Notatki do wykªadu z analizy

matematycznej I

Piotr Bartªomiejczyk

opracowali Krzysztof Woyke i Šukasz

Zªotowski

Instytut Matematyki Uniwersytet Gda«ski

Spis tre±ci

Przedmowa

v

Rozdziaª 1. Granice ci¡gów i funkcji

1

1. Granice ci¡gów

1

2. Granice funkcji

2

Rozdziaª 2. Funkcje ci¡gªe

5

1. Denicja ci¡gªo±ci funkcji

5

2. Ci¡gªo±¢ funkcji elementarnych

5

3. Wªasno±ci funkcji ci¡gªych

6

Rozdziaª 3. Rachunek ró»niczkowy jednej zmiennej

9

1. Pochodna funkcji

9

2. Ró»niczka funkcji

10

3. Oblicznie pochodnych

11

4. Pochodne i ró»niczki wy»szych rz¦dów

12

5. Twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego

13

6. Wyra»enia nieoznaczone i reguªa de L'Hospitala

14

7. Ekstrema funkcji

14

8. Wzory Taylora i Maclaurina

15

9. Kryteria na ekstrema

16

10. Wkl¦sªo±¢ i wypukªo±¢ krzywej oraz punkty przegi¦cia

17

Rozdziaª 4. Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej

19

1. Funkcja pierwotna

19

2. Caªka nieoznaczona

20

3. Reguªy caªkowania

21

4. Caªka oznaczona Riemanna i caªki Darboux

22

5. Wªasno±ci caªki oznaczonej Riemanna

23

6. Podstawowe twierdzenia rachunku caªkowego

24

Rozdziaª 5. Funkcje hiperboliczne

27

Bibliograa

29

iii

Przedmowa

Materiaª przedstawiony w tych notatkach byª podstaw¡ wykªadu z

analizy matematycznej na kierunku informatyka w semestrze zimowym

roku akademickiego 2004/2005.

Skªad komputerowy notatek w systemie opracowywania dokumen-

tów L

A

TEX jest dzieªem dwóch studentów ówczesnego pierwszego roku

informatyki: Krzysztofa Woyke oraz Šukasza Zªotowskiego.

Za wszelkie bª¦dy w niniejszych notatkach odpowiada wyª¡cznie ich

autor. Ich obecno±¢ nale»y wyja±ni¢ tym, »e notatki te zostaªy przygo-

towane za pomoc¡ komputera.

Piotr Bartªomiejczyk

Gda«sk

pa»dziernik 2005

v

ROZDZIAŠ 1

Granice ci¡gów i funkcji

1. Granice ci¡gów

Definicja (Cauchy'ego granicy ci¡gu). Liczb¦ g nazywamy gra-

nic¡ ci¡gu fa

n

g, je»eli dla ka»dego " > 0 istnieje taka liczba , »e dla

ka»dego n >  speªniona jest nierówno±¢: ja

n

gj < ". Piszemy wtedy

lim a

n

= g. Zatem pisz¡c symbolicznie:

lim a

n

= g () 8

">0

9



8

n>

ja

n

gj < "

Uwaga. Granic¦ ci¡gu mo»na te» okre±li¢ równowa»nie posªugu-

j¡c si¦ zwrotem ÿprawie wszystkie\ co oznacza wszystkie z wyj¡tkiem

sko«czonej liczby. Mianowicie, lim a

n

= g wtedy i tylko wtedy, gdy w

dowolnym otoczeniu punktu g na osi liczbowej le»¡ prawie wszystkie

wyrazy ci¡gu fa

n

g.

Definicja. Ci¡g, który ma granic¦ nazywamy zbie»nym, a ci¡g

który nie ma granicy nazywamy rozbie»nym.

Uwaga. W±ród ci¡gów rozbie»nych wyró»niamy trzy klasy:

(1) rozbie»ne do 1,

(2) rozbie»ne do +1,

(3) pozostaªe, np. fa

n

g = ( 1)

n

.

Definicja.

lim a

n

= 1 () 8

M

9



8

n>

a

n

< M

lim a

n

= +1 () 8

M

9



8

n>

a

n

> M

Uwaga. Je»eli ci¡g fa

n

g jest zbie»ny, to ci¡g fa

0

n

g powstaªy z fa

n

g

przez usuni¦cie lub doª¡czenie sko«czonej liczby wyrazów te» jest zbie»-

ny oraz lim a

n

= lim a

0

n

.

Twierdzenie. Ci¡g zbie»ny jest ograniczony.
Uwaga. Twierdzenie powy»sze mo»na zapisa¢ tak»e w postaci im-

plikacji:

Je»eli ci¡g fa

n

g jest zbie»ny, to jest ograniczony.

1

Ograniczono±¢ jest zatem warunkiem koniecznym zbie»no±ci ci¡gu, czy-

li zbie»no±¢ poci¡ga za sob¡ ograniczono±¢. Ograniczono±¢ nie jest jed-

nak warunkiem wystarczaj¡cym zbie»no±ci, o czym ±wiadczy przykªad

ci¡gu danego wzorem a

n

= ( 1)

n

, który jest ograniczony, ale nie jest

zbie»ny.

Twierdzenie (o trzech ci¡gach). Je»eli granica ci¡gu fa

n

g jest

równa granicy ci¡gu fc

n

g i granice te wynosz¡ g, a ponadto istnieje taka

liczba 

0

, »e dla ka»dego n > 

0

speªniona jest nierówno±¢: a

n

¬ b

n

¬ c

n

,

to lim b

n

= g.

Twierdzenie (o zachowywaniu nierówno±ci). Je»eli:

(1) lim a

n

= g,

(2) lim b

n

= p,

(3) dla ka»dego n > 

0

speªniona jest nierówno±¢ a

n

¬ b

n

,

to g ¬ p.

Uwaga. Powy»sze twierdzenie orzeka, »e nierówno±¢ sªaba zacho-

wuje si¦ w granicy. Nierówno±¢ mocna (ostra) mo»e si¦ w granicy nie

zachowywa¢ np. nierówno±¢

1

n

<

1

n

jest prawdziwa, ale nierówno±¢

lim

1

n

< lim

1

n

jest faªszywa.

Twierdzenie (warunek Cauchy'ego zbie»no±ci ci¡gu).

fa

n

g jest zbie»ny () 8

">0

9



8

r;s>

ja

r

a

s

j < "

Uwaga. Warunek Cauchy'ego jest dla zbie»no±ci ci¡gu konieczny

()), ale te» wystarczaj¡cy (().

Twierdzenie. Ci¡g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny.
Twierdzenie (o dziaªaniach arytmetycznych na granicach ci¡gów

zbie»nych). Je»eli ci¡gi fa

n

g i fb

n

g s¡ zbie»ne, to ci¡gi fa

n

+b

n

g, fa

n

b

n

g, fa

n

b

n

g, f

a

n

b

n

g(w przypadku ilorazu zakªadamy dodatkowo: 8

n

b

n

6=

0) s¡ tak»e zbie»ne oraz zachodz¡ wzory:

(1) lim (a

n

+ b

n

) = lim a

n

+ lim b

n

,

(2) lim (a

n

b

n

) = lim a

n

lim b

n

,

(3) lim (a

n

b

n

) = lim a

n

lim b

n

,

(4) lim (

a

n

b

n

) =

lim a

n

lim b

n

(o ile 8

n

b

n

6= 0 oraz lim b

n

6= 0).

