Notatki do wykªadu z analizy

matematycznej II

Piotr Bartªomiejczyk

Instytut Matematyki Uniwersytet Gda«ski

Spis tre±ci

Przedmowa

v

Rozdziaª 1. Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

1

1. Zbiory w przestrzeni R

n

1

2. Funkcje wielu zmiennych

3

3. Granica funkcji wielu zmiennych

3

4. Funkcje ci¡gªe wielu zmiennych i ich podstawowe wªasno±ci

4

5. Pochodne cz¡stkowe

5

6. Przyrosty, ró»niczki i ró»niczkowalno±¢

6

7. Ró»niczkowanie funkcji zªo»onej

9

8. Pochodna kierunkowa i gradient

10

9. Pochodna cz¡stkowa funkcji zªo»onej

12

10. Funkcja uwikªana

13

11. Wzór Taylora

14

12. Ekstremum funkcji wielu zmiennych

14

Rozdziaª 2. Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

17

1. Caªka podwójna w prostok¡cie

17

2. Wªasno±ci caªki podwójnej

18

3. Caªka podwójna w obszarze normalnym

19

4. Zamiana zmiennych w caªce podwójnej

20

Rozdziaª 3. Szeregi liczbowe

23

1. Denicja szeregu liczbowego

23

2. Szeregi o wyrazach nieujemnych

25

3. Szeregi o wyrazach dowolnych

26

4. Zmiana porz¡dku wyrazów szeregu

27

5. Mno»enie szeregów

27

6. Caªka niewªa±ciwa w przedziale niesko«czonym

27

7. Caªka niewªa±ciwa funkcji nieograniczonej

28

Rozdziaª 4. Ci¡gi i szeregi funkcyjne

29

1. Ci¡gi funkcyjne

29

2. Szeregi funkcyjne

29

iii

Bibliograa

31

iv

Przedmowa

Materiaª przedstawiony w tych notatkach byª podstaw¡ wykªadu

z analizy matematycznej na kierunku informatyka w semestrze letnim

roku akademickiego 2005/2006.

Skªad komputerowy notatek w systemie opracowywania dokumen-

tów L

A

TEX jest dzieªem studentów ówczesnego pierwszego roku infor-

matyki. Rozdziaª pierwszy skªadaª Tomasz Wasilewski, rozdziaª drugi

{ Šukasz Kuczera, rozdziaª trzeci { Tomasz Chmielecki i Šukasz Ci-

chy, a rozdziaª czwarty Karol i Šukasz Lotkowscy. Ponadto Tomasz

Wasilewski przejrzaª wielokrotnie caªy tekst, polepszyª jako±¢ skªadu i

naprawiª liczne niedoci¡gni¦cia.

Za wszelkie pozostaªe bª¦dy w niniejszych notatkach odpowiada

wyª¡cznie ich autor. Ich obecno±¢ nale»y wyja±ni¢ tym, »e notatki te

zostaªy przygotowane za pomoc¡ komputera.

Piotr Bartªomiejczyk

Gda«sk

kwiecie« 2006

v

ROZDZIAŠ 1

Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

1. Zbiory w przestrzeni R

n

1.1. Przestrze« R

n

.

Definicja 1.1. Przestrzeni¡ n-wymiarow¡ R

n

nazywamy zbiór

wszystkich uporz¡dkowanych ukªadów (x

1

; : : : ; x

n

) zªo»onych z n liczb

rzeczywistych. Ukªady (x

1

; : : : ; x

n

) nazywamy punktami przestrzeni R

n

,

a liczby x

i

{ wspóªrz¦dnymi (prostok¡tnymi) tych punktów.

Odlegªo±¢ punktów A(a

1

; a

2

; : : : ; a

n

) i B(b

1

; b

2

; : : : ; b

n

) przestrzeni

R

n

jest okre±lona wzorem:

d

AB

=

q

(a

1

b

1

)

2

+ (a

2

b

2

)

2

+


+ (a

n

b

n

)

2

:

1.2. Otoczenie i s¡siedztwo punktu.
Definicja 1.2. Otoczeniem punktu P

0

o promieniu r > 0 nazywa-

my zbiór U(P

0

; r)

def

= fP 2 R

n

: d

P

0

P

< rg:

Definicja 1.3. S¡siedztwem punktu P

0

o promieniu r > 0 nazy-

wamy zbiór S(P

0

; r)

def

= fP 2 R

n

: 0 < d

P

0

P

< rg:

Przykªad:

n = 2

U(P

0

; r) { wn¦trze koªa

S(P

0

; r) { wn¦trze koªa bez ±rodka

n = 3

U(P

0

; r) { wn¦trze koªa

S(P

0

; r) { wn¦trze koªa bez ±rodka

Niech  oznacza punkt (0; 0; : : : ; 0) 2 R

n

:

Definicja 1.4. Zbiór X  R

n

nazywamy ograniczonym, je»eli ist-

nieje taka liczba r > 0, »e X  U(; r), natomiast nieograniczonym w

przeciwnym wypadku.

1.3. Zbiory otwarte i domkni¦te. Niech X  R

n

:

Definicja 1.5. Punkt P nazywamy punktem wewn¦trznym zbioru

X, je»eli zbiór ten zawiera pewne otoczenie punktu P .

1

Definicja 1.6. Zbiór, którego ka»dy punkt jest punktem wewn¦trz-

nym, nazywamy zbiorem otwartym.

Definicja 1.7. Šukiem zwykªym w przestrzeni R

n

nazywamy zbiór

wszystkich punktów P (x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) o wspóªrz¦dnych x

1

= x

1

(t),

x

2

= x

2

(t), . . . , x

n

= x

n

(t), gdzie x

i

(t) s¡ funkcjami ci¡gªymi w prze-

dziale h; i dla i = 1; 2; : : : ; n , przy czym ró»nym warto±ciom para-

metru t 2 (; ) odpowiadaj¡ ró»ne punkty P .

Uwaga 1.8. Dopuszczamy mo»liwo±¢ x

k

() = x

k

() dla

wszystkich k.

Šuk zwykªy nazywamy otwartym, je»eli:

_

1¬i¬n

x

i

() 6= x

i

():

Šuk zwykªy nazywamy zamkni¦tym, je»eli:

^

1¬i¬n

x

i

() = x

i

():

Definicja 1.9. Obszar jest to taki zbiór otwarty, którego ka»de

dwa punkty mo»na poª¡czy¢ ªukiem zwykªym caªkowicie w nim zawar-

tym.

