Bożena Szkopińska
Analiza matematycza II - Szkic wykładu
Część 1
Bożena Szkopińska
Analiza matematycza II - Szkic wykładu
Część 1
2
I. Przestrzenie metryczne. Rodzaje zbiorów
Definicja 1.1. (Przestrzeń metryczna)
Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym. Funkcję
R
X
X
d
→
×
:
nazywamy
metryką (lub funkcją odległości), jeśli spełnione są następujące warunki:
(1)
X
y
x
∈
∧
,
(
)
(
)
y
x
y
x
d
y
x
d
=
⇔
=
∧
≥
0
)
,
(
0
)
,
(
(2)
X
y
x
∈
∧
,
)
,
(
)
,
(
x
y
d
y
x
d
=
(3)
X
z
y
x
∈
∧
,
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
z
d
z
x
d
y
x
d
+
≤
Parę uporządkowaną
(
)
d
X ,
, gdzie d jest metryką nazywamy przestrzenią metryczną.
Zbiór X nazywamy zbiorem punktów przestrzeni metrycznej
(
)
d
X ,
, zaś wartość funkcji
d(x,y) dla ustalonych x,y
∈X nazywamy odległością punktów x i y.
Definicja 1.2 (Kula w przestrzeni metrycznej).
Niech
(
)
d
X ,
oznacza przestrzeń metryczną, a
∈X i r – dodatnią liczbą rzeczywistą.
Kulą o środku a i promieniu r (lub kula otwartą) nazywamy zbiór:
{
}
r
a
x
d
X
x
r
a
K
<
∈
=
)
,
(
:
)
,
(
Definicja 1.3 (Punkt wewnętrzny zbioru)
Niech A
⊂X. Punkt a∈X nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A, jeśli
A
r
a
K
R
r
⊂
∈
∨
)
,
(
Definicja 1.4 (Zbiór otwarty i otoczenie punktu)
Zbiór A
⊂X, którego każdy punkt jest punktem wewnętrznym nazywamy zbiorem
otwartym.
Otoczeniem punktu x
0
∈X nazywamy dowolny zbiór U(x
0
) otwarty w przestrzeni
(
)
d
X ,
i zawierający punkt x
0
.
Twierdzenie 1.5
Każda kula otwarta jest zbiorem otwartym.
Definicja 1.6 (Zbiór domknięty)
Zbiór B
⊂X, którego dopełnienie X\B jest zbiorem otwartym, nazywamy zbiorem
domkniętym.
Uwaga: Niech
n
R
X
=
oraz
∑
=
−
=
n
i
i
i
y
x
y
x
d
1
2
)
(
)
,
(
, gdzie
(
)
n
x
x
x
,...,
1
=
,
(
)
n
y
y
y
,...,
1
=
. Dowodzi się , że funkcja d jest metryką. Tak zdefiniowaną przestrzeń
metryczną (X,d) nazywamy przestrzenią euklidesową n-wymiarową, zaś funkcję d –
metryką euklidesową. W szczególnym przypadku dla n=1, metryka euklidesowa w
zbiorze R przyjmuje postać
y
x
y
x
d
−
=
)
,
(
dla x,y
∈R i nazywana jest również metryką
naturalną na prostej.
Definicja 1.7 (Zbiór ograniczony)
Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X,d). Średnicą
zbioru A nazywamy liczbę
{
}
A
y
x
y
x
d
A
∈
=
,
:
)
,
(
sup
)
(
δ
. Zbiór A nazywamy
3
ograniczonym, jeśli
∞
<
)
(A
δ
. W przeciwnym razie mówimy, że zbiór A jest
nieograniczony.
Definicja 1.8 (Wnętrze zbioru)
Wnętrzem podzbioru A przestrzeni metrycznej
(
)
d
X ,
nazywamy sumę rodziny
wszystkich zbiorów otwartych zawartych w zbiorze A i oznaczamy je symbolem
( )
A
Int
.
Twierdzenie 1.9.
Zbiór A jest otwarty w przestrzeni metrycznej
(
)
d
X ,
wtedy i tylko wtedy, gdy
( )
A
Int
A
=
Definicja 1.10. (Zbieżność ciągu w przestrzeni metrycznej)
Niech
(
)
d
X ,
będzie przestrzenią metryczną i p
n
∈X dla n∈N. Ciąg
{ }
N
n
n
p
∈
nazywamy zbieżnym w przestrzeni metrycznej
(
)
d
X ,
do punktu p
0
∈X, co oznaczamy
0
lim
p
p
n
n
=
∞
→
, wtedy i tylko wtedy, gdy
(
)
0
,
lim
0
=
∞
→
p
p
d
n
n
Definicja 1.11 (Warunek Cauchy’ego)
Mówimy, że ciąg
{ }
N
n
n
p
∈
punktów przestrzeni metrycznej
(
)
d
X ,
spełnia warunek
Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy
0
>
∧
ε
N
n
∈
∨
0
N
n
m
∈
∧
,
(
)
(
)
ε
<
⇒
>
∧
>
)
,
(
0
0
m
n
p
p
d
n
m
n
n
Twierdzenie 1.12.
Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej spełnia warunek Cauchy’ego.
Uwaga:
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 1.13.
Niech
{ }
N
k
k
p
∈
będzie ciągiem punktów przestrzeni euklidesowej
n
R
i niech
n
R
p
∈
0
oraz
(
)
k
n
k
k
x
x
p
,...,
1
=
, k=1,2,…,
(
)
0
0
1
0
,...,
n
x
x
p
=
. Wówczas
⇔
=
∞
→
0
lim
p
p
k
k
{
}
0
,...,
1
lim
i
k
i
k
n
i
x
x
=
∞
→
∈
∧
.
Twierdzenie 1.14.
Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony.
Definicja 1.15. (Punkt skupienia zbioru i punkt izolowany)
Niech
(
)
d
X
,
będzie przestrzenią metryczną, zbiór A
⊂X. Punkt p
0
∈X nazywamy
punktem skupienia zbioru A, jeśli istnieje ciąg
{ }
N
n
n
p
∈
taki, że
0
lim
p
p
A
p
n
n
n
N
n
=
∧
∈
∞
→
∈
∧
Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A’. Punkt p
∈A\A’
nazywamy punktem izolowanym zbioru A.
4
Definicja 1.16. (Domknięcie zbioru)
Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej
(
)
d
X
,
. Domknięciem zbioru A
nazywamy zbiór
'
A
A
A
∪
=
.
Twierdzenie 1.17.
Zbiór A jest domknięty w przestrzeni metrycznej
(
)
d
X
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
A
A
= .
Twierdzenie 1.18.
Niech A
⊂X. Wówczas
A
X
X
A
Int
\
\
)
(
=
.
Definicja 1.19.(Brzeg zbioru)
Niech A
⊂X. Brzegiem zbioru A w przestrzeni metrycznej
(
)
d
X
,
nazywamy zbiór
(
)
A
X
A
A
Fr
\
)
(
∩
=
.
Twierdzenie 1.20.
Niech A
⊂X i niech
ϑ (x)oznacza rodzinę otoczeń punktu x. Wówczas
)
(
)
(
x
U
A
Fr
x
ϑ
∈
∧
⇔
∈
(U
∩A≠∅ ∧ U\A≠∅).
Definicja 1.21 (Zbiór zwarty)
Niech A
⊂X. Zbiór A nazywamy zbiorem zwartym w przestrzeni
metrycznej
(
)
d
X ,
wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu punktów zbioru A można
wybrać podciąg zbieżny do pewnego punktu zbioru A.
Twierdzenie 1.22.
Podzbiór A przestrzeni euklidesowej
n
R
jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest
domknięty i ograniczony.
Definicja 1.23. (Zbiór spójny)
Zbiór
≠
A
∅ nazywamy zbiorem spójnym w przestrzeni metrycznej
(
)
d
X ,
jeśli dla
dowolnych niepustych zbiorów A
1
⊂A i A
2
⊂A takich, że A
1
∪A
2
=A mamy, że
(
) (
)
≠
∩
∪
∩
2
1
2
1
A
A
A
A
∅.
Uwaga:
Zbiór otwarty A
⊂
n
R
jest spójny, jeśli każde dwa jego punkty można
połączyć łamana zawartą w A.
Definicja 1.24. (Obszar i obszar domknięty)
Zbiór otwarty i spójny w
n
R
nazywamy obszarem. Obszar łącznie ze swoim
brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.
Definicja 1.25. (Obszar normalny względem osi OX)
Zbiór
[ ]
{
}
)
(
)
(
,
,
:
)
,
(
2
x
g
y
x
f
b
a
x
R
y
x
A
≤
≤
∈
∈
=
gdzie f i g są funkcjami ciągłymi
na [a,b] oraz spełniającymi warunek
[ ]
)
(
)
(
,
x
g
x
f
b
a
x
<
∈
∧
nazywamy normalnym względem
osi OX.
5
Można udowodnić, że tak określony zbiór A jest ograniczony i domknięty, a więc
zwarty w R
2
. Zbiór A jest też zbiorem spójnym. Dlatego zbiór ten nazywamy obszarem
domkniętym normalnym względem osi OX.