2. Granice funkcji

2.1. Poj¦cie granicy funkcji. Niech funkcja f o warto±ciach rze-

czywistych b¦dzie okre±lona w pewnym s¡siedztwie S punktu x

0

. War-

to±¢ f(x

0

) mo»e nie by¢ okre±lona.

2

Definicja (Heinego granicy funkcji w punkcie). Liczb¦ g nazy-

wamy granic¡ funkcji f w punkcie x

0

, je»eli dla ka»dego ci¡gu fx

n

g

o wyrazach x

n

2 S, zbie»nego do x

0

, ci¡g ff(x

n

)g jest zbie»ny do g:

Stosujemy wtedy zapis: lim

x!x

0

f(x) = g

Definicja (Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie).

lim

x!x

0

f(x) = g () 8

">0

9

>0

8

x



(0 < jx x

0

j < ) ) (jf(x) gj < ")



Uwaga. Denicje Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie

x

0

s¡ równowa»ne, a w dowodzie tej równowa»no±ci wykorzystuje si¦ w

istotny sposób aksjomat wyboru.

Twierdzenie (o dziaªaniach arytmetycznych na granicach funk-

cji). Je»eli lim

x!x

0

f(x) = g i lim

x!x

0

h(x) = p, to:

(1) lim

x!x

0



f(x)  h(x)



= g  p

(2) lim

x!x

0



f(x)h(x)



= g
p

(3) lim

x!x

0



f(x)

h(x)



=

g

p

, o ile p 6= 0

Twierdzenie (o granicy funkcji zªo»onej). Je»eli lim

x!x

0

f(x) = y

0

(f(x) 6= y

0

dla ka»dego x z pewnego s¡siedztwa punktu x

0

) oraz lim

y!y

0

h(y) =

g, to:

lim

x!x

0

h



f(x)



= g:

2.2. Granice niewªa±ciwe. Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ w

pewnym s¡siedztwie S punktu x

0

.

Definicja (Heinego). Funkcja f ma w punkcie x

0

granic¦ niewªa-

±ciw¡

1

+1

je»eli dla ka»dego ci¡gu fx

n

g o wyrazach x

n

2 S zbie»nego do x

0

, ci¡g

ff(x

n

)g jest rozbie»ny odpowiednio do

1

+1

Oznaczenia:

lim

x!x

0

f(x) = 1

lim

x!x

0

f(x) = +1

Definicja (Cauchy'ego).

lim

x!x

0

f(x) = 1 () 8

M

9

>0

8

x



(0 < jx x

0

j < ) ! (f(x) < M)



lim

x!x

0

f(x) = +1 () 8

M

9

>0

8

x



(0 < jx x

0

j < ) ! (f(x) > M)



3

2.3. Granice jednostronne. Je»eli w okre±leniu granicy funkcji

w punkcie zast¡pimy s¡siedztwo S punktu x

0

s¡siedztwem lewostron-

nym (prawostronnym) tego punktu, to otrzymamy denicj¦ granicy

lewostronnej (prawostronnej) funkcji f w punkcie x

0

. Granice te nazy-

wamy jednostronnymi i oznaczamy: lim

x!x

0

f(x) = g oraz lim

x!x

+

0

f(x) = g:

Definicja (Cauchy'ego (przykªadowa)).

lim

x!x

+

0

f(x) = +1 () 8

M

9

>0

8

x



(0 < x x

0

< ) ) (f(x) > M)



2.4. Granice funkcji w niesko«czono±ci. Niech funkcja f b¦-

dzie okre±lona w przedziale (a; +1).

Definicja (Heinego). Funkcja f posiada w +1 granic¦ g, je»eli

dla ka»dego ci¡gu fx

n

g o wyrazach x

n

2 (a; +1) rozbie»nego do +1,

ci¡g ff(x

n

)g jest zbie»ny do g.

Definicja (Cauchy'ego).

lim

x!+1

f(x) = g () 8

">0

9



8

x

[(x > ) ) (jf(x) gj < ")]

Uwaga. Podobnie deniujemy granic¦ niewªa±ciw¡ w +1 oraz

granice (wªa±ciwe i niewªa±ciwe) w 1.

4

ROZDZIAŠ 2

Funkcje ci¡gªe

1. Denicja ci¡gªo±ci funkcji

Niech funkcja rzeczywista f b¦dzie okre±lona w pewnym otoczeniu

punktu x

0

.

Definicja. Funkcj¦ f nazywamy ci¡gª¡ w punkcie x

0

, je»eli:

lim

x!x

0

f(x) = f(x

0

):

Uwaga. Ci¡gªo±¢ funkcji f w punkcie x

0

charakteryzuje koniunkcja

trzech warunków:

(1) istnieje f(x

0

),

(2) istnieje lim

x!x

0

f(x),

(3) zachodzi równo±¢ lim

x!x

0

f(x) = f(x

0

) (równo±¢ t¦ mo»emy rów-

nie» zapisa¢ jako lim

h!0

f(x

0

+ h) = f(x

0

)).

Poniewa» znamy dwie równowa»ne denicje granicy funkcji w punkcie

x

0

, mo»emy poda¢ dwie równowa»ne denicje ci¡gªo±ci.

Definicja (Heinego). Funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x

0

() 8

fx

n

g

(lim x

n

= x

0

! lim f(x

n

) = f(x

0

)

Definicja (Cauchy'ego). Funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x

0

() 8

">0

9

>0

8

x

[(jx x

0

j < ) ! (jf(x) f(x

0

)j < ")]

Uwaga. Z twierdzenia o dziaªaniach arytmetycznych na granicach

funkcji wynika, »e suma, ró»nica, iloczyn i iloraz funkcji ci¡gªych w

pewnym punkcie jest funkcj¡ ci¡gª¡ w tym punkcie (ze zwykªymi za-

strze»eniami dotycz¡cymi ilorazu).

2. Ci¡gªo±¢ funkcji elementarnych

 Funkcja staªa f(x) = c oraz funkcja to»samo±ciowa g(x) = x

s¡ ci¡gªe w ka»dym punkcie.

 Ka»dy wielomian W (x) jest funkcj¡ ci¡gª¡ w dowolnym punk-

cie.

5

 Funkcja wymierna jest ci¡gªa w ka»dym punkcie swojej dzie-

dziny.

 Funkcje trygonometryczne sin x; cos x; tg x; ctg x s¡ ci¡gªe w

ka»dym punkcie dziedziny.

 Funkcja wykªadnicza jest ci¡gªa w ka»dym punkcie.

Definicja. Funkcja jest ci¡gªa w przedziale otwartym (sko«czo-

nym lub nie), je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie tego przedziaªu.

Definicja. Funkcja f jest:

prawostronnie

lewostronnie

ci¡gªa w punkcie x

0

, je»eli speªniony jest warunek

lim

x!x

0+

f(x) = f(x

0

)

lim

x!x

0

f(x) = f(x

0

)

Definicja. Funkcja jest ci¡gªa w przedziale domkni¦tym ha; bi,

je»eli speªnia nast¦puj¡ce warunki:

 jest ci¡gªa w przedziale (a; b),

 prawostronnie ci¡gªa w a,

 lewostronnie ci¡gªa w b.

3. Wªasno±ci funkcji ci¡gªych

Twierdzenie (o ci¡gªo±ci funkcji odwrotnej). Funkcja odwrotna

do funkcji ci¡gªej i rosn¡cej (malej¡cej) jest ci¡gªa i rosn¡ca (malej¡ca).