Uwaga 1.10. Obszar mo»e by¢ zarówno ograniczony jak i nieogra-

niczony. Obszar cz¦sto oznaczamy liter¡ D (od franc. domaine = ob-

szar).

Definicja 1.11. Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru X,

je»eli w ka»dym s¡siedztwie punktu P znajduje si¦ punkt tego zbioru.

Definicja 1.12. Zbiór domkni¦ty jest to zbiór, do którego nale»¡

wszystkie jego punkty skupienia.

Definicja 1.13. Punkt P 2 X, który nie jest punktem skupie-

nia zbioru X, nazywamy punktem odosobnionym (izolowanym) tego

zbioru.

Definicja 1.14. Punkt P nazywamy punktem brzegowym zbioru

X, je»eli w ka»dym otoczeniu tego punktu znajduje si¦ zarówno punkt

zbioru X jak i punkt, który do tego zbioru nie nale»y.

Definicja 1.15. Brzeg zbioru X jest to zbiór wszystkich punktów

brzegowych tego zbioru.

Uwaga 1.16. Obszar D wraz z brzegiem nazywamy obszarem do-

mkni¦tym i oznaczamy symbolem D.

2

2. Funkcje wielu zmiennych

Funkcj¦ n zmiennych x

1

; x

2

; : : : ; x

n

okre±lon¡ w zbiorze X  R

n

zapisujemy w postaci :

f : X ! R

X 3 (x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) 7 ! z = f(x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) 2 R

X 3 P 7 ! f(P ) 2 R

lub krótko: z = f(x

1

; x

2

; : : : ; x

n

)

z = f(P )

x

1

; x

2

; : : : ; x

n

zmienne niezale»ne

z

zmienna zale»na

Uwaga 2.1. W przypadku dwóch zmiennych piszemy cz¦sto z =

f(x; y), a w przypadku trzech zmiennych u = f(x; y; z).

Przykªady:

z = x

2

+ y

2

D = R

2

z =

p

1 x

2

y

2

D = f(x; y) : x

2

+ y

2

¬ 1g

u = x

2

+ y

2

+

p

z

D = f(x; y; z) : z ­ 0g

Definicja 2.2. Funkcj¦ f(P ) nazywamy ograniczon¡ w zbiorze

X, je»eli istnieje taka licba M, »e dla ka»dego P 2 X speªniony jest

warunek jf(P )j ¬ M.

Wykresem funkcji z = f(x; y) nazywamy zbiór

W

f

=

n

x; y; f(x; y)



: (x; y) 2 X

o

 R

3

:

Niech z

0

2 R. Zbiór f(x; y) 2 R

2

: f(x; y) = z

0

g nazywamy war-

stwic¡ funkcji f.

3. Granica funkcji wielu zmiennych

Definicja 3.1. Mówimy, »e ci¡g punktów fP

k

g przestrzeni R

n

jest

zbie»ny do punktu P

0

i piszemy P

k

! P

0

, je»eli

lim

x!0

d

P

k

P

0

= 0:

Uwaga 3.2. Je»eli P

k

(x

(k)

1

; x

(k)

2

; : : : ; x

(k)

n

) oznacza wyrazy ci¡gu punk-

tów, a P

0

(x

(0)

1

; x

(0)

2

; : : : ; x

(0)

n

) jest ustalonym punktem, to:

lim

k!1

d

P

k

P

0

= 0 

V

1¬m¬n

lim

k!1

x

(k)

m

= x

(0)

m

:

Inaczej mówi¡c zbie»no±¢ w R

n

jest zbie»no±ci¡ po wspóªrz¦dnych.

Rozwa»my zbiór X  R

n

, w którym jest okre±lona funkcja n zmien-

nych z = f(P ). Niech P

0

2 R

n

b¦dzie punktem skupienia zbioru X.

3

Definicja 3.3 (Heinego). Liczb¦ g nazywamy granic¡ funkcji f(P )

w punkcie P

0

, je»eli dla ka»dego ci¡gu punktów fP

k

g, P

k

2 X,P

k

6= P

0

,

zbie»nego do P

0

, ci¡g liczbowy ff(P

k

)g jest zbie»ny do g. Piszemy

wtedy: lim

P !P

0

f(P ) = g:

Definicja 3.4 (Cauchy'ego).

lim

P !P

0

f(P ) = g 

V

">0

W

>0

V

P 2X

h

0 < d

P P

0

<  ! jf(P ) gj < "

i

Uwaga 3.5. Denicje Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji n zmien-

nych s¡ równowa»ne. Podkre±lamy, »e funkcja f(P ) mo»e by¢ nieokre-

±lona w punkcie P

0

. Denicja Cauchy'ego oznacza, »e warto±¢ funkcji

f(P ) ró»ni si¦ od liczby g dowolnie maªo, je»eli punkt P jest poªo»ony

dostatecznie blisko punktu P

0

.

4. Funkcje ci¡gªe wielu zmiennych i ich podstawowe

wªasno±ci

Definicja 4.1. Funkcja f(P ) jest ci¡gªa w punkcie P

0

2 D

f

, je»eli

lim P ! P

0

f(P ) = f(P

0

).

Uwaga 4.2. Warunek lim

P !P

0

f(P ) = f(P

0

) ma sens tylko w

punktach skupienia dziedziny D

f

. W pozostaªych punktach tj. punk-

tach odosobnionych dziedziny ci¡gªo±¢ funkcji przyjmujemy na zasadzie

konwencji.

Definicja 4.3. Funkcj¦ f nazywamy ci¡gª¡ w pewnym zbiorze

X  D

f

, je»eli jest ci¡gªa w ka»dym punkcie tego zbioru.

Twierdzenie 4.4 (o lokalnym zachowywaniu znaku). Je»eli funk-

cja f(P ), okre±lona w pewnym otoczeniu punktu P

0

, jest w tym punkcie

ci¡gªa i f(P

0

) > 0 (albo f(P

0

) < 0), to istnieje takie otoczenie U punktu

P

0

, »e dla ka»dego punktu P 2 U speªniona jest nierówno±¢ f(P ) > 0

(albo odpowiednio f(P ) < 0).

Twierdzenie 4.5 (I Weierstrassa, o ograniczono±ci funkcji). Je»eli

funkcja f(P ) jest ci¡gªa w obszarze domkni¦tym i ograniczonym D, to

jest w tym obszarze ograniczona.

Twierdzenie 4.6 (II Weierstrassa, o osi¡ganiu kresów). Je»eli

funkcja f(P ) jest ci¡gªa w obszarze domkni¦tym i ograniczonym D,

to istniej¡ punkty P

1

; P

2

2 D takie »e:

f(P

1

) = sup

n

f(P ) : P 2 D

o

i f(P

2

) = inf

n

f(P ) : P 2 D

o

:

4

Twierdzenie 4.7 (Darboux, o przyjmowaniu warto±ci po±rednich).