Analogicznie definiujemy obszar normalny względem osi OY. Łatwo zauważyć, że
obszarami normalnymi względem osi OX i OY jednocześnie są np. prostokąty o bokach
równoległych do osi, określone jako zbiory postaci:
[ ]
[ ]
{
}
d
c
y
b
a
x
R
y
x
A
,
,
:
)
,
(
2
∈
∧
∈
∈
=
I.
Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych
Definicja 2.1 (Funkcja wielu zmiennych)
Funkcję f odwzorowującą zbiór A
⊂
n
R
w zbiór R nazywamy funkcją rzeczywistą n
zmiennych i oznaczamy przez f:A
→R. Wartości funkcji f w punkcie
(
)
n
x
x
p
,...,
1
=
∈A
oznaczamy przez f(p) lub f
(
)
n
x
x
,...,
1
.
Definicja 2.2. (Wykres i poziomica funkcji dwóch zmiennych)
Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór
(
)
{
}
)
,
(
)
,
(
:
,
,
3
y
x
f
z
D
y
x
R
z
y
x
f
=
∧
∈
∈
, gdzie D
f
oznacza dziedzinę funkcji f.
Poziomicą wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi h
∈R nazywamy zbiór
( )
{
}
h
y
x
f
y
x
=
∈
)
,
(
:
D
,
f
Definicja 2.3. (granica n-krotna – definicja Cauchy’ego)
Niech f:A
→R, A⊂
n
R
oraz niech p
0
będzie punktem skupienia zbioru A. Liczbę g
nazywamy granicą funkcji f w punkcie p
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
0
>
∧
ε
0
>
∨
δ
A
p
∈
∧ (
)
ε
δ
<
−
⇒
<
g
p
f
p
p
d
)
(
)
,
(
0
i zapisujemy
g
p
f
p
p
=
→
)
(
lim
0
. Granicę g nazywamy także granicą n-krotną.
Definicja 2.4. (Granica n-krotna – definicja Heinego)
Niech f: A
→R, A⊂
n
R
oraz niech p
0
będzie punktem skupienia zbioru A.
{ }
(
)
[
]
g
p
f
p
p
N
n
dla
p
p
g
p
f
n
n
n
n
n
A
p
p
p
n
=
⇒
=
∧
∈
≠
⇔
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∞
→
∞
→
⊂
→
∧
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
Uwaga 1: Definicje Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji n zmiennych są
równoważne. Jeśli g jest liczbą skończoną, to mówimy, że g jest granicą właściwą funkcji f w
punkcie p
0
.
Granicę niewłaściwą ∞ w punkcie p
0
definiuje się analogicznie jak dla funkcji jednej
zmiennej.
Definicja 2.5. (Granice iterowane).
Jeśli f: A
→R, A⊂
2
R
,
p
0
=(x
0
,y
0
) jest punktem skupienia zbioru A oraz jeśli istnieją
liczby
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→
→
)
,
(
lim
lim
0
0
1
y
x
f
g
y
y
x
x
i
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→
→
)
,
(
lim
lim
0
0
2
y
x
f
g
x
x
y
y
, to nazywamy je granicami
iterowanymi funkcji f.
6
Uwaga 2: Istnienie granicy funkcji w punkcie p
0
=(x
0
,y
0
) jest niezależne od istnienia
granic iterowanych g
1
i g
2
. Granica podwójna funkcji f(x,y) może nie istnieć, natomiast
granice g
1
i g
2
mogą istnieć i na odwrót. Ponadto, jeżeli granice iterowane g
1
i g
2
istnieją, to
mogą być różne.
Można
też udowodnić, że jeżeli istnieje granica podwójna funkcji f w
punkcie p
0
i co najmniej jedna z granic iterowanych g
1
lub g
2,
to granica podwójna jest równa
tej granicy iterowanej.
Uwaga 3: Dla granicy n-krotnej funkcji zachodzą twierdzenia o arytmetyce granic
funkcji oraz o granicy funkcji złożonej podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej.
Definicja 2.6. (Ciągłość funkcji n zmiennych)
Niech f: A
→R, A⊂
n
R
oraz niech p
0
∈A będzie punktem skupienia zbioru A. Mówimy,
że funkcja f jest ciągła w punkcie p
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
)
(
)
(
lim
0
0
p
f
p
f
p
p
=
→
.
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w zbiorze A, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego
zbioru.
Twierdzenie 2.7.
Każda funkcja f n - zmiennych jest ciągła w punktach izolowanych swojej dziedziny.
Uwaga 4: Jeżeli funkcja n zmiennych f(x
1
,…x
n
) określona w pewnym otoczeniu punktu
p
0
=(x
1
0
,…,x
n
0
) jest w tym punkcie ciągła, to dla każdego k
∈{1,…,n} funkcja f(x
1
0
,…,x
k-1
0
,x
k
,
x
k+1
0
,…,x
n
0
) jednej zmiennej x
k
jest ciągła w punkcie x
k
0
(inaczej mówimy, że funkcja f jest
ciągła w punkcie p
0
ze względu na każdą zmienną oddzielnie). Twierdzenie odwrotne nie jest
prawdziwe.
Poznane wcześniej własności funkcji ciągłych jednej zmiennej prawdziwe są również
dla funkcji ciągłych n zmiennych. A mianowicie:
Twierdzenie 2.8. (O działaniach arytmetycznych)
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie p
0
∈
n
R
,
to w tym punkcie ciągłe są także
funkcje: f+g, f-g, f·g oraz
g
f
, o ile g(p
0
)
≠0.
Twierdzenie 2.9. (O ciągłości funkcji złożonej)
Jeżeli funkcje f, g
1
, g
2
,…,g
n
spełniają warunki:
(1) funkcje g
1
, g
2
,…,g
n
są ciągłe w punkcie p
0
(2) funkcja f jest ciągła w punkcie q
0
=(
g
1
(p
0
), …,g
n
(p
0
)) to funkcja złożona
f(g
1
(p), …,g
n
(p))jest ciągła w punkcie p
0
.
Twierdzenie 2.10. (O lokalnym zachowaniu znaku)
Jeżeli funkcja f(p) określona w pewnym otoczeniu punktu p
0
jest w tym punkcie ciągła
oraz f(p
0
)>0 (albo f(p
0
)<0), to istnieje sąsiedztwo S(p
0
) punktu p
0
takie, że
( )
0
)
(
0
>
∈
∧
p
f
p
S
p
(albo odpowiednio
( )
0
)
(
0
<
∈
∧
p
f
p
S
p
).
Twierdzenie 2.11 (Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w zbiorze zwartym D
⊂
n
R
, to jest w tym zbiorze
ograniczona oraz
D
p
∈
∨
1
D
p
∈
∨
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∧
=
∈
∈
)
(
sup
)
(
)
(
inf
)
(
2
1
p
f
p
f
p
f
p
f
D
p
D
p
.
7
Twierdzenie 2.12
Niech f będzie funkcja rzeczywistą ciągłą, określoną na zbiorze spójnym D
⊂
n
R
.
Wówczas obraz f(D) jest zbiorem spójnym w R.
Twierdzenie 2.13. (Darboux, o przyjmowaniu wartości pośrednich)
Jeśli funkcja f jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym D
⊂
n
R
,to
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≤
≤
∈
∈
∈
∈
∨
∧
)
(
)
(
sup
)
(
inf
0
0
p
f
z
p
f
z
p
f
D
p
D
p
D
p
R
z
Twierdzenie 2.14. (Cantora o ciągłości jednostajnej)
Jeśli funkcja f jest ciągła w zbiorze zwartym D
⊂
n
R
, to jest jednostajnie ciągła w tym
zbiorze tzn.
0
>
∧
ε
0
>
∨
δ
D
p
∈
∧
1
D
p
∈
∧
2
(
)
ε
δ
<
−
⇒
<
)
(
)
(
)
,
(
2
1
2
1
p
f
p
f
p
p
d
.
8
III. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
1. Pochodne kierunkowe funkcji
Definicja 3.1. (pochodna kierunkowa).
Niech f: U(p
0
)
→R, gdzie U(p
0
) jest pewnym otoczeniem punktu
(
)
0
0
1
0
,...
n
x
x
p
=
∈
n
R
oraz niech
[
]
n
h
h
h
,...,
1
=
→
będzie wektorem w przestrzeni
n
R
.
Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie p
0
w kierunku wektora
→
h
określamy wzorem:
t
p
f
h
t
p
f
p
f
t
h
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
0
0
0
−
+
=
→
→
→
,
gdzie
(
)
n
n
th
x
th
x
th
x
h
t
p
+
+
+
=
+
→
0
2
0
2
1
0
1
0
,...
,
.
Uwaga 1. Zauważmy, że jeśli określimy funkcję
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
→
h
t
p
f
t
0
ϕ
,
gdzie p
0
∈
n
R
,
→
h
jest wektorem w
n
R
, to
( )
t
t
t
)
0
(
)
(
lim
0
'
0
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
→
. A zatem
( )
0
'
)
(
'
0
ϕ
=
→
p
f
h
.