Twierdzenie (o ci¡gªo±ci funkcji zªo»onej). Je»eli funkcja f(x)

jest ci¡gªa w punkcie x

0

oraz funkcja h(u) jest ci¡gªa w punkcie u

0

=

f(x

0

) to funkcja zªo»ona h[f(x)] jest ci¡gªa w punkcie x

0

.

Twierdzenie (o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ci¡-

gªej). Je»eli istnieje granica wªa±ciwa lim

x!x

0

f(x) = g i funkcja h(u) jest

ci¡gªa w punkcie u

0

= g to:

lim

x!x

0

h[f(x)] = h[ lim

x!x

0

f(x)] = h(g)

Twierdzenie (o lokalnym zachowaniu znaku). Je»eli funkcja f(x)

jest ci¡gªa w punkcie x

0

oraz f(x

0

) > 0 (f(x

0

) < 0), to istnieje takie

otoczenie U punktu x

0

, »e dla ka»dego x 2 U speªniona jest nierówno±¢

f(x) > 0 (f(x) < 0).

Twierdzenie (Weierstrassa). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w prze-

dziale domkni¦tym ha; bi; to jest w nim ograniczona oraz istniej¡ w tym

przedziale takie dwa punkty c

1

; c

2

, »e :

f(c

1

) = infff(x) : x 2 ha; big oraz f(c

2

) = supff(x) : x 2 ha; big:

6

Uwaga. W podr¦cznikach analizy matematycznej wyst¦puj¡ cza-

sami dwa twierdzenia Weierstrassa dotycz¡ce funkcji ci¡gªych, co jest

zwi¡zane z tym, »e teza tego twierdzenia w powy»szym sformuªowaniu

stanowi koniunkcj¦ dwóch warunków. I tak tzw. pierwsze twierdzenie

Weierstrassa mówi, »e funkcja ci¡gªa w przedziale domkni¦tym i ograni-

czonym jest ograniczona, a tzw. drugie twierdzenie Weiertrassa mówi,

»e funkcja ci¡gªa w przedziale domkni¦tym i ograniczonym osi¡ga w

tym przedziale swe kresy górny i dolny.

Twierdzenie (Cantora). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedzia-

le domkni¦tym ha; bi, to dla ka»dego " > 0 istnieje taka  > 0, »e

dla ka»dych dwóch liczb x

1

; x

2

z tego przedziaªu speªniaj¡cych warunek

jx

1

x

2

j <  speªniona jest nierówno±¢ jf(x

1

) f(x

2

)j < ".

Uwaga. Podkre±lamy, »e liczba  > 0 o której mowa w tezie twier-

dzenia Cantora jest niezale»na od x

1

; x

2

z przedziaªu ha; bi. Wªasno±ci

funkcji ci¡gªej, o której mowa w tezie twierdzenia Cantora nosi nazw¦

jednostajnej ci¡gªo±ci.

Definicja. Funkcj¦ f nazywamy jednostajnie ci¡gª¡ w przedziale

X, je»eli:

8

">0

9

>0

8

x

1

2X

8

x

2

2X



jx

1

x

2

j <  ! (jf(x

1

) f(x

2

)j < "



St¡d twierdzenie Cantora mo»na sformuªowa¢ równowa»nie:
Twierdzenie (Cantora). Ka»da funkcja ci¡gªa w przedziale do-

mkni¦tym i ograniczonym jest w tym przedziale jednostajnie ci¡gªa.

Twierdzenie (wªasno±¢ Darboux). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w

przedziale ha; bi, f(a) 6= f(b) oraz liczba q jest pomi¦dzy f(a) i f(b), to

istnieje taki punkt c 2 (a; b), »e f(c) = q.

Uwaga. Powy»sze twierdzenie nazywamy te» twierdzeniem o przyj-

mowaniu warto±ci po±redniej, maj¡c na my±li »e funkcja f przyjmuje

w przedziale (a; b) ka»d¡ warto±¢ po±redni¡ pomi¦dzy f(a) i f(b).

Poni»szy wniosek stanowi szczególny przypadek ostatniego twier-

dzenia.

Wniosek (twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego). Je»eli funkcja f jest

ci¡gªa w przedziale ha; bi, a ponadto f(a)
f(b) < 0 (tzn. warto±ci s¡

ró»nych znaków na ko«cach przedziaªu), to wewn¡trz tego przedziaªu

istnieje taki punkt c 2 (a; b), »e f(c) = 0.

7

ROZDZIAŠ 3

Rachunek ró»niczkowy jednej zmiennej

1. Pochodna funkcji

Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ w otoczeniu U punktu x

0

. Symbolem

x oznaczamy przyrost zmiennej niezale»nej x, który mo»e by¢ dodatni

(
x > 0) albo ujemny (
x < 0), lecz ró»ny od zera i taki, »e

x

0

+
x 2 U:

Przyrostowi
x odpowiada przyrost
y tj. przyrost warto±ci funkcji

y = f(x

0

+
x) f(x

0

);

który mo»e by¢ dodatni, ujemny albo równy zeru. Zamiast
y piszemy

te»
f.

Definicja. Iloraz ró»nicowy funkcji f w punkcie x

0

i dla przyrostu

zmiennej niezale»nej
x jest to stosunek

f(x

0

+
x) f(x

0

)

x

:

Definicja. Granic¦ (wªa±ciw¡) ilorazu ró»nicowego

y

x

, gdy
x ! 0,

nazywamy pochodn¡ funkcji f w punkcie x

0

i oznaczamy symbolem

f

0

(x

0

). Symbolicznie:

f

0

(x

0

) = lim

x!0

f(x

0

+
x) f(x

0

)

x

Uwaga. Je»eli pochodna funkcji f istnieje w ka»dym punkcie pew-

nego zbiory X, to ka»dej liczbie x

0

2 X przyporz¡dkowana jest jedno-

znacznie liczba f

0

(x

0

), a wi¦c na zbiorze X okre±lona jest nowa funkcja,

zwana funkcj¡ pochodn¡ funkcji f i oznaczana symbolem f

0

. Nale»y

rozró»nia¢:

 funkcj¦ pochodn¡ f

0

,

 pochodn¡ w pewnym ustalonym punkcie, która jest liczb¡, a

±ci±le warto±ci¡ funkcji pochodnej w tym punkcie.

Definicja (pochodna lewostronna).

f

0

(x

0

)

def

= lim

x!0

f(x

0

+
x) f(
x)

x

9

Definicja (pochodna prawostronna).

f

0

(x

+

0

)

def

= lim

x!0

+

f(x

0

+
x) f(
x)

x

Uwaga. Mówimy, »e f ma pochodn¡ w przedziale domkni¦tym,

je»eli ma pochodn¡ w przedziale otwartym oraz odpowiednie pochodne

jednostronne w ko«cach przedziaªu.

2. Ró»niczka funkcji

Twierdzenie (o przedstawieniu przyrostu funkcji). Je»eli funkcja

f okre±lona w pewnym otoczeniu U punktu x

0

, ma pochodn¡ f

0

(x

0

), to

dla ka»dego przyrostu
x takiego, »e x

0

+
x 2 U, odpowiadaj¡cy mu

przyrost funkcji

f = f(x

0

+
x) f(x

0

)

mo»na przedstawi¢ nast¦puj¡co:

f = f

0

(x

0

)
x + 
x

przy czym  ! 0, gdy
x ! 0.

