ANALIZA MATEMATYCZNA II, Notatki, MATEMATYKA


ANALIZA MATEMATYCZNA II

A. Całka krzywoliniowa niezorientowana z pola skalarnego ciągłego0x01 graphic
, po łuku regularnym0x01 graphic
o opisie parametrycznym0x01 graphic
dla 0x01 graphic
wyraża się wzorem

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
gdzie: 0x01 graphic
wektor styczny do łuku w punkcie 0x01 graphic
. Gdy łuk płaski0x01 graphic
jest dany w postaci wykresu funkcji klasy0x01 graphic
np:0x01 graphic
dla 0x01 graphic
to wektor styczny do łuku w punkcie 0x01 graphic
ma postać 0x01 graphic
i całka krzywoliniowa po tym łuku wyraża się wzorem 0x01 graphic
. Długość łuku regularnego0x01 graphic
o opisie parametrycznym0x01 graphic
dla 0x01 graphic
wyraża się wzorem 0x01 graphic
. Współrzędne środka ciężkości jednorodnego łuku regularnego0x01 graphic
są określone wzorami: 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; gdzie:0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 1.Obliczyć całki krzywoliniowe niezorientowane po wskazanych łukach a)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
brzeg trójkąta o wierzch.0x01 graphic
,0x01 graphic
,0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
b) 0x01 graphic
, gdzie0x01 graphic
okrąg o równaniu 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
c) 0x01 graphic
, gdzie0x01 graphic
odcinek łączący punkty 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
d) 0x01 graphic
, gdzie0x01 graphic
okrąg o równaniu 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
e*) 0x01 graphic
, gdzie0x01 graphic
okrąg powstały z przecięcia sfery o równaniu 0x01 graphic
i płaszczyzny o równaniu 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
f*) 0x01 graphic
, gdzie0x01 graphic
jest częścią wspólną powierzchni stożka0x01 graphic
i walca równaniu 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
2. Obliczyć długość łuku krzywej0x01 graphic
o opisie parametrycznym a) 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
i 0x01 graphic
(wycinek cykloidy) Odp: 0x01 graphic
b) 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
i 0x01 graphic
(wycinek linii śrubowej) Odp: 0x01 graphic
c) 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
i (wycinek spirali) Odp: 0x01 graphic

3. Obliczyć współrzędne środków ciężkości danych jednorodnych łuków: a) wycinka linii śrubowej 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
Odp: 0x01 graphic
b)wycinka linii łańcuchowej0x01 graphic
dla 0x01 graphic
Odp:0x01 graphic
. c) brzeg trójkąta sferycznego 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
. B. Całka krzywoliniowa zorientowana z pola wektorowego ciągłego 0x01 graphic
po łuku0x01 graphic
regularnym zorientowanym o opisie parametrycznym 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
zgodnym z orientacją łuku0x01 graphic
wyraża się wzorem 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
Gdy łuk płaski0x01 graphic
jest dany w postaci wykresu funkcji klasy0x01 graphic
np:0x01 graphic
dla 0x01 graphic
to wektor styczny do łuku w punkcie 0x01 graphic
ma postać 0x01 graphic
i całka krzywo- liniowa zorientowana po tym łuku wyraża się wzorem 0x01 graphic
1.Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych łukach o orientacji zgodnej z parametryzacją a)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
0x01 graphic
dla 0x01 graphic
(wycinek paraboli) Odp: 0x01 graphic
b)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
0x01 graphic
dla 0x01 graphic
(wycinek elipsy) Odp: 0x01 graphic
c)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
0x01 graphic
dla 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
d)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
0x01 graphic
dla 0x01 graphic
Odp: 0x01 graphic
e)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
odcinek o początku0x01 graphic
i końcu 0x01 graphic
Odp: 0x01 graphic
f*)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest krzywą powstałą z przecięcia górnej powierzchni sfery0x01 graphic
i walca0x01 graphic
Odp: 0x01 graphic
. 2.Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych łukach o orientacji zgodnej z parametryzacją a)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach 0x01 graphic
,0x01 graphic
, 0x01 graphic
zorientowanym dodatnio względem wnętrza. Odp: 0x01 graphic
. b)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest okręgiem 0x01 graphic
zorientowanym dodatnio względem wnętrza. Odp: 0x01 graphic
c)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach 0x01 graphic
,0x01 graphic
, 0x01 graphic
zorientowanym 0x01 graphic
Odp: 0x01 graphic