Stąd
wynika, że dla pochodnej kierunkowej mamy takie same wzory rachunkowe (tzn. wzory
dotyczące pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu funkcji) jak dla zwykłej pochodnej funkcji
jednej zmiennej. Na przykład
(
)
( )
( )
)
(
'
)
(
'
)
(
'
0
0
0
p
g
p
f
p
g
f
h
h
h
→
→
→
+
=
+
.
Uwaga 2. (Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej dla funkcji dwóch
zmiennych) Niech z= f(x,y) oraz niech
→
h
będzie wektorem w przestrzeni R
2
.
Oznaczmy
przez l styczną do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji
półpłaszczyzną przechodząca przez punkt (x
0
,y
0
,0) oraz równoległą do wektora
→
h
oraz do
osi Oz. Wówczas
γ
tg
y
x
f
h
=
→
)
,
(
'
0
0
,
gdzie
γoznacza kąt nachylenia prostej l do
płaszczyzny Oxy.
Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji w kierunku
→
h
.
Dla pochodnej kierunkowej prawdziwe są następujące twierdzenia:
Twierdzenie 3.2
Niech f: U(p
0
)
→R, gdzie U(p
0
) jest pewnym otoczeniem punktu p
0
∈
n
R
.
Niech
→
h
będzie wektorem w przestrzeni
n
R
, oraz r – dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas
jeżeli pochodna
)
(
'
0
p
f
h
→
istnieje, to również istnieje
)
(
'
0
p
f
h
r
→
i zachodzi równość
)
(
'
)
(
'
0
0
p
rf
p
f
h
h
r
→
→
=
.
Uwaga W ogólnym przypadku mamy, że
)
(
'
)
(
'
)
(
'
0
0
0
)
(
2
1
2
1
p
f
p
f
p
f
h
h
h
h
→
→
→
→
+
≠
+
.
Równość zachodzi przy dodatkowych założeniach o pochodnych kierunkowych, a
mianowicie mamy:
9
Twierdzenie 3.3.
Niech f: U(p
0
)
→R, gdzie U(p
0
) jest pewnym otoczeniem punktu p
0
∈
n
R
.
Niech
1
→
h
,
2
→
h
będą wektorami w
n
R
. Jeśli pochodna
1
'
→
h
f
istnieje w punkcie p
0
, zaś
2
'
→
h
f
istnieje i
jest ciągła w p
0
, to
)
(
'
)
(
'
)
(
'
0
0
0
)
(
2
1
2
1
p
f
p
f
p
f
h
h
h
h
→
→
→
→
+
=
+
Twierdzenie 3.4
Niech f: U(p
0
)
→R,
→
h
-
dowolny wektor w
n
R
i niech liczba
λ>0 będzie taka, że
odcinek łączący punkty p
0
∈
n
R
i p
0
+
λ
→
h
leży całkowicie w otoczeniu U(p
0
). Jeśli w
każdym punkcie tego odcinka istnieje pochodna kierunkowa w kierunku wektora
→
h
,
wówczas istnieje liczba
θ∈(0,1) taka, że
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→
→
→
h
p
f
p
f
h
p
f
h
θλ
λ
λ
0
0
0
'
)
(
.
Szczególnym przypadkiem pochodnej kierunkowej funkcji są pochodne cząstkowe
funkcji.
Definicja 3.5. (Pochodne cząstkowe)
Niech e
1
, ... , e
n
oznaczają wersory osi współrzędnych w przestrzeni
n
R
. Pochodną
kierunkową funkcji f w punkcie p
0
∈
n
R
w kierunku wektora e
i
nazywamy pochodną
cząstkową funkcji f w punkcie p
0
względem i-tej zmiennej (lub i-tej współrzędnej) i
oznaczamy ją symbolem
)
(
'
0
p
f
i
x
lub
( )
0
p
i
x
f
∂
∂
.
Uwaga 3. Dla funkcji f: U(p
0
)
→R, gdzie U(p
0
)
⊂
n
R
Mogą istnieć wszystkie
pochodne cząstkowe w punkcie p
0
, zaś funkcja f może nie być ciągła w tym punkcie. Z
istnienia pochodnych cząstkowych wynika jedynie ciągłość funkcji ze względu na każdą
zmienną oddzielnie. Ale przy dodatkowym założeniu mamy:
Twierdzenie 3.6.
Jeśli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym obszarze D
⊂
n
R
, to f jest
w tym obszarze ciągła.
Ciągłość pochodnych cząstkowych funkcji f pozwala również na inny sposób
obliczania pochodnej kierunkowej funkcji f.
Definicja 3.7 (Gradient funkcji)
Niech f:A
→R, A⊂
n
R
. Gradientem funkcji f w punkcie p
0
nazywamy wektor:
( )
( )
( )
[
]
0
0
,...,
1
0
p
p
f
n
x
f
x
f
p
∂
∂
∂
∂
=
∇
. Zmieniając punkt p
0
otrzymamy pole wektorowe
[
]
n
x
f
x
f
f
∂
∂
∂
∂
=
∇
,...,
1
, które nazywamy gradientem funkcji f.
10
Zależność pomiędzy pochodną kierunkową funkcji a jej gradientem podaje nam
następujące
Twierdzenie 3.8.
Jeśli pochodne cząstkowe
i
x
f
∂
∂
dla i=1,...n są funkcjami ciągłymi w punkcie p
0
∈
n
R
,
to pochodna kierunkowa
)
(
'
0
p
f
h
→
istnieje w każdym kierunku
→
h
i wyraża się wzorem:
( )
→
∇
=
→
h
f
p
f
p
h
o
0
)
(
'
0
.
Uwaga 4 Interpretacja geometryczna gradientu.
2) Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji
w tym punkcie.
3) Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji
przechodzącej przez ten punkt.
1. Różniczkowalność
Definicja 3.9. (Funkcja różniczkowalna)
Niech p
0
∈
n
R
, funkcja f:U(p
0
)
→R, gdzie U(p
0
)
⊂
n
R
.
Rozważmy wektor
[
]
n
h
h
h
,...,
1
=
→
taki, że
(
)
( )
0
0
p
U
h
p
∈
+
.
Jeśli istnieją pochodne cząstkowe
)
(
'
0
p
f
i
x
dla i
∈{1,…,n}, to
funkcję f nazywamy różniczkowalną w p
0
wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
(*)
[
]
0
h
h
p
f
h
p
f
p
f
h
p
f
n
0
x
1
0
x
0
0
0
h
n
1
=
⋅
+
+
⋅
−
−
+
→
→
→
→
)
(
'
...
)
(
'
)
(
)
(
lim
(gdzie
→
h
oznacza długość wektora
→
h
, zaś przez zbieżność
0
→
→
h
rozumiemy , że
0
→
i
h
dla każdego i
∈{1,...,n}). Wyrażenie w nawiasie nazywamy różniczką zupełną funkcji
f w punkcie p
0
.
Rozważmy teraz przypadek przestrzeni R
2
.
Uwaga 5: Jeśli p
0
=(x
0
,y
0
)
∈R
2
oraz (x,y)
∈U(p
0
), to rozważając wektor
[
]
y
x
h
Δ
Δ
=
→
,
gdzie
0
0
,
y
y
y
x
x
x
−
=
Δ
−
=
Δ
),
warunek (*) różniczkowalności funkcji f w punkcie p
0
przyjmuje postać:
[
]
0
)
(
)
(
)
(
'
)
(
'
)
,
(
)
,
(
lim
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
=
Δ
+
Δ
Δ
⋅
+
Δ
⋅
−
−
Δ
+
Δ
+
→
Δ
→
Δ
y
x
y
p
f
x
p
f
y
x
f
y
y
x
x
f
y
x
y
x
i wówczas wyrażenie w nawiasie jest różniczką zupełną funkcji f w punkcie p
0
..
Wniosek: Jeśli oznaczymy przez
)
(
)
,
(
)
(
0
0
0
0
p
f
y
y
x
x
f
p
f
−
Δ
+
Δ
+
=
Δ
gdzie p
0
=(x
0
,y
0
),
wówczas z różniczkowalności funkcji f w p
0
wynika, że
( )
( )
y
p
f
x
p
f
p
f
y
x
Δ
⋅
+
Δ
⋅
≈
Δ
0
0
0
'
'
)
(
11
Twierdzenie 3.10 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji)
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p
0
∈
n
R
,
to jest ciągła w tym punkcie.
Uwaga 6. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 3.11. (Warunek wystarczający różniczkowalności)
Jeśli dla funkcji f n zmiennych istnieją pochodne cząstkowe
)
(
'
0
p
f
i
x
dla każdego
i
∈{1,...,n} i są ciągłe w punkcie p
0
∈
n
R
,
to funkcja f jest różniczkowalna w p
0
.
Uwaga 7. Ciągłość pochodnych cząstkowych nie jest warunkiem koniecznym
różniczkowalności funkcji.