Wniosek. Je»eli funkcja f ma w punkcie x

0

pochodn¡, to jest w

tym punkcie ci¡gªa.

Uwaga. Funkcja ci¡gªa w pewnym punkcie mo»e nie mie¢ w tym

punkcie pochodnej, np. f(x) = jxj w punkcie x

0

= 0.

Definicja. Funkcj¦ f nazywamy ró»niczkowaln¡ w punkcie x

0

,

je»eli jej przyrost
f = f(x

0

+
x)

f(x

0

) mo»na dla ka»dego
x

dostatecznie bliskiego zeru przedstawi¢ w postaci

f = A
x + 
x

gdzie A jest staª¡, a  pewn¡ funkcj¡ przyrostu
x tak¡, »e lim

x!0

 = 0.

Twierdzenie. Funkcja f ma pochodn¡ w punkcie x

0

wtedy i tylko

wtedy, gdy f jest ró»niczkowalna w punkcie x

0

.

Definicja. Ró»niczk¡ funkcji f w punkcie x

0

i dla przyrostu
x

zmiennej niezale»nej x nazywamy iloczyn

f

0

(x

0

)

x:

Ró»niczk¦ oznaczamy symbolem df(x

0

) b¡d¹ krótko df lub dy. Mamy

wi¦c:

df(x

0

)

def

=f

0

(x

0

)
x lub krótko dy

def

=f

0

(x

0

)
x:

10

3. Oblicznie pochodnych

Twierdzenie (wzory na pochodne). Zachodz¡ nast¦puj¡ce wzory

na ró»niczkowanie tj. obliczanie pochodnych :

funkcja

pochodna

1. y = c = const y

0

= 0

2. y = x

n

y

0

= nx

n 1

3. y = a

x

y

0

= a

x

ln a

4. y = e

x

y

0

= e

x

5. y = sin x

y

0

= cos x

6. y = cos x

y

0

= sin x

Twierdzenie (o dziaªaniach arytmetycznych na pochodnych). Na-

st¦puj¡ce wzory dotycz¡ ró»niczkowania sumy, ró»nicy, iloczynu i ilo-

razu dwóch funkcji y = f(x) i z = g(x), rózniczkowalnych w danym

punkcie x:

d(y  z)

dx

=

dy
dx



dz

dx

;

d(yz)

dx

=

dy
dx

z + y

dz

dx

;

d(

y

z

)

dx

=

dy

dz

z y

dz

dx

z

2

(o ile z 6= 0):

Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej). Je»eli funkcja x =

g(y) jest ±ci±le monotoniczna i posiada pochodn¡ g

0

(y) 6= 0, to funkcja

y = f(x) odwrotna do niej posiada pochodn¡

f

0

(x) =

1

g

0

(y)

;

przy czym y = f(x).

Twierdzenie (dalsze wzory na pochodne). Zachodz¡ nast¦puj¡ce

wzory na pochodne :

11

funkcja

pochodna

1. y = log

a

x

y

0

=

1

x ln a

2. y = ln x

y

0

=

1

x

3. y = arc sin x y

0

=

1

p

1 x

2

4. y = arc cos x y

0

=

1

p

1 x

2

5. y = arc tg x y

0

=

1

p

1+x

2

6. y = arc tg x y

0

=

1

p

1+x

2

Twierdzenie (o pochodnej funkcji zªo»onej). Je»eli funkcja u =

h(x) ma pochodn¡ h

0

(x), natomiast funkcja y = f(u) ma pochodn¡

f

0

(u), to funkcja zªo»ona g(x) = f[h(x)] ma pochodn¡ równ¡

g

0

(x) = f

0

(h(x))
h

0

(x):

Ostatni wzór mo»na te» zapisa¢ w postaci

dy
dx

=

dy
du

du
dx

:

4. Pochodne i ró»niczki wy»szych rz¦dów

Je»eli pochodna f

0

funkcji f jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡, to jej po-

chodn¡ nazywamy pochodn¡ drugiego rz¦du (krótko: drug¡ pochodn¡)

funkcji f i oznaczamy f

00

.

Mamy wi¦c:

f

00def

=(f

0

)

0

Podobnie okre±lamy pochodne wy»szych rz¦dów:

f

(n)def

=[f

(n 1)

]

0

Definicja. Je»eli funkcja f posiada w pewnym punkcie (lub zbiorze

punktów) pochodn¡ rz¦du n, to mówimy, »e jest w tym punkcie (zbiorze

punktów) n-krotnie ró»niczkowalna.
Niech f b¦dzie funkcj¡ (n 1)-krotnie ró»niczkowaln¡ w pewnym oto-

czeniu punktu x

0

i n-krotnie ró»niczkowalna w punkcie x

0

. Przypomnij-

my, »e dx =
x.

Definicja. Ró»niczk¡ rz¦du n funkcji f w punkcie x

0

i dla przyro-

stu (ró»niczki) dx zmiennej niezale»nej x nazywamy ró»niczk¦ ró»niczki

rz¦du (n 1), obliczonej dla tej funkcji przy tej samej warto±ci dx. Ró»-

niczk¦ rz¦du n (krótko n-t¡ ró»niczk¦) oznaczamy symbolem d

n

f(x

0

)

lub krótko d

n

y.

12

Uwaga. Korzystaj¡c z indukcji ªatwo udowodni¢, »e:

d

n

f(x

0

) = f

(n)

(x

0

)dx

n

gdzie dx

n

= (dx)

n

.

Uwaga. Podobnie metod¡ indukcji dowodzimy wzór Leibniza.

Niech y = f(x) i z = g(x) b¦d¡ funkcjami n-krotnie ró»niczkowalnymi.

Wtedy:

(yz)

n

= y

(n)

z+

n

1

!

y

(n 1)

z

0

+

n

2

!

y

(n 2)

z

00

+: : :+yz

(n)

=

n

X

k=0

n
k

!

y

(n k)

z

(k)

5. Twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego

Twierdzenie (Rolle'a). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedziale

ha; bi i ró»niczkowalna (tzn. ma pierwsz¡ pochodn¡) wewn¡trz tego prze-

dziaªu oraz f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c 2 (a; b), »e f

0

(c) = 0:

Uwaga. Twierdzenie Rolle'a ma posta¢ implikacji, której poprzed-

nikiem jest koniunkcja trzech warunków:

 ci¡gªo±¢ f w ha; bi,

 ró»niczkowalno±¢ w (a; b),

 f(a) = f(b).

Twierdzenie (o przyrostach, o warto±ci ±redniej, Lagrange'a). Je-

»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedziale domkni¦tym o ko«cach x

0

i x oraz

ma pierwsz¡ pochodn¡ wewn¡trz tego przedziaªu, to istnieje taki punkt

c le»¡cy mi¦dzy x

0

i x, »e:

f(x) f(x

0

) = f

0

(c)(x x

0

)

Uwaga. Liczba x mo»e by¢ zarówno mniejsza jak i wi¦ksza od x

0

.

Uwaga. Wzór z tezy twierdzenia Lagrange'a mo»na zapisa¢ na

wiele sposobów:

(1) f(x) f(x

0

) = f

0

(x

0

+ (x x

0

))
(x x

0

),

gdzie c = x

0

+ (x x

0

) czyli  =

c x

0

x x

0

przy czym  2 (0; 1).

(2) f(x) f(x

0

) = f

0

(x

0

+ 
x)
x,

gdzie
x = x x

0

.