3.Obliczyć pracę w podanych polach sił po wskazanych łukach zorientowanych a)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest odcinkiem o początku w punkcie 0x01 graphic
i końcu w punkcie 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
b)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest łukiem0x01 graphic
o początku w punkcie 0x01 graphic
i końcu w punkcie 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
c)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
odcinek o początku0x01 graphic
i końcu 0x01 graphic
Odp: 0x01 graphic

C. Niech pole wektorowe 0x01 graphic
będzie klasy0x01 graphic
w obszarze0x01 graphic
, którego brzegiem jest krzywa regularna zamknięta0x01 graphic
zorientowana dodatnio względem wnętrza, tego obszaru to wtedy zachodzi wzór Greena 0x01 graphic
Korzystając ze wzoru Greena obliczyć podane całki krzywoliniowe po brzegach0x01 graphic
dodatnio zorientowanych względem wnętrza obszaru0x01 graphic

a) 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
jest brzegiem obszaru 0x01 graphic
ograniczonego krzywymi0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
b) 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
jest brzegiem obszaru 0x01 graphic
Odp: 0x01 graphic
c) 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
jest brzegiem obszaru 0x01 graphic
Odp: 0x01 graphic
d) 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
jest brzegiem obszaru trójkąta0x01 graphic
o wierzchołkach 0x01 graphic
,0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
e) 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
jest brzegiem obszaru 0x01 graphic
Odp: 0x01 graphic

Całki powierzchniowe: A. Całka powierzchniowa niezorientowana z pola skalarnego ciągłego 0x01 graphic
, po płacie regularnym0x01 graphic
o opisie parametrycznym0x01 graphic
dla 0x01 graphic
wyraża się wzorem: 0x01 graphic
0x01 graphic
gdzie: 0x01 graphic
wektor normalny do płata w punkcie 0x01 graphic
Gdy płat0x01 graphic
jest dany w postaci wykresu funkcji klasy0x01 graphic
np:0x01 graphic
dla 0x01 graphic
to wektor normalny do płata 0x01 graphic
w punkcie 0x01 graphic
0x01 graphic
1.Obliczyć całki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych płatach: a) 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
część stożka 0x01 graphic
odciętego płaszczyznami 0x01 graphic
i0x01 graphic
b) 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
część płaszczyzny0x01 graphic
zawartej w pierwszym oktancie. c) 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
część sfery0x01 graphic
odciętej płaszczyznami 0x01 graphic
i0x01 graphic
d)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
część walca0x01 graphic
odciętego płaszczyznami 0x01 graphic
i0x01 graphic
0x01 graphic
e)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
część powierzchni0x01 graphic
odciętej płaszczyznami0x01 graphic
i0x01 graphic
Odp: a) 0x01 graphic
; b) 0x01 graphic
; c) 0x01 graphic
; d) 0x01 graphic
; e)0x01 graphic
. 2. Obliczyć pola powierzchni podanych płatów a) 0x01 graphic
część płaszczyzny0x01 graphic
zawartej w walcu 0x01 graphic
b) 0x01 graphic
część paraboloidy0x01 graphic
odciętej płaszczyzną 0x01 graphic
c) 0x01 graphic
część stożka 0x01 graphic
odciętego płaszczyznami0x01 graphic
i 0x01 graphic
0x01 graphic