Definicja 3.12. (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu)
Niech funkcja f: U(p
0
)→R (gdzie p
0
∈
n
R
, U(p
0
)
⊂
n
R
)
ma pochodne cząstkowe
i
x
f
∂
∂
dla
i=1,…,n określone przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu p
0
. Pochodne cząstkowe
drugiego rzędu funkcji f w punkcie p
0
określamy wzorami:
( )
0
i
j
0
i
j
2
p
x
f
x
p
x
x
f
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
)
(
i,j=1,…,n
Jeśli i=j, to zamiast
i
j
2
x
x
f
∂
∂
∂
piszemy
2
i
2
x
f
∂
∂
. Pochodne
)
p
(
x
x
f
0
i
j
2
∂
∂
∂
oznaczamy też symbolem
)
p
(
''
f
0
x
x
j
i
. Jeśli i
≠j , to pochodną
j
i
x
x
''
f
nazywamy też pochodną cząstkową mieszaną
drugiego rzędu.
Twierdzenie 3.13 (Schwarza)
Jeśli dla funkcji f:U(p
0
)→R wszystkie pochodne cząstkowe rzędu drugiego
i
j
2
x
x
f
∂
∂
∂
są
funkcjami ciągłymi w p
0
, to zachodzi równość:
)
p
(
x
x
f
)
p
(
x
x
f
0
j
i
2
0
i
j
2
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
Twierdzenie 3.14 (O pochodnej funkcji złożonej)
Jeśli funkcja f:U→R, gdzie U
⊂
n
R
,
ma ciągłe pochodne cząstkowe
i
x
f
∂
∂
dla i=1,…,n, zaś
funkcje x
i
= x
i
(t), gdzie
( )
β
α
∈ ,
t
, są różniczkowalne na
( )
β
α,
dla i=1,…,n, oraz punkty
postaci (x
1
(t),…,x
n
(t))
∈U dla
( )
β
α
∈ ,
t
, to funkcja złożona f(x
1
(t),…,x
n
(t)) jest też
różniczkowalna na
( )
β
α,
, przy czym:
(
)
(
) ( )
(
)
β
α
,
,
)
(
),...,
(
)
(
),...,
(
0
0
0
0
1
1
0
0
1
∈
⋅
∂
∂
=
∑
=
t
t
dt
dx
t
x
t
x
x
f
t
x
t
x
f
dt
d
i
n
n
i
i
n
Twierdzenie 3.15 (O pochodnych cząstkowych funkcji złożonej)
Jeżeli funkcja f:U
→R, gdzie U⊂
n
R
,
ma ciągłe pochodne cząstkowe
i
x
f
∂
∂
dla i=1,…,n w
U oraz funkcje x
i
= x
i
(t
1
,...,t
m
) też mają ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym obszarze
D
⊂
m
R
i punkty (x
1
(t
1
,...,t
m
),…, x
n
(t
1
,...,t
m
))
∈U dla (t
1
,...,t
m
)
∈D, to funkcja złożona
12
f(x
1
(t
1
,...,t
m
),…, x
n
(t
1
,...,t
m
)) też ma pochodne cząstkowe dla t
0
=(t
1
,...,t
m
)
∈D równe
(
)
(
) ( )
0
0
0
1
1
0
0
1
)
(
),...,
(
)
(
),...,
(
t
t
x
t
x
t
x
x
f
t
t
x
t
x
f
j
k
n
n
k
k
j
n
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
∑
=
j=1,...,m
Definicja 3.16 (Różniczka pierwszego rzędu)
Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu p
0
∈
n
R
i posiada pochodną
kierunkową
)
(
'
0
p
f
h
→
w każdym kierunku
n
R
h
∈
→
.
Różniczką pierwszego rzędu funkcji f w
punkcie p
0
, którą oznaczamy
( )
0
p
df
nazywamy funkcję kierunku
→
h
przy ustalonym p
0
taką,
że:
( )
)
(
'
:
0
0
p
f
h
df
h
p
→
→
→
( Zatem
( )
0
p
df
:
n
R
→R ).
Twierdzenie 3.17.
Jeśli funkcja f:
n
R
→R ma w punkcie p
0
∈
n
R
ciągłe pochodne cząstkowe, to jej
pierwsza różniczka
( )
0
p
df
:
n
R
→R jest funkcją liniową i wyraża się wzorem:
( )
n
n
p
h
p
x
f
h
p
x
f
h
df
⋅
∂
∂
+
+
⋅
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
)
(
...
)
(
0
1
0
1
0
&
, gdzie
[
]
n
h
h
h
,...,
1
=
→
.
Zauważmy, że różniczkę
( )
0
p
df
można wyrazić jeszcze inaczej. W tym celu rozpatrzmy
funkcje
i
n
1
i
x
x
x
g
=
)
,...,
(
dla i=1,...,n. Różniczka tej funkcji
( )
p
i
dg
w każdym punkcie p jest
taka sama i oznaczmy ją przez
i
dx
. Ponieważ:
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
∂
∂
j
i
dla
0
j
i
dla
1
x
g
j
i
to
(
)
i
n
1
i
h
h
h
dx
=
,...,
dla i=1,...,n, dowolnego punktu p oraz wektora
[
]
n
h
h
h
,...,
1
=
→
.
Zatem
( )
0
p
df
=
n
0
n
1
0
1
dx
p
x
f
dx
p
x
f
⋅
∂
∂
+
+
⋅
∂
∂
)
(
...
)
(
&
Definicja 3.18. (Różniczka k-tego rzędu)
Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu p
0
∈
n
R
i posiada ciągłe pochodne
cząstkowe rzędu k. Różniczką k-tego rzędu funkcji f w punkcie p
0
nazywamy funkcję
( )
0
p
k
f
d
:
n
R
→R taką, że
( )
( )
k
h
h
p
k
f
h
f
d
→
→
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
...
0
(p
0
) dla każdego kierunku
n
R
h
∈
→
,
gdzie
( )
k
h
h
f
→
→
...
(p
0
) oznacza k-tą pochodną kierunkowa w kierunku
→
h
funkcji f w punkcie p
0
.
Twierdzenie 3.19.
Niech f będzie funkcją określoną w otoczeniu punktu p
0
∈
2
R
i ma ciągłe pochodne
drugiego rzędu. Wówczas różniczka drugiego rzędu funkcji f w punkcie p
0
wyraża się
wzorem:
( )
j
i
0
n
1
i
n
1
j
j
i
2
j
p
j
n
1
j
p
2
dx
dx
p
x
x
f
dx
x
f
d
f
d
0
0
⋅
∂
∂
∂
=
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∑∑
∑
=
=
=
)
(
13
Uwaga 8 Różniczka drugiego rzędu funkcji f w punkcie p
0
jest więc formą kwadratową
Twierdzenie 3.20. (Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych)
Jeśli funkcja n-zmiennych f(x
1
,…,x
n
) ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu k+1 w
otoczeniu punktu p
0
, to dla wektorów
→
h
takich, żeby odcinek łączący punkty p
0
i
p
0
+
→
h
zawiera się w tym otoczeniu , zachodzi wzór
)!
1
(
)
(
)
(
!
)
(
)
(
...
!
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
1
0
0
+
+
+
+
+
=
+
→
+
+
→
→
→
→
k
h
f
d
k
h
f
d
h
df
p
f
h
p
f
h
p
k
p
k
p
θ
dla pewnej liczby
( )
1
,
0
∈
θ
(zależnej od pozostałych wielkości f, p
0
,
→
h
).
3. Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Definicja 3.21 (ekstrema lokalne funkcji)
Niech
R
→
D
f :
, gdzie
n
D
R
⊂
. Funkcja f ma w punkcie
D
p
∈
0
maksimum
lokalne, jeżeli
∨
⊂D
p
U
)
(
0
∧
∈
)
(
0
p
U
p
)
(
)
(
0
p
f
p
f
≤
.
Funkcja f ma w punkcie
D
p
∈
0
maksimum lokalne właściwe, jeżeli
∨
⊂D
p
S
)
(
0
∧
∈
)
(
0
p
S
p
)
(
)
(
0
p
f
p
f
<
.
(
−
)
(
0
p
U
oznacza otoczenie punktu
0
p , zaś
−
)
(
0
p
S
sąsiedztwo punktu
0
p )
Analogicznie
określa się minimum lokalne w punkcie
0
p oraz minimum lokalne
właściwe.
Twierdzenie 3.22 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja
R
→
)
(
:
0
p
U
f
, (gdzie
n
p
R
∈
0
), ma w punkcie
0
p różniczkę
0
)
(
p
df
oraz ma ekstremum lokalne w punkcie
0
p , to
0
)
(
0
=
p
df
.
Uwaga 9. Z warunku istnienia różniczki
0
)
(
0
=
p
df
wynika, że
( )
0
0
=
∂
∂
p
x
f
i
dla
n
i
,...,
1
=
.
Twierdzenie 3.23 (I Warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Załóżmy, że funkcja
R
→
)
(
:
0
p
U
f
, gdzie
n
p
R
∈
0
, ma ciągłe pochodne cząstkowe
rzędu drugiego w
( )
0
p
U
oraz
0
)
(
0
=
p
df
. Wówczas jeśli niezdegenerowana forma
kwadratowa
( )
0
2
p
f
d
jest dodatnio (ujemnie) określona, to funkcja
f ma minimum
14
(maksimum) lokalne w
0
p , zaś jeśli
( )
0
2
p
f
d
jest nieokreślona, to
f nie ma ekstremum
lokalnego w
0
p .