(3) f(x

0

+
x) f(x

0

) = f

0

(x

0

+ 
x)
x,

(4)
f = f

0

(x

0

+ 
x)
x,

gdzie
f = f(x

0

+
x) f(x

0

).

Wniosek (pierwszy z twierdzenia Lagrange'a). Je»eli 8

x2(a;b)

f

0

(x) =

0, to f jest staªa w tym przedziale.

13

Wniosek (drugi z twierdzenie Lagrange'a). Je»eli 8

x2(a;b)

f

0

(x) > 0,

to f jest rosn¡ca w tym przedziale.

Uwaga. Podobnie je±li stale f

0

(x) < 0, to f jest malej¡ca.

Twierdzenie (uogólnione o warto±ci ±redniej, Cauchy'ego). Je»eli

(1) funkcje f i h s¡ ci¡gªe w ha; bi i ró»niczkowalne w (a; b),

(2) h

0

(x) 6= 0 dla x 2 (a; b),

to

f(b) f(a)

h(b) h(a)

=

f

0

(c)

h

0

(c)

dla pewnego c 2 (a; b):

Uwaga. Wzór z tezy twierdzenia Cauchy'ego redukuje si¦ do wzo-

ru z tezy twierdzenia Lagrange'a, gdy podstawimy h(x) = x. Zatem

twierdzenie Cauchy'ego stanowi uogólnienie twierdzenia Lagrange'a.

6. Wyra»enia nieoznaczone i reguªa de L'Hospitala

Twierdzenie (reguªa de L'Hospitala). Je»eli

(1) funkcje f i h s¡ ci¡gªe w ha; bi i ró»niczkowalne w (a; b),

(2) f(a) = h(a) = 0,
(3) istnieje granica lim

x!a

+

f

0

(x)

h

0

(x)

(wªa±ciwa lub nie),

to istnieje te» granica lim

x!a

+

f(x)

h(x)

i obie te granice s¡ równe, to jest

lim

x!a

+

f(x)
h(x)

= lim

x!a

+

f

0

(x)

h

0

(x)

:

Uwaga. Twierdzenie H jest równie» prawdziwe w przypadku:

 granic lewostronnych,

 granic w niesko«czono±ci,

 granic niewªa±ciwych.

7. Ekstrema funkcji

Niech funkcja f b¦dzie okre±lona w pewnym otoczeniu punktu x

0

.

Definicja. Mówimy, »e funkcja f ma w punkcie x

0

maksimum

minimum

lokalne, je»eli istnieje taka liczba  > 0, »e dla ka»dego

x 2 S(x

0

; ) = (x

0

; x

0

) [ (x

0

; x

0

+ ) speªniona jest nierówno±¢

f(x) ¬ f(x

0

)

f(x) ­ f(x

0

)

Je»eli zamiast nierówno±ci sªabych speªnione s¡ nierówno±ci mocne

14

f(x) < f(x

0

)

f(x) > f(x

0

)

to maksimum (minimum) lokalne nazywamy wªa±ciwym.

Maksima i minima nazywamy ekstremami.

Twierdzenie (Fermata). Je»eli funkcja f ma w punkcie x

0

eks-

tremum i ma w tym punkcie pierwsz¡ pochodn¡, to f

0

(x

0

) = 0.

Uwaga. Je»eli f

0

(x

0

) = 0, to x

0

nazywamy punktem stacjonarnym

(krytycznym) funkcji f. Warunek f

0

(x

0

) = 0 jest warunkiem koniecz-

nym na to, aby funkcja f ró»niczkowalna w punkcie x

0

, miaªa w tym

punkcie ekstremum. Warunek ten nie jest jednak wystarczaj¡cy na co

wskazuje nast¦puj¡cy przykªad: f(x) = x

3

, x

0

= 0.

Uwaga. Powy»szego twierdzenia nie nale»y myli¢ z tzw. wielkim

twierdzeniem Fermata, które mówi, »e równanie x

n

+ y

n

= z

n

; gdzie

n 2 N i n > 2, nie ma rozwi¡za« w zbiorze liczb naturalnych.

Twierdzenie (I warunek wystarczaj¡cy ekstremum). Je»eli funk-

cja f jest ci¡gªa w punkcie x

0

, a ponadto posiada pochodn¡ f

0

w pewnym

s¡siedztwie S(x

0

; ), przy czym

f

0

(x) < 0 (> 0) dla x

0

 < x < x

0

;

f

0

(x) > 0 (< 0) dla x

0

< x < x

0

+ ;

to funkcja ta ma w punkcie x

0

minimum (maksimum) wªa±ciwe.

8. Wzory Taylora i Maclaurina

Twierdzenie (Taylora). Je»eli funkcja f ma ci¡gªe pochodne do

rz¦du (n 1) wª¡cznie w przedziale domkni¦tym o ko«cach x

0

i x oraz

ma pochodn¡ rz¦du n wewn¡trz tego przedziaªu, to istnieje taki punkt

c, le»¡cy mi¦dzy x

0

i x, »e

f(x) f(x

0

) =

n 1

X

k=1

f

(k)

(x

0

)

k!

(x x

0

)

k

+

f

(n)

(c)

n!

(x x

0

)

n

Uwaga. We wzorze Taylora mo»e by¢ zarówno x < x

0

jak i x > x

0

.

W przypadku n = 1, twierdzenie Taylora redukuje si¦ do twierdzenia

Lagrange'a. Je»eli oznaczymy
f = f(x) f(x

0

) oraz dx = x x

0

, to

wzór Taylora mo»na zapisa¢

f = df(x

0

) +

d

2

f(x

0

)

2!

+ : : : +

d

(n 1)

f(x

0

)

(n 1)!

+

d

n

f(c)

n!

gdzie d

k

f(x

0

) jest k-t¡ ró»niczk¡ funkcji f w punkcie x

0

dla ró»niczki

dx zmiennej niezale»nej x, a d

n

f(c) = f

(n)

(c)dx

n

.

15

Niekiedy wygodnie jest zapisa¢ wzór Taylora wprowadzaj¡c oznaczenie

h = x x

0

, mianowicie :

f(x

0

+ h) f(x

0

) =

f

0

(x

0

)

1!

h + : : : +

f

(n 1)

(x

0

)

(n 1)!

h

n 1

+

f

n

(c)

n!

h

n

Ostatni skªadnik po prawej stronie wzoru Taylora nazywamy reszt¡

wzoru Taylora i oznaczamy symbolem R

n

. Mamy :

R

n

=

f

(n)

(c)

n!

(x x

0

)

n

=

f

(n)

(x

0

+ h)

n!

h

n

;

gdzie h = x x

0

, c = x

0

+ h przy  2 (0; 1).

Uwaga. W przypadku x

0

= 0 wzór Taylora nazywamy wzorem

Maclaurina. Ma on posta¢ :

f(x) =

n 1

X

k=0

f

(k)

(0)

k!

x

k

+ R

n

;

przy czym R

n

=

f

(n)

(c)

n!

x

n

.

Warto±¢ x mo»e by¢ zarówno dodatnia jak i ujemna. Punkt c jest po-

ªo»ony mi¦dzy 0 i x.

Pomijaj¡c reszt¦, otrzymujemy wzór przybli»ony

f(x) 

n 1

X

k=0

f

(k)

(0)

k!

x

k

;

w którym bª¡d równy jest warto±ci R

n

.

