [V/T^2]	Δβ [V]	Δ(e/m) [C/kg]
1	186356	9	0,11·10^11
2	31057	8	0,08·10^11
3	26639	10	0,09·10^11

Poniżej zamieszczono wykres (wykres 1) zależności napięcia U od kwadratu indukcji pola magnetycznego B. Naniesiono punkty pomiarowe oraz proste o współczynnikach uzyskanych metodą najmniejszych kwadratów i niepewności, a także współczynniki determinacji obliczone ze wzoru (19).

(19)

wykres.1. Wykresy funkcji U(B2). Na wspólnym wykresie naniesiono dane dla wszystkich trzech serii, dla wszystkich trzech zogniskowań.

6. Zapis końcowy

Wyznaczone w ćwiczeniu wartości ładunku właściwego elektronu e/m dla poszczególnych serii zogniskowań wynoszą:

Biorąc tablicowe wartości ładunku i masy elektronu: e=1,602191·10^-19 C, m=9,109558·10^-31 kg wartość ładunku właściwego wynosi: e/m=175880212848 C/kg.

7. Wnioski

Niepewności względne wyznaczenia wartości ładunku właściwego e/m, dla poszczególnych serii zogniskowań wynoszą odpowiednio: 7%, 7% i 5%. Jak
na warunki pracowni są to akceptowalne wartości.

Najbardziej dokładnym wynikiem jest wartość uzyskana dla 3 serii pomiarowej
(dla 3-go zogniskowania). Jest ona również najbardziej zbliżoną do wartości tablicowej. To trochę paradoksalne, gdyż ustalenie natężenia odpowiadającemu zogniskowaniu wiązki najtrudniejsze było właśnie w tym przypadku. Ta trudność paradoksalnie stała się przyczyną precyzji pomiaru - znacznie więcej czasu zajmowało ustalenie wskazania miernika i odczyt. W przypadku pozostałych dwóch pomiarów odczyty były dokonywane szybciej. Być może, ze względu na pewną bezwładność każdego miernika, zbyt szybko co stało się przyczyną rozbieżności między wartością tablicową a wartością wyznaczoną.

Pomiar można by poprawić wykonując ćwiczenie w całkowicie zaciemnionym pomieszczeniu (umożliwiłoby to precyzyjniejsze obserwacje) i wykonując więcej pomiarów np. nie co 5 V, ale co 2,5 V. Można by również stosować czulsze mierniki.

8. Literatura

1. Pracownia Fizyczna, Henryk Szydłowski, PWN, Warszawa 1989, str. 272-274.

2. Tablice matematyczne fizyczne chemiczne astronomiczne, T. Szymczyk,
   S. Rabiej, A. Pielesz, J. Desselberger, PPU „Park”, Bielsko-Biała 2001,
   str. 171-172.

1. Wstęp do Analizy Błędu Pomiarowego, John R. Taylor, PWN, Warszawa 1995, str.172-182, 199-203.

2

---