Je»eli funkcja f(P ) jest ci¡gªa w obszarze domkni¦tym i ograniczonym

D oraz

inf

P 2D

f(P ) ¬  ¬ sup

P 2D

f(P );

to istnieje taki punkt P

0

2 D, »e f(P

0

) = .

Twierdzenie 4.8 (Cantora, o ci¡gªo±ci jednostajnej). Je»eli funk-

cja f(P ) jest ci¡gªa w obszarze domkni¦tym i ograniczonym D, to dla

ka»dej liczby " > 0 istnieje taka liczba  > 0, »e dla ka»dych dwóch

punktów P

1

,P

2

2 D, których odlegªo±¢ speªnia warunek

0 < d

P

1

P

2

< 

speªniona jest nierówno±¢

jf(P

1

) f(P

2

)j < ":

Uwaga 4.9. Wªasno±¢, o której mowa w tezie twierdzenia Cantora

nazwywamy jednostajn¡ ci¡gªo±ci¡.

5. Pochodne cz¡stkowe

Niech f oznacza funkcj¦ n zmiennych okre±lon¡ w otoczeniu U

punktu P

0

(x

(0)

1

; x

(0)

2

; : : : ; x

(0)

n

. Symbol
x

i

oznacza przyrost zmiennej

x

i

(1 ¬ i ¬ n) ró»ny od zera i taki, »e punkt

P (x

(0)

1

; x

(0)

2

; : : : ; x

(0)

i

+
x

i

; : : : ; x

(0)

n

) 2 U:

Definicja 5.1. Granic¦ wªa±ciw¡ (o ile istnieje)

lim

x

i

!0

f(P ) f(P

0

x

i

nazywamy pochodn¡ cz¡stkow¡ rz¦du pierwszego funkcji f(P ) wzgl¦-

dem zmiennej x

i

w punkcie P

0

i oznaczamy (

@f

@x

i

)

P

0

:

Uwaga 5.2. W przypadku funkcji dwóch zmiennych f(x; y) deni-

cje pochodnych cz¡stkowych maj¡ posta¢

(

@f

@x

)

P

0

def

= lim

h!0

f(x

0

+h;y

0

) f(x

0

;y

0

)

h

;

(

@f

@y

)

P

0

def

= lim

k!0

f(x

0

;y

0

+k) f(x

0

;y

0

)

k

:

Uwaga 5.3. Je»eli funkcja f(P ) ma pochodn¡ cz¡stkow¡ rz¦du

pierwszego wzgl¦dem zmiennej x

i

w ka»dym punkcie pewnego zbioru

otwartego  R

n

, to w zbiorze okre±lona jest nowa funkcja

3 P 7! (

@f

@x

i

)

p

2 R:

T¦ funkcj¦ nazywamy pochodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji f

wzgl¦dem zmiennej x

i

i oznaczamy

@f

@x

i

;

@

@x

i

f; f

x

i

5

Definicja 5.4. Pochodnymi cz¡stkowymi rz¦du drugiego funkcji

z = f(x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) nazywamy pochodne cz¡stkowe rz¦du pierwszego

pochodnych cz¡stkowych

@f

@x

i

(1 ¬ i ¬ n).

Uwaga 5.5. Funkcja n zmiennych mo»e mie¢ n ró»nych pochod-

nych cz¡stkowych rz¦du drugiego. Na przykªad funkcja z = f(x; y)

mo»e mie¢ cztery ró»ne pochodne rz¦du drugiego

@

@x

(

@f

@x

);

@

@y

(

@f

@x

);

@

@x

(

@f

@y

);

@

@y

(

@f

@x

):

Pochodn¡

@

@x

j

(

@f

@x

i

) (1 ¬ i; j ¬ n) oznaczamy symbolami

@

2

f

@x

j

@x

i

; f

x

i

x

j

:

Je»eli i = j, to zamiast

@

2

f

@x

i

@x

j

piszemy

@

2

f

@x

2

i

:

Definicja 5.6. Pochodn¡ f

x

i

x

j

w przypadku gdy i 6= j nazywamy

pochodn¡ cz¡stkow¡ mieszan¡ rz¦du drugiego.

Twierdzenie 5.7 (Schwarza). Je»eli funkcja f(x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) ma

w pewnym obszarze  R

n

ci¡gªe pochodne cz¡stkowe mieszane rz¦du

drugiego

@

2

f

@x

i

@x

j

oraz

@

2

f

@x

j

@x

i

;

to w ka»dym punkcie tego obszaru

@

2

f

@x

i

@x

j

=

@

2

f

@x

j

@x

i

:

Definicja 5.8 (indukcyjna). Pochodn¡ cz¡stkow¡ rz¦du n + 1 na-

zywamy pochodn¡ cz¡stkow¡ rz¦du pierwszego pochodnej cz¡stkowej

rz¦du n.

Uwaga 5.9. Mo»na udowodni¢, »e je»eli funkcja f(x

1

; x

2

; : : : ; x

n

)

ma pochodne cz¡stkowe mieszane rózni¡ce si¦ tylko kolejno±ci¡ róznicz-

kowania wzgl¦dem zmiennych i je±li te pochodne s¡ ci¡gªe w obszarze

 R

n

, to s¡ w tym obszarze równe.

Definicja 5.10. Klas¡ C

n

(X) nazywamy zbiór wszystkich funkcji

f(P ) maj¡cych w zbiorze X ci¡gªe pochodne cz¡stkowe do rz¦du n

wª¡cznie. Oczywi±cie C

n+1

(X)  C

n

(X)

6. Przyrosty, ró»niczki i ró»niczkowalno±¢

Twierdzenie 6.1 (o przedstawieniu przyrostu funkcji dwóch zmien-

nych). Je»eli funkcja f(x; y) ma w pewnym otoczeniu U punkty P

0

(x

0

; y

0

)

pochodne cz¡stkowe f

x

(x; y) i f

y

(x; y), które s¡ ci¡gªe w punkcie P

0

oraz

(x

0

+
x; y

0

+
y) 2 U;

6

to przyrost
f tej funkcji

f = f(x

0

+
x; y

0

+
y) f(x

0

; y

0

)

mo»na przedstawi¢ w postaci:

f = f

x

(x

0

; y

0

)
x + f

y

(x

0

; y

0

)
y + κ;

gdzie  =

p

x

2

+
y

2

przy czym κ ! 0, gdy  ! 0:

Przypomnijmy, »e mówimy, »e funkcja f(x) stanowi ÿo" maªe funk-

cji h(x) piszemy wtedy f(x) = o(h(x)), je»eli lim

f(x)

h(x)

= 0:

Definicja 6.2. Funkcj¦ f(x; y) nazywamy ró»niczkowaln¡ w punk-

cie P

0

(x

0

; y

0

), je»eli istniej¡ takie liczby A i B, »e dla ka»dego dosta-

tecznie maªego :

f = A

x + B

y + o():

Uwaga 6.3. Z powy»szej denicji wynika, »e funkcja ró»niczkowal-

na w punkcie P

0

jest ci¡gªa w tym punkcie. Przypomnijmy, »e istnienie

pochodnych cz¡stkowych f

x

(x

0

; y

0

) i f

y

(x

0

; y

0

) nie zapewnia ci¡gªo±ci

w punkcie P

0

(x

0

; y

0

), wi¦c tak samo istnienie tych pochodnych nie za-

pewnia tak»e ró»niczkowalno±ci funkcji f w punkcie P

0

.

Uwaga 6.4. Z twierdzenia o przedstawieniu przyrostu funkcji dwóch

zmiennych wynika, »e istnienie pochodnych cz¡stkowych f

x

(x; y) i f

y

(x; y)

w pewnym otoczeniu punktu P

0

(x

0

; y

0

) oraz ich ci¡gªo±¢ w punkcie

P

0

jest warunkiem wystarczaj¡cym ró»niczkowalno±ci funkcji f w tym

punkcie.

Uwaga 6.5. Ró»niczkowalno±¢ funkcji f(x; y) w pewnym punk-

cie P

0

(x

0

; y

0

) zapewnia istnienie pochodnych cz¡stkowych f

x

(x

0

; y

0

) i

f

y

(x

0

; y

0

):

Uwaga 6.6. Funkcja f(x; y) jest ró»niczkowalna w punkcie P

0

(x

0

; y

0

)

wtedy i tylko wtedy, gdy
f = f

x

(x

0

; y

0

)
x + f

y

(x

0

; y

0

)
y + o():

Definicja 6.7. Skªadnik liniowy ze wzgl¦du na
x i
y przyrostu

f funkcji f(x; y) ró»niczkowalnej w punkcie P

0

(x

0

; y

0

); czyli sum¦

postaci

f

x

(x

0

; y

0

)
x + f

y

(x

0

; y

0

)
y

nazywamy ró»niczk¡ zupeªn¡ funkcji f w tym punkcie. Ró»niczk¦ zu-

peªn¡ funkcji z = f(x; y) w punkcie P

0

(x

0

; y

0

) oznaczamy df(x

0

; y

0

) lub

krótko df czy dz:

7

Uwaga 6.8. Je»eli przyrosty
x,
y zmiennych niezale»nych ozna-

czymy przez dx, dy, to

df(x

0

; y

0

) = f

x

(x

0

; y

0

)dx + f

y

(x

0

; y

0

)dy

lub krótko

df =

@f
@x

dx +

@f

@y

dy;

df = f

x

dx + f

y

dy;

df = d

x

f + d

y

f:

Je»eli funkcja z = f(x; y) jest klasy C

2

, to jej ró»niczka df (przy

ustalonych warto±ciach dx i dy) jest funkcj¡ klasy C

1

zmiennych x i y.

Definicja 6.9. Ró»niczk¦ zupeªn¡ funkcji df nazywamy ró»nicz-

k¡ zupeªn¡ rz¦du drugiego funkcji f(x; y) i oznaczamy d

2

f(x; y) b¡d¹

krótko df. Mamy wi¦c

d

2

f = d(df) =

@

2

f

@x

2

dx

2

+ 2

@

2

f

@x@y

dxdy +

@

2

f

@y

2

dy

2

:

Podobnie d

n

f = d(d

n 1

f) dla n = 2; 3; : : : co daje wzór

d

n

f =

n

X

k=0

n
k

!

@

n

f

@x

n k

@y

k

dx

n k

dy

k

;

który zapisujemy te» cz¦sto

d

n

f = (

@f
@x

dx +

@f

@y

dy)

(n)

:

Twierdzenie 6.10 (o przedstawieniu przyrostu). Je»eli funkcja

f(x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) ma w pewnym otoczeniu punktu P

0

(x

(0)

1

; x

(0)

2

; : : : ; x

(0)

n

)

pochodne cz¡stkowe

@f

@x

i

(1 ¬ i ¬ n); które s¡ ci¡gªe w punkcie P

0

oraz

(x

(0)

1

+
x

1

; x

(0)

2

+
x

2

; : : : ; x

(0)

n

+
x

n

) 2 U;

to przyrost
f tej funkcji

f = f(x

(0)

1

+
x

1

; : : : ; x

(0)

n

+
x

n

) f(x

(0)

1

; : : : ; x

(0)

n

)

mo»na przedstawi¢ w postaci

f =

n



i=1



@f

@x

1



P

0

x

i

+ κ;

gdzie  =

r

n



1

x

2

i

przy czym κ ! 0, gdy  ! 0:

8

Definicja 6.11. Funkcj¦ f(x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) nazywamy ró»niczkowal-

n¡ w punkcie P

0

(x

(0)

1

; x

(0)

2

; : : : ; x

(0)

n

); je»eli istniej¡ takie liczby A

i

(1 ¬

i ¬ n), »e dla ka»dego dostatecznie maªego 

f =

n



i=1

A

i

x

i

+ o():

Definicja 6.12. Ró»niczk¦ zupeªn¡ funkcji f w punkcie P

0

okre-

±lamy wzorem

df(P

0

) =

n



i=1



@f

@x

i



P

o

dx

i

|

{z

}

:

skªadnik liniowy
f

Uwaga 6.13. Wzór df =

n



i=1

@

@x

i

dx

i

daje

d

2

f = d(df) =

n



j=1

@

@x

j



n



i=1

@f

@x

i

dx

i



dx

j

=

n



i;j=1

@

2

f

@x

i

@x

j

dx

i

dx

j

:

7. Ró»niczkowanie funkcji zªo»onej

Twierdzenie 7.1 (o pochodnej funkcji zªo»onej). Je»eli funkcja

z = f(x

1

; x

2

; : : : ; x

n

); n ­ 2, jest klasy C

1

w obszarze D  R

n

,a ponad-

to funkcje x

i

= x

i

(t) dla i = 1; : : : ; n maj¡ pochodne w przedziale (; )

oraz (x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) 2 D, gdy t 2 (; ), to funkcja zªo»ona zmiennej t

z(t) = f[x

1

(t); x

2

(t); : : : ; x

n

(t)]

ma pochodn¡ w ka»dym punkcie przedziaªu (; ); przy czym

dz

dt

=

n



i=1

@f

@x

i

dx

i

dt

:

Uwaga 7.2. Schemat obliczania pochodnej funkcji zªo»onej

z = f(x; y)

9

8. Pochodna kierunkowa i gradient

Niech f(x; y) b¦dzie funkcj¡ klasy C

1

w pewnym otoczeniu U punk-

tu P

0

(x

0

; y

0

) i niech P

0

s oznacza póªo± o pocz¡tku w punkcie P

0

. Niech

P oznacza dowolny, lecz ró»ny od P

0

, punkt tej póªosi nale»¡cy do

otoczenia U:

Definicja 8.1. Granic¦ wªa±ciw¡ (o ile istnieje)

lim

P !P

0

f(P ) f(P

0

)

d

P

0

P

nazywamy pochodn¡ funkcji f w kierunku póªosi P

0

s w punkcie P

0

i

oznaczamy



@f

@s



P

0

.

Wektor póªosi P

0

s: ~s = [cos ; cos ]

równanie parametryczne póªosi:

10

x = x

0

+ s cos 

y = y

0

+ s cos 

gdzie parametr s 2 h0; +1)

Niech F (s) = f[x(s); y(s)] funkcja zªo»ona.Wtedy

lim

P !P

0

f(P ) f(P

0

)

d

p

0

P

= lim

s!0

+

F (s) F (0)

s

= F

0

(0

+

);

ale jednocze±nie ze wzoru na pochodn¡ funkcji zªo»onej

F

0

(0

+

) =



@f
@x



P

0

cos  +



@f

@y



P

0

cos ;

wi¦c ostatecznie



@f

@s



P

0

=



@f
@x



P

0

cos  +



@f

@y



P 0

cos :

Podobnie w przypadku funkcji trzech zmiennych:

(

@f

@s

)

P

0

= (

@f
@x

)

P

0

cos  + (

@f

@y

)

P

0

cos  + (

@f

@z

)

P

0

;

gdzie:

x = x

0

+ s cos 

y = y

0

+ s cos 

parametryczne przedstawienie póªosi P

0

s

x = z

0

+ s cos

Niech f(x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) b¦dzie funkcj¡ klasy C

1

w pewnym otocze-

niu punktu P

0

2 R

n

.

Definicja 8.2. Wektor [(

@f

@x

1

)

P

0

; (

@f

@x

2

)

P

0

; : : : ; (

@f

@x

n

)

P

0

] nazywamy gra-

dientem funkcji f w punkcie P

0

i oznaczamy symbolem grad f(P

0

).

Uwaga 8.3. W szczególno±ci dla n = 2 i n = 3 mamy:

grad f(P

0

) = (

@f
@x

)

P

0

~i + (

@f

@y

)

P

0

~j

grad f(P

0

) = (

@f
@x

)

P

0

~i + (

@f

@y

)

P

0

~j + (

@f

@z

)

P

0

~k

gdzie ~i,~j,~k to wersory Zwi¡zek pomi¦dzy gradientem a pochodn¡ kie-

runkow¡. Z przyj¦tych denicji otrzymujemy:

(

@f

@s

)

P

0

= ~S  grad f(P

0

)

" iloczyn skalarny

Wniosek 8.4. (

@f

@s

)

P

0

ma warto±¢ najwi¦ksz¡, gdy póªo± P

0

s jest

zgodnie równolegªa do wektora grad f(P

0

). Inaczej mówi¡c: gradient

funkcji wskazuje kierunek najszybszego wzrostu tej funkcji w tym punk-

cie.

11

Twierdzenie 8.5 (o przyrostach dla funkcji n zmiennych). Je»eli

funkcja n zmiennych f(P ) jest klasy C

1

w pewnym otoczeniu U punktu

P

0

(x

(0)

1

; x

(0)

2

; : : : ; x

(0)

n

) oraz P (x

(0)

1

+ h

1

; : : : ; x

(0)

n

+ h

n

) 2 U i P

0

6= P , to

istnieje taka liczba  2 (0; 1), »e:

f(P ) f(P

0

) = grad f(

e

P )  ~

P

0

P ;

przy czym

e

P (x

(0)

1

+ h

1

; x

(0)

2

+ h

2

; : : : ; x

(0)

n

+ h

n

):

9. Pochodna cz¡stkowa funkcji zªo»onej

Twierdzenie 9.1 (o pochodnych cz¡stkowych funkcji zªo»onej).

Je»eli funkcja z = f(x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) jest klasy C

1

w obszarze D  R

n

a ponadto funkcje x

i

= x

i

(u

1

; u

2

; : : : ; u

m

) maj¡ pochodne cz¡stkowe w

obszarze D

1

 R

n

oraz (x

1

; x

2

; : : : ; x

n

) 2 D, gdy (u

1

; u

2

; : : : ; u

m

) 2

D

1

,to funkcja zªo»ona m zmiennych

z = f[x

1

(u

1

; : : : ; u

m

); x

2

(u

1

; : : : ; u

m

); : : : ; x

n

(u

1

; : : : ; u

m

)]

ma pochodne cz¡stkowe rz¦du pierwszego w ka»dym punkcie obszaru D

1

,

przy czym zachodzi wzór

@z

@u

j

=

n



i=1

@f

@x

i

@x

i

@u

j

dla 1 ¬ j ¬ m:

Uwaga 9.2. Schemat obliczania pochodnych cz¡stkowych funkcji

zªo»onej w przypadku n = 2 i m = 2 ma posta¢:

@z

@u

=

@f
@x

@x
@u

+

@f

@y

@y
@u

@z
@v

=

@f
@x

@x

@v

+

@f

@y

@y
@v

12

10. Funkcja uwikªana

Niech F (x; y) oznacza funkcj¦ dwóch zmiennych okre±lon¡ w pew-

nym obszarze pªaszczyzny.

Definicja 10.1. Je»eli istnieje funkcja y = f(x) speªniaj¡ca w ka»-

dym punkcie x pewnego zbioru X warunek F [x; f(x)] = 0, to nazywa-

my j¡ funkcj¡ uwikªan¡ okre±lon¡ w zbiorze X równaniem F (x; y) = 0.

Mówimy te», »e funkcja y = f(x) jest okre±lona w sposób uwikªany

(niejawny) równaniem F (x; y) = 0.