9. Kryteria na ekstrema

Twierdzenie (II warunek wystarczaj¡cy ekstremum). Je»eli funk-

cja f ma w pewnym otoczeniu U(x

0

; ) punktu x

0

pochodne do rz¦du n

wª¡cznie, pochodna f

(n)

jest ci¡gªa w punkcie x

0

, n jest liczb¡ parzy-

st¡, a ponadto f

(k)

(x

0

) = 0 dla k = 1; 2; : : : ; n

1 oraz f

(n)

(x

0

) 6= 0,

to funkcja f ma w punkcie x

0

maksimum wªa±ciwe, gdy f

(n)

(x

0

) < 0,

natomiast minimum wªa±ciwe, gdy f

(n)

(x

0

) > 0.

Uwaga. Z powy»szego twierdzenia korzystamy najcz¦±ciej w przy-

padku n = 2. Brzmi ono wówczas :

Je»eli f ma w pewnym otoczeniu punktu x

0

drug¡ pochodn¡, która jest

ci¡gªa w tym punkcie, a ponadto f

0

(x

0

) = 0 i f

00

(x

0

) 6= 0, to f ma w

punkcie x

0

maksimum (minimum) wªa±ciwe, gdy f

00

(x

0

) < 0 (f

00

(x

0

) >

0).

16

10. Wkl¦sªo±¢ i wypukªo±¢ krzywej oraz punkty przegi¦cia

Zakªadamy, »e funkcja f ma w przedziale (a; b) drug¡ pochodn¡ ci¡gª¡.

Definicja. Krzywa o równaniu y = f(x) nazywa si¦

wypukªa

wkl¦sªa

w przedziale (a; b), je»eli jest poªo»ona

pod

nad

styczn¡ poprowadzon¡ do niej w dowolnym punkcie o odci¦tej z tego

przedziaªu.

Uwaga. Zauwa»my, »e krzywa y = f(x) le»y pod styczn¡ do tej

krzywej poprowadzon¡ w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»-

dego x 2 (a; b) n fx

0

g rz¦dna punktu A = (x; y

A

) na stycznej jest

wi¦ksza od rz¦dnej punktu B = (x; y

B

) na krzywej y = f(x). Mamy

wi¦c

y

A

= f(x

0

) + f

0

(x

0

)(x x

0

)

y

B

= f(x

0

) + f

0

(x

0

)(x x

0

) +

f

00

(c)

2!

(x x

0

)

2

czyli

y

B

= y

A

+

f

00

(c)

2!

(x x

0

)

2

, gdzie c - punkt po±redni.

Twierdzenie (warunek dostateczny wypukªo±ci). Je»eli f

00

(x) < 0

dla ka»dego x 2 (a; b), to krzywa o równaniu y = f(x) jest w przedziale

(a; b) wypukªa. Podobnie, je»eli stale f

00

(x) > 0, to krzywa y = f(x)

jest wkl¦sªa.

Uwaga. Warunek f

00

(x) < 0 dla x 2 (a; b) jest warunkiem wy-

starczaj¡cym wypukªo±ci krzywej y = f(x), ale nie jest warunkiem

koniecznym, o czym ±wiadczy przykªad: f(x) = x

4

.

Definicja. Punkt P

0

(x

0

; f(x

0

)) nazywamy punktem przegi¦cia krzy-

wej o równaniu y = f(x), je»eli krzywa ta jest wkl¦sªa w pewnym

lewostronnym s¡siedztwie punktu x

0

i wypukªa w pewnym jego prawo-

stronnym s¡siedztwie albo na odwrót.

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegi¦cia).

Warunkiem koniecznym na to, aby punkt P

0

(x

0

; f(x

0

)) byª punktem

przegi¦cia krzywej y = f(x), jest f

00

(x

0

) = 0.

Uwaga. Podany warunek nie jest wystarczaj¡cy na co wskazuje

przykªad : y = x

4

.

17

Twierdzenie (warunek wystarczaj¡cy istnienia punktu przegi¦-

cia). Warunkiem wystarczaj¡cym na to, aby punkt P

0

(x

0

; f(x

0

)) byª

punktem przegi¦cia krzywej o równaniu y = f(x) jest

f

00

(x) < 0 dla x < x

0

i f

00

(x

0

) = 0 i f

00

(x) > 0 dla x > x

0

albo

f

00

(x) > 0 dla x < x

0

i f

00

(x

0

) = 0 i f

00

(x) < 0 dla x > x

0

dla ka»dego x z pewnego s¡siedztwa S(x

0

; ) punktu x

0

.

18

ROZDZIAŠ 4

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej

1. Funkcja pierwotna

Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ w pewnym przedziale X.

Definicja. Funkcj¦ F nazywamy funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f w

przedziale X, je»eli dla ka»dego x 2 X speªniony jest warunek:

F

0

(x) = f(x):

Je»eli przedziaª X jest jedno- lub obustronnie domkni¦ty, to pochodn¡

F

0

w ka»dym z nale»¡cych do niego ko«ców rozumiemy jako odpowied-

ni¡ pochodn¡ jednostronn¡.

Uwaga. Warunek z denicji pierwotnej mo»na zast¡pi¢ równowa»-

nym mu warunkiem:

dF (x) = f(x)dx:

Uwaga. Funkcj¦ pierwotn¡ nazywamy te» caªk¡ w sensie Newtona,

a jej obliczanie caªkowaniem. Jak wida¢ caªkowanie jest dziaªaniem

odwrotnym do ró»niczkowania.

Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych). Je»eli F

jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f w przedziale X, to:

(1) funkcja (x) = F (x) + C, gdzie C oznacza dowoln¡ staª¡, jest

tak»e funkcj¡ pierwotn¡ funkcji F w przedziale X,

(2) ka»d¡ funkcj¦ pierwotn¡  funkcji f w przedziale X mo»na

przedstawi¢ w postaci F (x)+C, gdzie C jest stosownie dobran¡

staª¡.

Wniosek. Je»eli F jest pewn¡ funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f w prze-

dziale X, to suma F (x)+C, gdzie C oznacza dowoln¡ staª¡, przedstawia

wszystkie funkcje pierwotne funkcji f w tym przedziale.

Uwaga. Caªkowanie jest na ogóª dziaªaniem trudniejszym ni» ró»-

niczkowanie. Ró»nica pomi¦dzy caªkowaniem i ró»niczkowaniem nie

jest jedynie natury rachunkowej. Okazuje si¦, »e o ile pochodne funkcji

elementarnych (pot¦gowych, wykªadniczych, trygonometrycznych oraz

odwrotnych do nich, ich sum, ró»nic, ilorazów, iloczynów i superpo-

zycji) s¡ funkcjami elementarnymi, to istniej¡ funkcje elementarne,

19

których pierwotne nie s¡ funkcjami elementarnymi np. f(x) = e

x

2

,

f(x) =

sin x

x

, f(x) =

1

p

x

3

+1

, f(x) =

e

x

x

.

Twierdzenie. Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedziale X, to po-

siada w tym przedziale funkcj¦ pierwotn¡.

2. Caªka nieoznaczona

Niech f b¦dzie funkcj¡ caªkowaln¡ w sensie Newtona w przedziale

X.

Definicja. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w prze-

dziale X nazywamy caªk¡ nieoznaczon¡ funkcji f w tym przedziale i

oznaczamy symbolem

Z

f(x)dx

Uwaga. Symbol

R

zostaª wprowadzony przez Leibniza. Funkcj¦ f

w symbolu

R

f(x)dx nazywamy funkcj¡ podcaªkow¡, a x zmienn¡ caª-

kowania. Z twierdzenia podstawowego o funkcjach pierwotnych wynika,

»e:

Z

f(x)dx = F (x) + C ,

gdzie F jest jak¡kolwiek pierwotn¡ funkcji f, a C jest dowoln¡ staª¡

zwan¡ staª¡ caªkowania.