Uwaga 10. Przypomnijmy, że
( )
( )
∑∑
=
=
=
n
i
n
j
j
i
ij
p
h
h
a
h
f
d
1
1
2
0
, gdzie
[
]
n
h
h
h
,...,
1
=
oraz
j
i
ij
x
x
f
a
∂
∂
∂
=
2
. Forma kwadratowa
( )
0
2
p
f
d
jest niezdegenerowana, jeśli
0
...
........
..........
...
det
1
1
11
≠
=
nn
n
n
a
a
a
a
A
.
Twierdzenie 3.24 (II Warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Załóżmy, że funkcja
R
→
)
(
:
0
p
U
f
, gdzie
n
p
R
∈
0
, ma ciągłe pochodne cząstkowe
rzędu drugiego w
( )
0
p
U
oraz
0
)
(
0
=
p
df
. Wówczas jeśli
( )
0
...
........
..........
...
det
1
1
11
>
=
kk
k
k
k
a
a
a
a
A
dla
n
k
,...,
2
,
1
=
,
gdzie
j
i
ij
x
x
f
a
∂
∂
∂
=
2
, to funkcja
f ma w punkcie
0
p
minimum lokalne właściwe, natomiast
jeśli
( )
( )
0
det
1
>
−
k
k
A
, to
f ma w punkcie
0
p
maksimum lokalne właściwe.
Definicja 3.25
(Wyznacznik funkcyjny, inaczej jakobian)
Jeśli funkcje
(
)
n
i
i
x
x
y
,...,
f
1
=
,
{
}
n
i
,...,
1
∈
mają pochodne cząstkowe w pewnym
obszarze
n
G
R
⊂
, to wyznacznikiem funkcyjnym lub jakobianem nazywamy
n
n
1
n
n
1
1
1
x
f
x
f
x
f
x
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
...
.
..........
..........
...
i oznaczamy
(
)
(
)
n
n
x
x
D
y
y
D
,...,
,...,
1
1
.
Twierdzenie 3.26
Niech funkcje
(
)
n
i
i
x
x
y
,...,
f
1
=
dla
{
}
n
i
,...,
1
∈
mają ciągłe
pochodne cząstkowe w obszarze
n
G
R
⊂
oraz funkcje
(
)
n
i
i
t
t
x
,...,
1
ϕ
=
dla
{
}
n
i
,...,
1
∈
są
określone w obszarze
n
T
R
⊂
. Jeśli spełniony jest warunek
(*)
gdy
(
)
T
t
t
n
1
∈
,...,
, to
(
)
(
)
(
)
G
t
t
t
t
n
1
n
n
1
1
∈
ϕ
ϕ
,...,
,...,
,...,
,
wówczas
15
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
t
t
D
x
x
D
x
x
D
y
y
D
t
t
D
y
y
D
,...,
,...,
,...,
,...,
,...,
,...,
⋅
=
.
Definicja 3.27 (ekstrema warunkowe funkcji)
Niech
R
→
)
(
:
0
p
U
f
, gdzie
2
0
R
∈
p
. Mówimy, że funkcja
f ma w punkcie
0
p
minimum lokalne właściwe przy warunku
( )
0
=
p
g
, (gdzie
( )
y
x
p
,
=
), jeśli
( )
0
0
=
p
g
oraz
istnieje taka liczba
0
>
δ
, że
( )
( )
( )
( )
(
)
0
)
,
(
0
0
p
f
p
f
p
g
o
p
U
p
S
p
>
⇒
=
∧
⊂
∈
δ
.
Twierdzenie 3.28
(Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w obszarze
⊂
T
2
R
, to warunkiem koniecznym istnie ia ekstremum warunkowego w punkcie
T
∈
0
p
przy warunku
( )
0
=
p
g
jest aby
(
)
( )
0
,
,
=
y
x
D
g
f
D
w punkcie
0
p
.
4. FUNKCJA UWIKŁANA
Definicja
3.29
(Funkcja uwikłana)
Funkcją uwikłaną określoną przez warunek
( )
0
=
y
x,
F
nazywamy każdą funkcję
y(x)
y
=
spełniającą równość
(
)
0
=
y(x)
x,
F
dla wszystkich
x
z pewnego przedziału I .
Podobnie
określa się funkcję uwikłaną postaci
( )
y
x
x
=
, gdzie
J
∈
y
(
−
J oznacza
pewien przedział).
Twierdzenie 3.30 (o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej)
Niech funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na otoczeniu
( )
2
0
R
⊂
p
U
, gdzie
(
)
0
0
0
y
,
x
p
=
oraz niech spełnia warunki:
(1)
(
)
0
0
0
=
y
,
x
F
,
(2)
(
)
0
,
0
0
/
≠
y
x
F
y
.
Wówczas na pewnym otoczeniu
( )
0
x
W
istnieje jednoznacznie określona funkcja uwikłana
( )
x
y
y
=
spełniająca warunki:
( )
(
)
0
=
x
y
x,
F
dla każdego
∈
x
( )
0
x
W
oraz
( )
0
0
y
x
y
=
i
( )
( )
(
)
( )
(
)
x
y
x,
F'
x
y
x,
F'
x
y'
y
x
−
=
dla każdego
∈
x
( )
0
x
W
.
Ponadto,
jeśli
F ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na otoczeniu
( )
0
p
U
,
to funkcja uwikłana
( )
x
y
y
=
jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu
0
x
i jej druga pochodna wyraża się wzorem
16
( )
( )
( )
3
2
2
2
/
y
/
x
//
yy
/
y
/
x
//
xy
/
y
//
xx
F
F
F
F
F
F
F
F
y"
+
−
−
=
.
Uwaga 11.
Łatwo widać, że jeżeli dla funkcji uwikłanej
( )
x
y
y
=
określonej
równaniem
( )
0
=
y
x,
F
zachodzi warunek:
( )
0
0
=
x
y
/
, to
( )
( )
( )
0
0
0
p
F
p
F
x
y"
/
y
//
xx
−
=
, gdzie
(
)
0
0
0
y
,
x
p
=
i
( )
0
0
x
y
y
=
.
Twierdzenie 3.31 (o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej)
Niech funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu
( )
0
p
U
2
R
⊂
oraz niech spełnia warunki:
(1)
( )
0
0
=
p
F
,
( )
0
0
≠
p
F
/
y
,
(2)
( )
0
0
=
p
F
/
x
,
(3)
I
( )
( )
0
0
0
≠
−
=
p
F
p
F
/
y
//
xx
,
gdzie
(
)
0
0
0
y
,
x
p
=
. Wtedy funkcja uwikłana
( )
x
y
y
=
określona przez równanie
( )
0
=
y
x,
F
i
spełniająca warunek y(
0
x )=
0
y ma w punkcie
0
x
ekstremum lokalne właściwe i jest to:
minimum,
gdy
I
0
>
,
albo maksimum, gdy I
0
<
.
Uwaga 12.
Równość
( )
0
0
=
p
F
/
x
jest warunkiem koniecznym, a układ
( )
0
0
=
p
F
/
x
i
( )
0
0
≠
p
F
//
xx
warunkiem wystarczającym istnienia w punkcie
0
p
ekstremum funkcji uwikłanej określonej
przez równanie
( )
0
=
y
x,
F
. Prawdziwe jest także analogiczne twierdzenie o ekstremach
funkcji uwikłanej postaci
( )
y
x
x
=
.
IV CAŁKI WIELOKROTNE
1.CAŁKI PODWÓJNE
Definicja 4.1
(Łuk zwykły)
Krzywą
2
R
⊂
K
określoną równaniami parametrycznymi
)
(t
x
x
=
,
)
(t
y
y
=
dla
[ ]
β
α
,
∈
t
nazywamy łukiem zwykłym, jeśli
)
(t
x
i
)
(t
y
są funkcjami ciągłymi na przedziale
[ ]
β
α
,
oraz
różnym wartościom parametru
(
)
β
α
,
∈
t
odpowiadają różne punkty krzywej K . Jeśli ponadto
(
) (
)
)
(
),
(
)
(
),
(
β
β
α
α
y
x
y
x
=
, to łuk zwykły K nazywamy zamkniętym.
Uwaga 1.
Krzywa
K , która jest wykresem funkcji ciągłej
)
(x
y
y
=
dla
[ ]
b
a
x
,
∈
(lub )
( y
x
x
=
dla
[ ]
d
c
y
,
∈
) jest łukiem zwykłym.
Definicja 4.2
(Obszar regularny)
17
Ograniczony
obszar
2
R
⊂
D
nazywamy regularnym, gdy brzeg tego obszaru jest
sumą skończonej liczby łuków zwykłych danych równaniami:
)
(x
y
y
=
dla
[ ]
b
a
x
,
∈
lub
)
( y
x
x
=
dla
[ ]
d
c
y
,
∈
,
przy czym łuki te mogą redukować się do punktów.