Uwaga 10.2. Cz¦sto przej±cie od postaci uwikªanej (niejawnej)

danej za pomoc¡ równania F (x; y) = 0 do postaci jawnej tj. wzoru

y = f(x) czyli bezpo±rednie wyliczenie y z równania F (x; y) = 0 jest

niemo»liwe. Mimo to, wiele wªasno±ci funkcji uwikªanej (monotonicz-

no±¢, ekstrema, itd) mo»e by¢ zbadanych w oparciu o samo równanie

F (x; y) = 0 bez znajomo±ci wzoru wyra»aj¡cego t¦ funkcj¦ w sposób

jawny.

Twierdzenie 10.3 (o istnieniu i jednoznaczno±ci funkcji uwikªa-

nej). Je»eli funkcja F (x; y) jest klasy C

1

w pewnym otoczeniu punktu

P

0

(x

0

; y

0

), a ponadto

F (x

0

; y

0

) = 0 i F

y

(x

0

; y

0

) 6= 0;

to istnieje dokªadnie jedna ci¡gªa funkcja uwikªana y = f(x) okre±lona

w pewnym przedziale (x

0

; x

0

+ ) za pomoc¡ równania F (x; y) = 0

i speªniaj¡ca warunek f(x

0

) = y

0

.

Uwaga 10.4. Je»eli s¡ speªnione zaªo»enia twierdzenia o istnieniu

i jednoznaczno±ci funkcji uwikªanej, to funkcja ta posiada w pewnym

otoczeniu punktu x

0

pochodn¡ f

0

(x), przy czym:

f

0

(x) =

F

x

(x; f(x))

F

y

(x; f(x))

lub krótko

y

0

=

F

x

(x; y)

F

y

(x; y)

:

Uwaga 10.5. Podobne wzory mo»na udowodni¢ w przypadku funk-

cji uwikªanej z = f(x; y) dwóch zmiennych okre±lonej za pomoc¡ rów-

nania F (x; y; z) = 0: Mianowicie ró»niczkuj¡c powy»sz¡ równo±¢ otrzy-

mujemy:

@F

@x

+

@F

@z

@z

@x

= 0 !

@z

@x

=

@F

@x

@F

@Z

@F

@y

+

@F

@z

@z

@y

= 0 !

@z

@y

=

@F

@y

@F

@z

13

11. Wzór Taylora

Twierdzenie 11.1 (Taylora, z drug¡ ró»niczk¡). Je»eli funkcja n

zmiennych f(P ) jest klasy C

2

w pewnym otoczeniu U punktu

P

0

(x

(0)

1

; x

(0)

2

; : : : ; x

(0)

n

) oraz P (x

(0)

1

+ h

1

; x

(0)

2

+ h

2

; : : : ; x

(0)

n

+ h

n

) 2 U

i P

0

6= P , to istnieje taka liczba  2 (0; 1), »e:

f(P ) f(P

0

) = df(P

0

) +

1
2

d

2

f(

e

P );

przy czym

e

P (x

(0)

1

+ h

1

; x

(0)

2

+ h

2

; : : : ; x

(0)

n

+ h

n

), a ró»niczki df i d

2

f

s¡ liczone dla przyrostów h

1

; h

2

; : : : ; h

n

.

Uwaga 11.2. Równo±¢ f(P ) f(P

0

) = df(P

0

)+

1

2

d

2

f(

e

P ) nazywamy

wzorem Taylora z drug¡ ró»niczk¡. Zapisujemy go te» w postaci:

f(P ) f(P

0

) = grad f(P

0

)  ~

P

0

P +

1
2

d

2

f(

e

P ):

Skªadnik

1

2

d

2

f(

e

P ) nazywamy reszt¡ wzoru Taylora z drug¡ ró»nicz-

k¡. Stanowi ona form¦ kwadratow¡ zmiennych h

1

; : : : ; h

n

. W dalszym

ci¡gu b¦dziemy korzysta¢ z powy»szego wzoru gªównie w przypadku

funkcji dwóch zmiennych f(x; y). Oznaczaj¡c przyrosty h

1

i h

2

zwy-

czajowo jako h i k otrzymujemy

f(P ) f(P

0

) = df(P

0

) +

1
2

h

f

xx

(

e

P )h

2

+ 2f

xy

(

e

P )hk + f

yy

(

e

P )k

2

i

:

12. Ekstremum funkcji wielu zmiennych

Niech f(P ) b¦dzie funkcj¡ n zmiennych okre±lon¡ przynajmniej w

pewnym otoczeniu punktu P

0

2 R

n

.

Definicja 12.1. Mówimy, »e funkcja f(P ) ma w punkcie P

0

maksimum

minimum

lokalne, je±li istnieje takie s¡siedztwo S punktu P

0

, »e dla ka»dego P 2

S speªniona jest nierówno±¢:

f(P ) ¬ f(P

0

)

f(P ) ­ f(P

0

):

Maksima i minima nazywamy ekstremami. Je»eli zamiast nierówno±ci

sªabej jest speªniona nierówno±¢ ostra, to ekstremum nazywamy wªa-

±ciwym.

Twierdzenie 12.2 (warunek konieczny istnienia ekstremum). Je-

»eli funkcja f(x; y) ma pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w punkcie

P

0

(x

0

; y

0

) i ma w tym punkcie ekstremum, to

f

x

(P

0

) = 0 i f

y

(P

0

) = 0:

14

Definicja 12.3. Punkt P

0

(x

0

; y

0

) taki, »e f

x

(x

0

; y

0

) = f

y

(x

0

; y

0

) =

0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f.

Uwaga 12.4. Powy»szy warunek konieczny istnienia ekstremum

nie jest wystarczaj¡cy.

Twierdzenie 12.5 (warunek wystarczaj¡cy istnienia ekstremum).

Je»eli funkcja f(x; y) jest klasy C

2

w pewnym otoczeniu punktu P

0

(x

0

; y

0

),

a ponadto:

(1) f

x

(P

0

) = 0 i f

y

(P

0

) = 0;

(2) W (P

0

)

def

= f

xx

(P

0

)
f

yy

(P

0

)

h

f

xy

(P

0

)

i

2

> 0;

to funkcja f(x; y) ma w punkcie P

0

maksimum lokalne wªa±ciwe, gdy

f

xx

(P

0

) < 0, natomiast minimum lokalne wªa±ciwe, gdy f

xx

(P

0

) > 0.