Uwaga. Z denicji pierwotnej i caªki nieoznaczonej wynikaj¡ na-

tychmiast nast¦puj¡ce wzory i równowa»no±ci:

Z

f(x)dx = F (x) + C () F

0

(x) = f(x) () dF (x) = f(x)dx

 Z

f(x)dx



0

=

d

dx

Z

f(x)dx = f(x)

d

Z

f(x)dx = f(x)dx

Z

F

0

(x)dx = F (x) + C

Z

dF (x)dx = F (x) + C

Twierdzenie (wzory podstawowe na caªki nieoznaczone).

Z

0dx = C

Z

dx = x + C

Z

x



dx =

x

+1

 + 1

+ C ( 6= 1)

Z

dx

x

= ln jxj + C

Z

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

Z

e

x

dx = e

x

+ C

20

Z

sin xdx = cos x + C

Z

cos xdx = sin x + C

Z

dx

sin

2

x

= ctg x + C

Z

dx

cos

2

x

= tg x + C

Z

dx

p

1 x

2

= arc sin x + C

Z

dx

1 + x

2

= arc tg x + C

Z

sinh xdx = cosh x + C

Z

cosh xdx = sinh x + C

Z

dx

sinh

2

x

= ctgh x + C

Z

dx

cosh

2

x

= tgh x + C

3. Reguªy caªkowania

Twierdzenie. Je»eli funkcje f i h sa caªkowalne w sensie Newtona

w pewnym przedziale, to funkcje f+h oraz Af, gdzie A oznacza dowoln¡

staª¡, te» s¡ caªkowalne w tym przedziale, przy czym:

Z 

f(x) + h(x)



dx =

Z

f(x)dx +

Z

h(x)dx

Z

Af(x)dx = A

Z

f(x)dx

Twierdzenie (o caªkowaniu przez cz¦±ci). Je»eli funkcje u i v ma-

j¡ w pewnym przedziale ci¡gªe pochodne, to zachodzi równo±¢:

Z

u(x)v

0

(x)dx = u(x)v(x)

Z

u

0

(x)v(x)dx

w tym przedziale.

Uwaga. Powy»szy wzór zwany wzorem na caªkowanie przez cz¦±ci

mo»na te» zapisa¢ tak:

Z

udv = uv

Z

vdu

Twierdzenie (o caªkowaniu przez podstawienie). Je»eli:

(1) funkcja f jest ci¡gªa w przedziale ha; bi,

(2) funkcja ' ma ci¡gª¡ pochodn¡ w przedziale h; i, przy czym

dla t 2 h; i : a ¬ '(t) ¬ b,

to prawdziwa jest równo±¢:

Z

f(x)dx =

Z

f['(t)]'

0

(t)dt dla x = '(t) .

21

4. Caªka oznaczona Riemanna i caªki Darboux

Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ i ograniczon¡ w przedziale do-

mkni¦tym ha; bi: Przedziaª ha; bi dzielimy na n podprzedziaªów dowol-

nie wybranymi punktami x

1

; x

2

; . . . , x

n 1

; przy czym

x

0

= a < x

1

< x

2

< : : : < x

n 1

< b = x

n

:

Niech


x

k

= x

k

x

k 1

;



n

= fx

1

; x

2

; : : : ; x

n

g oznacza podziaª przedziaªu ha; bi;

 

n

= maxf
x

k

j1 ¬ k ¬ ng oznacza ±rednic¦ podziaªu

n

;

 

k

2 hx

k 1

; x

k

i oznacza pewien punkt po±redni,

 m

k

= infff(x)jx 2 hx

k 1

; x

k

ig;

 M

k

= supff(x)jx 2 hx

k 1

; x

k

ig:

Rozwa»my trzy nast¦puj¡ce sumy:

 s

n

=

P

n

k=1

m

k

x

k

czyli suma dolna,

 

n

=

P

n

k=1

f(

k

)
x

k

czyli suma caªkowa,

 S

n

=

P

n

k=1

M

k

x

k

czyli suma górna

okre±lone dla funkcji f w przedziale ha; bi dla podziaªu

n

:

Niech f

n

g b¦dzie ci¡giem podziaªów przedziaªu ha; bi:

Definicja. Ci¡g podziaªów f

n

g nazywamy normalnym, je»eli od-

powiadaj¡cy mu ci¡g ±rednic f

n

g jest zbie»ny do zera tzn. lim 

n

= 0.

Ka»demu ci¡gowi podziaªów f

n

g odpowiada ci¡g sum dolnych

fs

n

g; ci¡g sum górnych fS

n

g; przy czym oba s¡ okre±lone jednoznacz-

nie, oraz ci¡g sum caªkowych f

n

g; który mo»e zale»e¢ od wyboru

punktów 

k

2 hx

k 1

; x

k

i:

Definicja. Je»eli dla ka»dego normalnego ci¡gu podziaªów prze-

dziaªu ha; bi ci¡g sum caªkowych jest zbie»ny do tej samej granicy wªa-

±ciwej, niezale»nej od wyboru punktów 

k

, to granic¦ t¦ nazywamy

caªk¡ oznaczon¡ Riemanna funkcji f w przedziale ha; bi i oznaczamy:

Z

b

a

f(x)dx

Uwaga. Denicj¦ powy»sz¡ mo»na zapisa¢ krótko:

Z

b

a

f(x)dx = lim



n

!0

n

X

k=1

f(

k

)
x

k

Uwaga. Nast¦puj¡cych zwrotów u»ywamy wymiennie:

caªka oznaczona = caªka Riemanna = caªka oznaczona Riemanna

Definicja. Je»eli caªka

R

b

a

f(x)dx istnieje, to mówimy, »e funkcja

f jest caªkowalna w sensie Riemanna (w przedziale ha; bi).

22

Uwaga. Caªka oznaczona z funkcji f w przedziale ha; bi jest liczb¡.

Caªka nieoznaczona z funkcji f w przedziale ha; bi jest zbiorem wszyst-

kich funkcji pierwotnych funkcji f.

Niech f

n

g b¦dzie dowolnym ci¡giem normalnym podziaªów prze-

dziaªu ha; bi, f za± funkcj¡ ograniczon¡ w tym przedziale. Mo»na udo-

wodni¢, »e ci¡g sum dolnych fs

n

g oraz ci¡g sum górnych fS

n

g posiadaj¡

wówczas sko«czone granice, niezale»ne od ci¡gu f

n

g:

lim s

n

= s

lim S

n

= S .

Granice te, które mog¡ by¢ sobie równe (s ¬ S) nazywamy odpowied-

nio caªk¡ doln¡ s i caªk¡ górn¡ S funkcji f w przedziale ha; bi. S¡ to

tzw. caªki Darboux (dolna i górna).

Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczaj¡cy caªkowalno±ci).

Caªka oznaczona Riemanna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy caªka dolna

i górna s¡ sobie równe.

Twierdzenie (o caªkowalno±ci funkcji ci¡gªej). Funkcja ci¡gªa w

przedziale domkni¦tym jest w nim caªkowalna.