Definicja 4.3 (Całka podwójna)
Niech
f
będzie funkcją określoną na domkniętym regularnym obszarze
2
R
⊂
D
i
niech
n
P
oznacza podział obszaru
D w dowolny sposób na
n
domkniętych obszarów
częściowych
i
D
odpowiednio o polach
i
D
,
n
i
...,
,
2
,
1
=
w ten sposób, aby:
(1) Żadne dwa obszary
i
D
,
j
D
dla
j
i
≠ nie miały wspólnych punktów wewnętrznych,
(2)
n
D
D
D
D
∪
∪
∪
=
...
2
1
.
Liczbę
{
}
( )
i
n
i
n
D
δ
δ
...,
,
1
max
∈
=
, gdzie
( )
i
D
δ
średnicą zbioru
i
D
,
nazywamy średnicą podziału
n
P
.
W każdym obszarze
i
D
wybieramy punkt pośredni )
,
(
i
i
y
x
, (
n
i
...,
,
1
=
) i tworzymy sumę
całkową
∑
=
⋅
=
n
i
i
i
i
n
D
y
x
f
S
1
)
,
(
.
Jeżeli dla każdego ciągu
{ }
N
∈
n
n
P
podziałów obszaru
D na obszary częściowe spełniającego
warunek 0
lim
=
∞
→
n
n
δ
i dla każdego wyboru punktów pośrednich w obszarach częściowych
istnieje ta sama skończona granica ciągu
{ }
N
∈
n
n
S
sum częściowych funkcji f , to granicę tę
nazywamy całką podwójną funkcji f na obszarze D i oznaczamy
∫∫
D
dy
dx
y
x
f
)
,
(
.
Funkcję f , dla której istnieje całka podwójna na obszarze D nazywamy funkcją całkowalną
na obszarze D .
Własności całki podwójnej
Twierdzenie
4.4 (Warunek konieczny całkowalności)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na domkniętym regularnym obszarze
2
R
⊂
D
, to jest
funkcją ograniczoną na tym obszarze.
Twierdzenie 4.5 (I Warunek wystarczający całkowalności)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na domkniętym i regularnym obszarze
2
R
⊂
D
, to jest
funkcją całkowalną na obszarze D .
Twierdzenie 4.6 (II Warunek wystarczający całkowalności)
18
Jeżeli funkcja f jest ograniczona na domkniętym i regularnym obszarze
2
R
⊂
D
oraz
jest ciągła na tym obszarze z wyjątkiem skończonej liczby łuków zwykłych o równaniach
)
(x
y
y
=
lub
)
( y
x
x
=
zawartych w obszarze D , to f jest funkcją całkowalną na obszarze D .
Twierdzenie 4.7
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na domkniętym i regularnym obszarze
2
R
⊂
D
, zaś
ograniczona funkcja g pokrywa się z funkcją f poza skończoną liczbą łuków zwykłych o
równaniach )
(x
y
y
=
lub
)
( y
x
x
=
zawartych w obszarze D , to funkcja g też jest
całkowalna na D oraz
∫∫
∫∫
=
D
D
dy
dx
y
x
g
dy
dx
y
x
f
)
,
(
)
,
(
.
Twierdzenie 4.8
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na domkniętym, regularnym obszarze
2
R
⊂
D
, to
(1) dla dowolnej liczby
R
∈
k
funkcja
f
k
⋅ jest całkowalna na D oraz
∫∫
∫∫
=
⋅
D
D
dy
dx
y
x
f
k
dy
dx
y
x
f
k
)
,
(
)
,
(
;
(2) funkcja
g
f
+ jest też funkcją całkowalną na D oraz
(
)
∫∫
∫∫
∫∫
+
=
+
D
D
D
dy
dx
y
x
g
dy
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
g
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
.
Twierdzenie 4.9
(addytywność całki względem obszaru całkowania)
Załóżmy, że domknięty regularny obszar
2
R
⊂
D
jest sumą domkniętych regularnych
obszarów
1
D
i
2
D
nie mających wspólnych punktów wewnętrznych. Wówczas funkcja f
jest całkowalna na obszarze D wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna na każdym z
obszarów
1
D
i
2
D
, przy czym
∫∫
∫∫
∫∫
+
=
2
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
D
D
D
dy
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
.
Twierdzenie 4.10 (monotoniczność całki podwójnej)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na domkniętym regularnym obszarze
2
R
⊂
D
oraz )
,
(
)
,
(
y
x
g
y
x
f
≤
dla
D
y
x
∈
)
,
(
, to
∫∫
∫∫
≤
D
D
dy
dx
y
x
g
dy
dx
y
x
f
)
,
(
)
,
(
.
Twierdzenie 4.11
Jeżeli funkcja
f jest funkcją całkowalną na domkniętym i regularnym obszarze
2
R
⊂
D
oraz
M
y
x
f
m
≤
≤
)
,
(
dla każdego
D
y
x
∈
)
,
(
, to
D
M
dy
dx
y
x
f
D
m
D
⋅
≤
≤
⋅
∫∫
)
,
(
.
Definicja 4.12 (Wartość średnia funkcji na obszarze)
Wartością średnią funkcji f na obszarze D nazywamy liczbę
19
∫∫
=
D
śr
dy
dx
y
x
f
D
f
)
,
(
1
.
Twierdzenie 4.13 (o wartości średniej dla całek podwójnych)
Niech funkcja f będzie ciągła na obszarze normalnym
2
R
⊂
D
. Wówczas
istnieje punkt
D
y
x
∈
)
,
(
0
0
, dla którego zachodzi równość
)
,
(
0
0
y
x
f
f
śr
=
.
Twierdzenie 4.14 (o zamianie całki podwójnej na iterowaną)
1. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
2
R
⊂
D
normalnym względem osi
Ox
,
przy czym
{
}
)
(
)
(
:
)
,
(
2
x
h
y
x
g
b
x
a
y
x
D
≤
≤
∧
≤
≤
∈
=
R
,
to
∫∫
∫ ∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
D
b
a
x
h
x
g
dx
dy
y
x
f
dy
dx
y
x
f
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
.
2. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
2
R
⊂
D
normalnym względem osi Oy ,
przy czym
{
}
)
(
)
(
:
)
,
(
2
y
l
x
y
k
d
x
c
y
x
D
≤
≤
∧
≤
≤
∈
=
R
,
to
∫∫
∫ ∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
D
d
c
y
l
y
k
dy
dx
y
x
f
dy
dx
y
x
f
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
.
1. W szczególnym przypadku, gdy obszar D jest prostokątem o bokach
równoległych do osi
Ox
i Oy , przy czym
{
}
d
y
c
b
x
a
y
x
D
≤
≤
∧
≤
≤
∈
=
:
)
,
(
2
R
oraz f jest ciągła na D , to
∫∫
∫ ∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
D
b
a
d
c
dx
dy
y
x
f
dy
dx
y
x
f
)
,
(
)
,
(
=
∫ ∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
d
c
b
a
dy
dx
y
x
f
)
,
(
.
Uwaga 2.
Z definicji obszaru normalnego względem osi
Ox
(względem osi Oy )
wynika, że jest on obszarem domkniętym i regularnym,
Dowodzi
się również, że każdy domknięty regularny obszar
2
R
⊂
D
jest sumą
skończonej liczby obszarów normalnych względem osi
Ox
(osi Oy ) takich, które nie mają
wspólnych punktów wewnętrznych.
Zamiana
zmiennych
w
całce podwójnej
Definicja 4.15 (przekształcenie obszarów na płaszczyźnie)
Niech
Δ i D będą obszarami odpowiednio w płaszczyznach
ν
u
O
i xy
O
.
Przekształceniem obszaru
Δ w obszar D nazywamy funkcję
D
T
→
Δ
:
określoną wzorem
))
,
(
),
,
(
(
)
,
(
)
,
(
ν
ν
ν
u
u
u
T
y
x
Ψ
Φ
=
=
, gdzie
Δ
∈
)
,
(
ν
u
.
20
Obrazem zbioru Δ przy przekształceniu T nazywamy zbiór
{
}
Δ
∈
Ψ
=
Φ
=
=
Δ
)
,
(
),
,
(
),
,
(
:
)
,
(
)
(
def
ν
ν
ν
u
u
y
u
x
y
x
T
.
Przekształcenie T nazywamy:
(a) ciągłym, jeżeli funkcje
Φ i Ψ są ciągłe na obszarze Δ ;
(b) wzajemnie jednoznacznym, jeśli różnym punktom obszaru Δ odpowiadają różne
punkty jego obrazu D .
Uwaga 3.
Obraz obszaru przy przekształceniu ciągłym i wzajemnie jednoznaczny jest
również obszarem .
Twierdzenie 4.16 (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Niech
(1) odwzorowanie )
,
(
)
,
(
ν
u
T
y
x
=
, gdzie
)
,
(
),
,
(
ν
ν
u
y
u
x
Ψ
=
Φ
=
, przekształca
wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego
2
R
⊂
Δ
na wnętrze
obszaru regularnego
2
R
⊂
D
,
(2) funkcje
Φ i
Ψ mają ciągłe pochodne cząstkowe na pewnym zbiorze otwartym
zawierającym obszar
Δ ,
(3) funkcja f jest ciągła na obszarze D ,
(4) jakobian
J
przekształcenia T jest różny od zera wewnątrz obszaru D .
