Zadania z egzaminu z matematyki dn. 25-01-2007

1. Jaką krzywą płaską tworzą punkty wspólne binormalnych do krzywej o równaniu r(u)=[1/3 u²; u²; 2u] i płaszczyzny XOY?

2. Dla jakich wartości parametrów a, b, c parabola y=ax²+bx+c ma z krzywą 4x²+y²=3-2y w punkcie (0,1) styczność możliwie najwyższego rzędu? Podaj rząd styczności tych krzywych.

3. Znaleźć obwód trójkąta krzywoliniowego położonego na powierzchni o pierwszej formie kwadratowej ds²=4u²du²+u²dv utworzonego przez krzywe u=v, v=0, u=1.

4. Dana jest linia śrubowa r(u)=[4cosu; 4sinu; 3u]. Znaleźć krzywiznę krzywej g= r(u)+3t w pkt u=0. {t- to jest pewien wektor}

5. Dla jakich wartości parametrów a i b odwzorowanie płaszczyzny r₁=[u; v-2u; u+v] na płaszczyznę r₂=[u+av; u-bv; u-bv] jest odwzorowaniem konforemnym? Co to jest odwzorowanie konforemne powierzchni S₁ na S₂?

6. Dana jest powierzchnia s: r(u,v)=[u²+2v; u-v²; 2uv]. Znaleźć krzywiznę przekroju normalnego powierzchni S poprowadzonego przez styczną do krzywej u-v=1 w pkt. P(1, 1, 0). Co to jest przekrój normalny powierzchni S w punkcie P?