Uwaga. Twierdzenie to mówi, »e: ci¡gªo±¢ f w przedziale ha; bi

jest warunkiem wystarczaj¡cym caªkowalno±ci funkcji f. Nie jest to

jednak warunek konieczny caªkowalno±ci. Mo»na udowodni¢ nast¦pu-

j¡ce twierdzenie:

Je»eli zbiór punktów nieci¡gªo±ci ograniczonej funkcji f jest sko«czony,

a nawet niesko«czony, ale miary zero (tzn. dla dowolnej liczby " > 0

mo»na go pokry¢ sko«czon¡ ilo±ci¡ odcinków o ª¡cznej dªugo±ci < "),

to funkcja f jest caªkowalna w przedziale ha; bi

Twierdzenie (o caªkowalno±ci funkcji monotonicznej). Funkcja

monotoniczna w przedziale domkni¦tym jest w tym przedziale caªkowal-

na.

5. Wªasno±ci caªki oznaczonej Riemanna

Twierdzenie. Je»eli funkcje f i h s¡ caªkowalne w przedziale ha; bi,

to:

(1) funkcja f + h jest caªkowalna w ha; bi, przy czym:

Z

b

a

[f(x) + h(x)]dx =

Z

b

a

f(x)dx +

Z

b

a

h(x)dx

(2) funkcja Af, gdzie A{staªa, jest caªkowalna w ha; bi, przy czym:

Z

b

a

Af(x)dx = A

Z

b

a

f(x)dx

23

(3) funkcja fh jest caªkowalna w ha; bi.

Twierdzenie. Je»eli:

(1) funkcje f i h s¡ okre±lone i ograniczone w ha; bi,

(2) funkcja F (x) = h(x) f(x) jest ró»na od zera jedynie w sko«-

czonej ilo±ci punktów podziaªu przedziaªu ha; bi,

(3) funkcja f jest caªkowalna w przedziale ha; bi,

to funkcja h te» jest caªkowalna w tym przedziale, przy czym:

Z

b

a

h(x)dx =

Z

b

a

f(x)dx

Twierdzenie. Je»eli funkcja f jest caªkowalna w przedziale ha; bi

oraz a ¬  <  ¬ b, to f jest caªkowalna w przedziale h; i.

Twierdzenie (o podziale przedziaªu caªkowania). Je»eli funkcja

f jest caªkowalna w przedziale ha; bi i c 2 (a; b), to:

Z

b

a

f(x)dx =

Z

c

a

f(x)dx +

Z

b

c

f(x)dx

Twierdzenie (o szacowaniu caªki oznaczonej). Je»eli f jest caª-

kowalna w przedziale ha; bi oraz dla ka»dego x 2 ha; bi zachodzi nierów-

no±¢ m ¬ f(x) ¬ M, to

m(b a) ¬

Z

b

a

f(x)dx ¬ M(b a)

Twierdzenie. Istnienie caªki

R

b

a

f(x)dx zapewnia istnienie caªki

R

b

a

jf(x)jdx.

Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Uwaga.

Z

a

a

f(x)dx = 0 dla ka»dego a.

Z

b

a

f(x)dx =

Z

a

b

f(x)dx, je»eli b < a.

6. Podstawowe twierdzenia rachunku caªkowego

Niech f b¦dzie funkcj¡ caªkowaln¡ w przedziale ha; bi oraz  2 ha; bi:

Wtedy dla ka»dego x 2 ha; bi caªka

Z

x



f(t)dt

istnieje, a w konsekwencji funkcja F dana wzorem

F (x) =

Z

x



f(t)dt

24

jest poprawnie okre±lona w przedziale ha; bi. Mówimy te», »e F jest

funkcj¡ górnej granicy caªkowania.

Twierdzenie (zerowe twierdzenie gªówne rachunku caªkowego).

Je»eli f jest funkcj¡ caªkowaln¡ w przedziale ha; bi,  za± dowolnie usta-

lon¡ liczb¡ w tym przedziale, to funkcja górnej granicy caªkowania F

dana wzorem

F (x) =

Z

x



f(t)dt

jest ci¡gªa w przedziale ha; bi.

Twierdzenie (caªkowe o warto±ci ±redniej). Je»eli funkcja f jest

ci¡gªa w przedziale ha; bi, to istnieje taki punkt c 2 (a; b), »e:

Z

b

a

f(x)dx = f(c)(b a):

Uwaga. Liczb¦

1

b a

R

b

a

f(x)dx nazywamy warto±ci¡ ±redni¡ caªkow¡

funkcji f w przedziale ha; bi. Wzór na warto±¢ ±redni¡ mo»emy te»

zapisa¢:

1

b a

Z

b

a

f(x)dx = f(a + (b a)), gdzie  2 (0; 1).

Twierdzenie (pierwsze twierdzenie gªówne rachunku caªkowego).

Je»eli funkcja f : ha; bi ! R jest ci¡gªa, to funkcja F : ha; bi ! R

dana wzorem F (x) =

R

x



f(t)dt (funkcja górnej granicy caªkowania)

ma pochodn¡ F

0

(x) = f(x) w ka»dym punkcie x 2 ha; bi.

Uwaga. Na ko«cach przedziaªu caªkowania pochodn¡ rozumiemy

(jak zwykle) jako jednostronn¡.

Wniosek. Ka»da funkcja ci¡gªa w przedziale domkni¦tym posiada

w tym przedziale funkcj¦ pierwotn¡.

Twierdzenie (drugie twierdzenie gªówne rachunku caªkowego, wzór

Newtona-Leibniza). Je»eli funkcja f jest ci¡gªa w przedziale ha; bi, F

za± jest jak¡kolwiek jej pierwotn¡ w tym przedziale, to:

Z

b

a

f(x)dx = F (b) F (a).

25

ROZDZIAŠ 5

Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperboliczne: sinus hiperboliczny sh, cosinus hiperboliczny

ch, tangens hiperboliczny th i cotangens hiperboliczny cth okre±lamy

nast¦puj¡co:

sh x =

e

x

e

x

2

ch x =

e

x

+ e

x

2

th x =

sh x
ch x

cth x =

ch x
sh x

Funkcja ch jest parzysta, a pozostale nieparzyste. Dziedzin¡ funkcji

sh, ch,th jest R, a cth R n f0g.

Pochodne funkcji hiperbolicznych:

(sh x)

0

= ch x

(ch x)

0

= sh x

(th x)

0

=

1

ch

2

x

(cth x)

0

=

1

sh

2

x

Ponadto z okre±lenia funkcji hiperbolicznych:

ch x > 0  x 2 R sh x < 0  x < 0 sh x > 0  x > 0

th x =

e

x

e

x

e

x

+ e

x

=

e

2x

1

e

2x

+ 1

lim

x!1

th x = 1

Wzory dla funkcji hiperbolicznych:

ch

2

x sh

2

x = 1

ch

2

x + sh

2

x = ch 2x

sh 2x = 2 sh x ch x

Funkcje odwrotne do hiperbolicznych to tzw. area funkcje, czyli:

 area sinus hiperboliczny arsh

arsh x = ln (x +

p

x

2

+ 1);

 area cosinus hiperboliczny arch

arch x = ln (x +

p

x

2

1);

27

 area tangens hiperboliczny arth

arth x =

1
2

ln

1 + x
1 x

:

28

Bibliograa

[1] G. M. Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa, 1978.

[2] K. Kuratowski, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa, 1977.

[3] F. Leja, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa, 1969.

[4] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.

[5] W. ›akowski, G. Decewicz Matematyka, cz¦±¢ I, WNT, Warszawa, 1992.

29