Wówczas
(
)
∫∫
∫∫
Δ
Ψ
Φ
=
ν
ν
ν
ν
d
du
u
J
u
u
f
dy
dx
y
x
f
D
)
,
(
)
,
(
),
,
(
)
,
(
.
Definicja 4.17 (współrzędne biegunowe)
Położenie punktu na płaszczyźnie można opisać parą liczb
)
,
( r
ϕ
, gdzie:
−
ϕ
oznacza miarę kąta między dodatnią częścią osi
Ox
a promieniem wodzącym
punktu p ,
π
ϕ
2
0
≤
≤
( albo
) ,
−
r
oznacza odległość punktu p od początku układu współrzędnych,
∞
<
≤ r
0
.
Parę liczb
)
,
( r
ϕ
nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny.
Uwaga
4.
Zależność między współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi określają
wzory:
⎩
⎨
⎧
=
=
.
sin
cos
:
ϕ
ϕ
r
y
r
x
T
Przekształcenie T , które punktowi
)
,
( r
ϕ
przyporządkowuje punkt
)
,
( y
x
określone
powyższymi wzorami nazywamy przekształceniem biegunowym.
Łatwo zauważyć, że jakobian tego przekształcenia
r
r
D
y
x
D
J
=
=
)
,
(
)
,
(
ϕ
.
Współrzędne biegunowe stosujemy głównie wtedy, gdy obszar całkowania jest
ograniczony łukami okręgów o środku w początku układu oraz odcinkami prostych
przechodzących przez początek układu.
Zastosowania geometryczne całek podwójnych
21
Uwaga 5.
Zauważmy, że jeśli podzielimy obszar
2
R
⊂
D
na
n
obszarów
częściowych
i
D
(
n
i
...,
,
1
=
) spełniających warunki z definicji całki podwójnej, w każdym
obszarze wybierzemy punkt
)
,
(
i
i
y
x
i rozważymy walce
{
}
i
i
i
i
D
y
x
y
x
f
z
z
y
x
V
∈
∧
≤
≤
∈
=
)
,
(
)
,
(
0
;
)
,
,
(
3
R
,
n
i
...,
,
1
=
,
to objętość
i
V
każdego z walców
i
V
jest równa
i
i
i
i
D
y
x
f
V
⋅
=
)
,
(
,
n
i
...,
,
1
=
,
(gdzie
−
i
D
oznacza pole obszaru
i
D
), a więc sumy całkowe
∑
=
=
n
i
i
n
V
S
1
.
Zatem możemy podać następującą interpretację geometryczną całki podwójnej:
Całka podwójna funkcji f ciągłej i nieujemnej na domkniętym obszarze regularnym
D jest objętością obszaru przestrzennego
{
}
D
y
x
y
x
f
z
z
y
x
V
∈
∧
≤
≤
∈
=
)
,
(
)
,
(
0
;
)
,
,
(
3
R
,
co zapisujemy
∫∫
=
D
dy
dx
y
x
f
V
)
,
(
.
W
szczególności, gdy funkcja
1
)
,
(
=
y
x
f
dla
D
y
x
∈
)
,
(
, wtedy obszar przestrzenny
V
określony powyżej jest walcem o wysokości 1 i podstawie D . Zatem
D
V
=
, a więc
∫∫
=
D
dy
dx
y
x
f
D
)
,
(
.
Twierdzenie 4.18 (o objętości obszaru przestrzennego)
Jeżeli obszar przestrzenny
V
określony jest następująco:
{
}
D
y
x
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
V
∈
∧
≤
≤
∈
=
)
,
(
)
,
(
)
,
(
;
)
,
,
(
2
1
3
R
oraz funkcje
1
f
i
2
f
są ciągłe na domkniętym, regularnym obszarze D , to objętość
V
obszaru
V
jest równa
(
)
∫∫
−
=
D
dy
dx
y
x
f
y
x
f
V
)
,
(
)
,
(
1
2
.
Definicja 4.19 (Płat powierzchniowy)
Zbiór
punktów
{
}
D
y
x
y
x
f
z
z
y
x
S
∈
∧
=
∈
=
)
,
(
)
,
(
;
)
,
,
(
3
R
, gdzie f jest funkcją
ciągłą na domkniętym obszarze
2
R
⊂
D
, nazywamy płatem powierzchniowym.
Jeżeli ponadto obszar D jest regularny, zaś funkcja f posiada ciągłe pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu na D , to płat powierzchniowy
S
nazywamy regularnym.
Uwaga 6.
Płat powierzchniowy regularny ma tę własność, że w każdym punkcie
posiada płaszczyznę styczną zmieniającą się w sposób ciągły od punktu do punktu.
Twierdzenie 4.20 (pole płata powierzchniowego)
Jeśli
S
jest płatem powierzchniowym regularnym określonym za pomocą funkcji
R
→
D
f
:
(tzn. f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze
domkniętym, regularnym
2
R
⊂
D
), to pole
S
płata powierzchniowego
S
wyraża się
wzorem
22
[
] [
]
dy
dx
y
x
f y
y
x
f x
S
D
∫∫
+
+
=
2
)
,
(
/
2
)
,
(
/
1
.
1.CAŁKI POTRÓJNE
Definicja 4.21 (obszar normalny względem płaszczyzn układu współrzędnych)
Obszar domknięty
3
R
⊂
V
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny
Oxy , jeśli można go zapisać w postaci
{
}
)
,
(
)
,
(
)
,
(
;
)
,
,
(
3
y
x
g
z
y
x
h
D
y
x
z
y
x
V
xy
≤
≤
∧
∈
∈
=
R
,
gdzie
xy
D jest obszarem regularnym na płaszczyźnie Oxy , funkcje
h
i g są ciągłe na
xy
D ,
przy czym
)
,
(
)
,
(
y
x
g
y
x
h
<
dla
)
Int(
)
,
(
xy
D
y
x
∈
.
Można zauważyć, że jeśli
V
obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy , to
obszar płaski
xy
D
jest rzutem obszaru
V
na tę płaszczyznę.
Analogicznie definiuje się obszary przestrzenne normalne względem płaszczyzny
Oxz
oraz obszary normalne względem płaszczyzny
Oyz .
Definicja 4.22 (obszar regularny w przestrzeni)
Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem płaszczyzn układu
współrzędnych o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w
przestrzeni.
Analogicznie jak całkę podwójną na obszarze płaskim D definiuje się całkę potrójną
funkcji trzech zmiennych na obszarze przestrzennym
V
. Całka potrójna ma również podobne
własności jak całka podwójna.
Definicja 4.23 (całka potrójna)
Niech
f
będzie funkcją określoną na domkniętym, regularnym obszarze
3
R
⊂
V
i
niech
n
P
oznacza podział obszaru
V
w dowolny sposób na
n
domkniętych obszarów
częściowych
i
V
odpowiednio o objętościach
i
V
,
n
i
...,
,
1
=
, w ten sposób, aby:
(1) żadne dwa obszary
i
V
,
j
V
dla
j
i
≠ nie miały wspólnych punktów wewnętrznych,
(2)
n
V
V
V
V
∪
∪
∪
=
...
2
1
.
Liczbę
{
}
( )
i
n
i
n
V
δ
δ
...,
,
1
max
∈
=
, gdzie
( )
i
V
δ
oznacza średnicę zbioru
i
V
,
nazywamy średnicą podziału
n
P
.
W każdym obszarze
i
V
wybieramy punkt pośredni )
,
,
(
i
i
i
z
y
x
, (
n
i
...,
,
1
=
), i tworzymy sumę
całkową
∑
=
⋅
=
n
i
i
i
i
i
n
V
z
y
x
f
S
1
)
,
,
(
.
23
Jeżeli dla każdego ciągu
{ }
N
∈
n
n
P
podziałów obszaru
V
na obszary częściowe spełniającego
warunek
0
lim
=
∞
→
n
n
δ
i dla każdego wyboru punktów pośrednich w obszarach częściowych
istnieje ta sama skończona granica ciągu
{ }
N
∈
n
n
S
sum całkowych funkcji f , to granicę tę
nazywamy całką potrójną funkcji
f na obszarze
V
i oznaczamy
∫∫∫
V
dz
dy
dx
z
y
x
f
)
,
,
(
.
Funkcję
f , dla której istnieje całka potrójna na obszarze
V
nazywamy funkcją całkowalną
na obszarze
V
.
Własności całki potrójnej
Twierdzenie
4.24 (Warunek konieczny całkowalności)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na domkniętym, regularnym obszarze
3
R
⊂
V
, to
jest funkcją ograniczoną na tym obszarze.
Twierdzenie 4.25 (Warunek wystarczający całkowalności)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na domkniętym i regularnym obszarze
3
R
⊂
V
, to jest
funkcją całkowalną na obszarze
V
.
Uwaga 7.