Odp: a) 0x01 graphic
; b) 0x01 graphic
; c) 0x01 graphic
; 3. Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnych podanych płatów a) 0x01 graphic
część płaszczyzny 0x01 graphic
zawartej w walcu 0x01 graphic
b) 0x01 graphic
część paraboloidy0x01 graphic
odciętej płaszczyzną 0x01 graphic
c) 0x01 graphic
część stożka 0x01 graphic
odciętego płaszczyznami 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Odp: a)0x01 graphic
; b)0x01 graphic
; c)0x01 graphic
. B. Całka powierzchniowa zorientowana z pola wektorowego ciągłego 0x01 graphic
, po płacie regularnym zorientowanym0x01 graphic
o opisie parametrycznym 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
zgodnym z orientacją płata 0x01 graphic
wyraża się wzorem 0x01 graphic
0x01 graphic
gdzie: 0x01 graphic
wektor normalny do płata w punkcie 0x01 graphic
Gdy płat0x01 graphic
jest dany w postaci wykresu funkcji klasy0x01 graphic
np:0x01 graphic
dla 0x01 graphic
to 0x01 graphic
wektor normalny do płata w punkcie 0x01 graphic
0x01 graphic
1.Obliczyć całki powierzchniowe zorientowane po wskazanych płatach: a) 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
górna część paraboloidy 0x01 graphic
odciętej płaszczyzną 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
. b) 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
dolna część płaszczyzny0x01 graphic
zawarta w pierwszym oktancie. Odp: 0x01 graphic
. c) 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
zewnętrzna strona części walca 0x01 graphic
odciętego płaszczyznami0x01 graphic
i0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
. d) 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
górna część paraboloidy 0x01 graphic
odciętej płaszczyznami 0x01 graphic
i0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
. e) 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
.

C. Niech pole wektorowe będzie 0x01 graphic
będzie klasy0x01 graphic
w obszarze0x01 graphic
, którego brzegiem jest powierzchnia regularna zamknięta0x01 graphic
zorientowana zewnętrznie, wtedy zachodzi wzór Gaussa 0x01 graphic
0x01 graphic
Niech pole wektorowe będzie 0x01 graphic
będzie polem prędkości cieczy na powierzchni zorientowanej0x01 graphic
, wtedy strumień cieczy wypływającej przez tę powierzchnie w jednostce czasu w kierunku zgodnym z orientacją wyraża się wzorem 0x01 graphic
. 1.Korzystając ze wzoru Gaussa obliczyć całki powierzchniowe zorientowane po danych powierzchniach zorientowanych. Sprawdzić otrzymane wyniki obliczając całki bezpośrednio. a) 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest zewnętrzną stroną brzegu obszaru0x01 graphic
ograniczonego sferą 0x01 graphic
. b) 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest zewnętrzną stroną brzegu obszaru0x01 graphic
ograniczonego walcem 0x01 graphic
oraz płaszczyznami0x01 graphic
i0x01 graphic
.

c) 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest zewnętrzną stroną brzegu obszaru 0x01 graphic
ograniczonego stożkiem 0x01 graphic
i płaszczyzną 0x01 graphic
. Odp: a)0x01 graphic
; b) 0x01 graphic
; c) 0x01 graphic
.

2.Obliczyć strumienie podanych pól wektorowych przez podane powierzchnie: a)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest zewnętrzną całkowitą powierzchnią walca 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
. b)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest powierzchnią zewnętrzną sfery 0x01 graphic
. Odp: 0x01 graphic
.

c)0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
jest górną częścią płaszczyzny 0x01 graphic
odciętą płaszczyznami układu współrzędnych. Odp: 0x01 graphic
.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
02 01 11 12 01 57 e notatka analiza matematyczna II kolokwium II
02 01 11 12 01 56 e notatka analiza matematyczna I kolokwium II
02 01 11 12 01 16 e notatka analiza matematyczna II kolokwium I
02 01 11 12 01 57 e notatka analiza matematyczna II kolokwium II
02 01 11 12 01 56 e notatka analiza matematyczna I kolokwium II
02 01 11 12 01 16 e notatka analiza matematyczna II kolokwium I
Z Wykład 15.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Z Ćwiczenia 15.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Z Wykład 19.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Z Wykład 23.02.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Analiza matematyczna 1 notatki
Analiza matematyczna II cz I
analiza matematyczna II, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semest
AM2 2005 T3B, Ubik - Materiały, Semestr II, Analiza Matematyczna 2, underwat, ANTy AM2
ANALIZA MATEMATYCZNA II
Sylabus-WEL-Analiza-matematyczna II Zo, Analiza matematyczna 2 zon ploch
Z Ćwiczenia 26.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Z Ćwiczenia 01.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Zad z egz (matma), gik, semestr 3, Analiza Matematyczna II

więcej podobnych podstron