Objętość obszaru domkniętego, regularnego
3
R
⊂
V
wyraża się wzorem
=
V
∫∫∫
V
dz
dy
dx
Twierdzenie 4.26
Jeżeli funkcje
f i g są całkowalne na domkniętym, regularnym obszarze
3
R
⊂
V
, to
(1) dla dowolnej liczby
R
∈
k
funkcja
f
k
⋅ jest całkowalna na
V
oraz
∫∫∫
∫∫∫
=
⋅
V
V
dz
dy
dx
z
y
x
f
k
dz
dy
dx
z
y
x
f
k
)
,
,
(
)
,
,
(
;
(2) funkcja
g
f
+ jest też funkcją całkowalną na
V
oraz
[
]
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
=
+
V
V
V
dz
dy
dx
z
y
x
g
dz
dy
dx
z
y
x
f
dz
dy
dx
z
y
x
g
z
y
x
f
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
.
Twierdzenie 4.27
(addytywność całki względem obszaru całkowania)
Załóżmy, że domknięty, regularny obszar
3
R
⊂
V
jest sumą domkniętych regularnych
obszarów
1
V
i
2
V
nie mających wspólnych punktów wewnętrznych. Wówczas funkcja
f jest
24
całkowalna na obszarze
V
wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna na każdym z obszarów
1
V
i
2
V
, przy czym
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+
=
2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
V
V
V
dz
dy
dx
z
y
x
f
dz
dy
dx
z
y
x
f
dz
dy
dx
z
y
x
f
.
Twierdzenie 4.28 (monotoniczność całki potrójnej)
Jeżeli funkcje
f i g są całkowalne na domkniętym regularnym obszarze
3
R
⊂
V
oraz
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
g
z
y
x
f
≤
dla
V
z
y
x
∈
)
,
,
(
, to
∫∫∫
∫∫∫
≤
V
V
dz
dy
dx
z
y
x
g
dz
dy
dx
z
y
x
f
)
,
,
(
)
,
,
(
.
Twierdzenie 4.29
Jeżeli funkcja
f jest funkcją całkowalną na domkniętym i regularnym obszarze
3
R
⊂
V
oraz
M
z
y
x
f
m
≤
≤
)
,
,
(
dla każdego
V
z
y
x
∈
)
,
,
(
,
to
V
M
dz
dy
dx
z
y
x
f
V
m
V
⋅
≤
≤
⋅
∫∫∫
)
,
,
(
.
Definicja 4.30 (Wartość średnia funkcji na obszarze przestrzennym
V
)
Wartością średnią funkcji f na domkniętym, regularnym obszarze
3
R
⊂
V
nazywamy liczbę
∫∫∫
=
V
śr
dz
dy
dx
z
y
x
f
V
f
)
,
,
(
1
:
,
gdzie
−
V
oznacza objętość obszaru
V
.
Twierdzenie 4.31 (o wartości średniej dla całek potrójnych)
Jeżeli funkcja
f jest ciągła na domkniętym, regularnym obszarze
3
R
⊂
V
, to istnieje
taki punkt
V
z
y
x
∈
)
,
,
(
0
0
0
, że
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
f
f
śr
=
.
Twierdzenie 4.32 (o całkach iterowanych)
Jeżeli funkcja
f jest ciągła na domkniętym obszarze
{
}
)
,
(
)
,
(
)
,
(
:
)
,
,
(
3
y
x
g
z
y
x
h
D
y
x
z
y
x
V
xy
≤
≤
∧
∈
∈
=
R
,
normalnym względem płaszczyzny Oxy , gdzie funkcje
h
i g są ciągłe na obszarze
regularnym
2
R
⊂
xy
D
, to
∫∫ ∫
∫∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
xy
D
y
x
g
y
x
h
V
dy
dx
dz
z
y
x
f
dz
dy
dx
z
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
.
Uwaga 8.
25
(a) Prawdziwe są także analogiczne wzory z całkami iterowanymi dla funkcji f na
obszarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn układu współrzędnych.
(b)
Jeżeli obszar
3
R
⊂
V
normalnym względem płaszczyzny Oxy można zapisać w
postaci
{
}
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
:
)
,
,
(
2
1
2
1
3
y
x
h
z
y
x
h
x
g
y
x
g
b
x
a
z
y
x
V
≤
≤
∧
≤
≤
∧
≤
≤
∈
=
R
,
to zachodzi równość
( )
( )
dx
dy
dz
z
y
x
f
dz
dy
dx
z
y
x
f
b
a
x
g
x
g
y
x
h
y
x
h
V
∫ ∫
∫
∫∫∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
.
(c) W szczególnym przypadku, gdy funkcja f jest ciągła na domkniętym
prostopadłościanie
{
}
q
z
p
d
y
c
b
x
a
z
y
x
V
≤
≤
∧
≤
≤
∧
≤
≤
∈
=
:
)
,
,
(
3
R
,
to zachodzi równość
dx
dy
dz
z
y
x
f
dz
dy
dx
z
y
x
f
b
a
d
c
q
p
V
∫ ∫ ∫
∫∫∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
)
,
,
(
)
,
,
(
.
Ponadto ostatnia równość pozostaje prawdziwa, gdy po prawej stronie zmienimy kolejność
całkowania (tzn. napiszemy inny rodzaj całki iterowanej).
26
Zamiana zmiennych w całkach potrójnych
Twierdzenie 4.33 (o zamianie zmiennych w całkach potrójnych)
Niech odwzorowanie
V
U
z
y
x
T
→
=
:
)
,
,
(
,
3
,
R
⊂
V
U
, określone następująco:
)
,
,
(
w
u
x
x
ν
=
)
,
,
(
w
u
y
y
ν
=
)
,
,
(
w
u
z
z
ν
=
odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie wnętrze obszaru domkniętego, regularnego
V
, przy
czym funkcje
x
,
y ,
z mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w
U
. Jeżeli
funkcja
f jest ciągła w obszarze
V
oraz jakobian przekształcenia
T
0
)
,
,
(
)
,
,
(
≠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
w
z
z
u
z
w
y
y
u
y
w
x
x
u
x
w
u
D
z
y
x
D
J
T
ν
ν
ν
ν
wewnątrz obszaru
U
,
to
(
)
∫∫∫
∫∫∫
=
U
T
V
dw
d
du
J
w
u
z
w
u
y
w
u
x
f
dz
dy
dx
z
y
x
f
ν
ν
ν
ν
)
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
)
,
,
(
.
Definicja 4.34 (współrzędne walcowe)
Położenie punktu
)
,
,
(
z
y
x
p
=
w przestrzeni
3
R
można opisać trójką liczb
)
,
,
(
h
r
ϕ
,
gdzie:
−
ϕ
oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu p na
płaszczyznę Oxy a dodatnią częścią osi
Ox
,
π
ϕ
2
0
<
≤
(albo
π
ϕ
π
≤
<
−
),
−
r
oznacza odległość rzutu punktu p na płaszczyznę Oxy od początku układu
współrzędnych,
∞
<
≤ r
0
,
−
h
oznacza odległość punktu p od płaszczyzny Oxy poprzedzoną znakiem ,,+’’ dla
0
>
z
i poprzedzoną znakiem ,,
⎯’’ dla
0
<
z
,
+∞
<
<
∞
−
h
.
Trójkę liczb
)
,
,
(
h
r
ϕ
nazywamy współrzędnymi walcowymi punktu przestrzeni
3
R
.
Uwaga 9.
Zależność między współczynnikami walcowymi i kartezjańskimi podaje
przekształcenie
W
określone wzorami
.
sin
cos
h
z
r
y
r
x
=
=
=
ϕ
ϕ
Powyższe przekształcenie
W
, które punktowi
)
,
,
(
h
r
ϕ
przyporządkowuje punkt
)
,
,
(
z
y
x
nazywamy przekształceniem walcowym. Jakobian tego przekształcenia
r
J
W
= .
27
Definicja 4.35 (współrzędne sferyczne)
Położenie punktu
)
,
,
(
z
y
x
p
=
w przestrzeni
3
R
można opisać trójką liczb
)
,
,
(
r
φ
ϕ
,
gdzie:
−
ϕ
oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu p na
płaszczyznę Oxy a dodatnią częścią osi
Ox
,
π
ϕ
2
0
≤
≤
(albo
π
ϕ
π
≤
≤
−
);
−
φ
oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym punktu p a płaszczyzną
Oxy
,
2
2
π
φ
π
≤
≤
−
;
−
r oznacza odległość punktu p od początku układu współrzędnych,
∞
<
≤ r
0
.
Trójkę liczb
)
,
,
(
r
φ
ϕ
nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu przestrzeni.
Uwaga
10.
Zależność między współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi podaje
przekształcenie
S
przyporządkowujące punktowi
)
,
,
(
r
φ
ϕ
punkt
)
,
,
(
z
y
x
według wzoru
.
sin
cos
sin
cos
cos
φ
φ
ϕ
φ
ϕ
r
z
r
y
r
x
=
=
=
Powyższe przekształcenie
S
nazywamy przekształceniem sferycznym. Jakobian tego
przekształcenia
φ
cos
2
r
J
S
=