Uwaga 12.6. Mo»na udowodni¢, »e je»eli funkcja f(x; y) jest klasy

C

1

w pewnym otoczeniu punktu P

0

(x

0

; y

0

) oraz

(1) f

x

(P

0

) = f

y

(P

0

) = 0;

(2) W (P

0

) < 0;

to f(x; y) nie ma ekstremum w punkcie P

0

:

15

ROZDZIAŠ 2

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

1. Caªka podwójna w prostok¡cie

Rozwa»my prostok¡t P okre±lony w pªaszczy¹nie ukladu OXY nie-

równo±ciami:

a ¬ x ¬ b;

c ¬ y ¬ d

oraz funkcj¦ dwóch zmiennych f(x; y) okre±lon¡ oraz ograniczon¡ w

tym prostok¡cie. Prostok¡t P dzielimy na n prostok¡tów P

k

o polach



k

(k = 1; :::; n). Podziaª ten oznaczamy symbolem

n

. W ka»dym

z prostok¡tów P

k

wybieramy dowolnie punkt A

k

(x

k

; y

k

); obliczamy

f(x

k

; y

k

) i bierzemy pod uwag¦ sum¦:

S

n

=

n

X

k=1

f(x

k

; y

k

)


k

:

Ka»d¡ tak¡ sum¦ nazywamy sum¡ caªkow¡ funkcji f(x; y) w prostok¡-

cie P . Niech d

k

oznacza dªugo±¢ przek¡tnej prostok¡ta P

k

:

Definicja 1.1. Liczb¦ 

n

= maxfd

k

: 1 ¬ k ¬ ng nazywamy

±rednic¡ podziaªu

n

.

Definicja 1.2. Ci¡g podziaªów f

n

g prostok¡ta P nazywamy nor-

malnym, je»eli odpowiadaj¡cy mu ci¡g ±rednic d¡»y do zera czyli

lim 

n

= 0.

Definicja 1.3. Je»eli dla ka»dego normalnego ci¡gu podziaªów

prostok¡ta P ci¡g sum caªkowych fS

n

g jest zbie»ny do tej samej gra-

nicy wªa±ciwej, niezale»nej od wyboru punktów A

k

, to t¦ granic¦ na-

zywamy caªk¡ podwójn¡ funkcji f(x; y) w prostok¡cie P i oznaczamy

RR

P

f(x; y)d: Denicj¦ t¦ mo»na zatem zapisa¢ krótko:

ZZ

P

f(x; y)d

def

= lim



n

!0

n

X

k=1

f(x

k

; y

k

)


k

:

Definicja 1.4. Je»eli caªka

RR

P

f(x; y)d istnieje, to mówimy, »e

funkcja f(x; y) jest caªkowalna w sensie Riemanna w prostok¡cie P .

17

Uwaga 1.5. Mo»na wykaza¢, »e ograniczono±¢ funkcji f(x; y) jest

warunkiem koniecznym istnienia caªki, nie jest jednak warunkiem wy-

starczaj¡cym.

Twierdzenie 1.6 (warunek wystarczaj¡cy caªkowalno±ci funkcji

dwóch zmiennych). Funkcja f(x; y) ograniczona w prostok¡cie P i ci¡-

gªa - z wyj¡tkiem co najwy»ej zbioru punktów daj¡cego si¦ pokry¢ sko«-

czon¡ liczb¡ prostok¡tów, których suma pól jest dowolnie maªa (zbiór

miary zero) - jest caªkowalna w tym prostok¡cie.

Wniosek 1.7. Funkcja ci¡gªa w prostok¡cie domkni¦tym jest w nim

caªkowalna. Równie» funkcja f(x; y) ci¡gªa w prostok¡cie P z wyj¡tkiem

punktów poªo»onych na krzywej b¦d¡cej wykresem funkcji y = '(x)

ci¡gªej w przedziale ha; bi jest caªkowalna w tym prostok¡cie.

Interpretacja geometryczna caªki podwójnej jest nast¦puj¡ca. Je»eli

funkcja f(x) jest staªa w prostok¡cie P , przy czym f(x; y) = M > 0

,to

S

n

=

n

X

k=1

f(x

k

; y

k

)


k

=

n

X

k=1

M


k

= M

n

X

k=1



k

= M;

gdzie  oznacza pole prostok¡ta P . Mamy wtedy:

RR

P

Md = M =

objeto±¢ prostopadªo±cianu o podstawie P i wysoko±ci M. Podobnie,

je»eli f(x; y) jest ci¡gªa w prostok¡cie P oraz f(x; y) > 0, to:

ZZ

P

f(x; y)d = V;

gdzie V jest obj¦to±ci¡ bryªy ograniczonej pªaszczyznami

z = 0; x = a; x = b; y = c; y = d

oraz powierzchni¡ o równaniu z = f(x; y):

2. Wªasno±ci caªki podwójnej

Twierdzenie 2.1 (jednorodno±¢ caªki podwójnej). Je»eli f(x; y)

jest funkcj¡ caªkowaln¡ w prostok¡cie P , k za± dowoln¡ staª¡, to:

ZZ

P

kf(x; y) d = k

ZZ

P

f(x; y) d:

Twierdzenie 2.2 (addytywno±¢ caªki podwójnej). Je»eli f(x; y) i

g(x; y) s¡ funkcjami caªkowalnymi w prostok¡cie P to:

ZZ

P

[f(x; y) + g(x; y)] d =

ZZ

P

f(x; y) d +

ZZ

P

g(x; y) d:

18

Twierdzenie 2.3 (o podziale prostok¡ta caªkowania). Je»eli pro-

stok¡t P podzielimy na dwa prostok¡ty P

1

i P

2

, f(x; y) za± jest funkcj¡

caªkowaln¡ w P , to jest tak»e caªkowaln¡ w prostok¡tach P

1

i P

2

, przy

czym:

ZZ

P

f(x; y) d =

ZZ

P

1

f(x; y) d +

ZZ

P

2

f(x; y) d:

Twierdzenie 2.4 (o szacowaniu caªki podwójnej). Je»eli f(x; y)

jest funkcj¡ caªkowaln¡ w prostok¡cie P oraz: m = inf

P

f(x; y) i M =

sup

P

f(x; y) ,to:

m ¬

ZZ

P

f(x; y) d ¬ M;

gdzie  oznacza pole prostok¡ta P:

Niech f(x; y) b¦dzie funkcj¡ caªkowaln¡ w prostok¡cie P o polu :
Definicja 2.5. Liczb¦:

 =

RR

P

f(x; y) d



nazywamy warto±ci¡ ±redni¡ funkcji f(x; y) w prostok¡cie P:

Twierdzenie 2.6 (caªkowe o warto±ci ±redniej). Je»eli funkcja f(x; y)

jest ci¡gªa w prostok¡cie P , to istnieje taki punkt c 2 P ,»e:

ZZ

P

f(x; y) d = f(c)
:

Twierdzenie 2.7 (o zamianie caªki podwójnej na iterowan¡). Je-

»eli funkcja f(x; y) jest ci¡gªa w prostok¡cie P : a ¬ x ¬ b ; c ¬ y ¬ d

,to:

ZZ

P

f(x; y) d =

Z

d

c

2
4

Z

b

a

f(x; y) dx

3
5

dy

oraz

ZZ

P

f(x; y) d =

Z

b

a

2
4

Z

d

c

f(x; y) dy

3
5

dx:

3. Caªka podwójna w obszarze normalnym

Definicja 3.1. Obszar domkni¦ty , okre±lony nierówno±ciami a ¬

x ¬ b oraz '(x) ¬ y ¬ (x), gdzie '(x); (x) s¡ funkcjami ci¡gªymi w

przedziale ha; bi, nazywamy obszarem normalnym wzgl¦dem osi OX.

19

Niech c = inf

ha;bi

'(x) i d = sup

ha;bi

(x). Rozwa»my prostok¡t

P = ha; biÖhc; di. Wobec denicji c i d mamy D  P . Niech f(x; y) b¦-

dzie funkcj¡ ci¡gª¡ w obszarze D. Rozwa»my funkcj¦ f



(x; y) okre±lon¡

w prostok¡cie P wzorem:

f



(x; y) =

(

f(x; y) gdy (x; y) 2 D

0

gdy (x; y) 2 P n D

Funkcja f



(x; y) jest caªkowalna w prostok¡cie P, poniewa» jest w

nim ci¡gªa z wyj¡tkiem - co najwy»ej punktów poªo»onych na krzy-

wych: y = '(x) i y = (x):

Definicja 3.2. Caªk¦ podwójn¡ funkcji f(x; y) w obszarze normal-

nym D oznaczamy

RR

D

f(x; y) d i okre±lamy wzorem:

RR

D

f(x; y)d =

RR

P

f



(x; y)d:

Uwaga 3.3. Korzystaj¡c z tw. o zamianie caªki podwójnej na ite-

rowan¡:

ZZ

D

f(x; y)d =

ZZ

P

f



(x; y)d =

Z

b

a

"Z

d

c

f



(x; y)dy

#

dx =

Z

b

a

"Z

(x)

'(x)

f(x; y)dy

#

dx:

Przykªad 3.4. Obliczy¢ caªk¦ podwójn¡ funkcji f(x; y) = x

2

y w

trójk¡cie ograniczonym prostymi y = 0; y = 1

1

2

x; y = 2 x:

ZZ

D

x

2

yd =

Z

2

0

"Z

2 x

1

1

2

x

x

2

y dy

#

dx =

Z

2

0

x

2

"

y

2

2

#

y=2 x

y=1

1

2

x

=

=

1
2

Z

2

0

x

2

"

(2 x)

2

(1

1
2

x)

2

#

dx =

1
2

Z

2

0

"

3x

2

x

3

+

3
4

x

4

#

dx =

22

5

Uwaga 3.5. Analogicznie okre±lamy caªk¦ podwójn¡ w obszarze

normalnym wzgl¦dem osi OY i obszarze regularnym tj. sumie obsza-

rów normalnych (wzgl¦dem OX lub OY), które nie maj¡ wspólnych

punktów wewn¦trznych.

4. Zamiana zmiennych w caªce podwójnej

Zamiana zmiennych w caªce podwójnej jest ±ci±le zwi¡zana z odwzo-

rowaniem zbioru pªaskiego za pomoc¡ pary funkcji dwóch zmiennych.

Przykªad 4.1. Para funkcji

(

x = u v

y = u + v odwzorowuje kwadrat

K

0

w pªaszczy¹nie OUV na kwadrat K w pªaszczy¹nie OXY.

20

Rozwa»my par¦ funkcji:

(

x = x(u; v)

y = y(u; v) okre±lonych w obszarze do-

mknientym U. Para tych funkcji okre±la pewne odwzorowanie T zbioru

U na pewien zbiór Z. Je»eli funkcje s¡ ci¡gªe, to odwzorowanie nazy-

wamy ci¡gªym.

Uwaga 4.2. Obraz ci¡gªy i wzajemnie jednoznaczny obszaru jest

obszarem.

Zaªó»my, »e funkcje x = x(u; v) i y = y(u; v) sa klasy C

1

w obszarze

domkni¦tym U.

Definicja 4.3. Funkcj¦ J(u; v) =







@x

@u

@x

@v

@y

@u

@y

@v







nazywamy jakobia-

nem odwzorowania T (u; v) = [x(u; v); y(u; v)]./

Przykªad 4.4. Przykªad: dla x = u v; y = u + x:

J(u; v) =







1

1

1

1







:

Twierdzenie 4.5 (o lokalnym odwracaniu odwzorowania). Je»eli

jakobian J(u; v) jest ró»ny od zera w obszarze U, to odwzorowanie T

jest w tym obszarze lokalnie wzajemnie jednoznaczne tzn. »e dla ka»dego

punktu P

0

2 U istnieje taka liczba  > 0, »e odwzorowanie otoczenia

U(P

0

; )  U na jego obraz jest wzajemnie jednoznaczne.

Uwaga 4.6. Jakobian J(u; v) oznaczamy tak»e symbolem

D(x;y)

D(u;v)

:

Twierdzenie 4.7 (o zamianie zmiennych w caªce podwójnej). Je-

»eli:

(1) odwzorowanie T (u; v) = (x(u; v); y(u; v)) przeksztaªca wzajem-

nie jednoznacznie wn¦trze
obszaru regularnego
na wn¦trze

D obszaru regularnego D.

(2) funkcje x(u; v) i y(u; v) s¡ klasy C

1

w obszarze , przy czym



(3) funkcja f(x; y) jest ci¡gªa w obszarze D.
(4) jakobian

D(x;y)

D(u;v)

jest ró»ny od zera w obszarze
,

to:

ZZ

D

f(x; y)dxdy =

ZZ

f[x(u; v); y(u; v)]







D(x; y)
D(u; v)







dudv:

Przykªad 4.8. Obliczy¢ caªk¦ podwójn¡

RR

D

xdxdy w obszarze

D poªo»onym w I ¢wiartce ukªadu OXY i ograniczonym prostymi

21

x = 0; y = 0 i okr¦gami

(

x

2

+ y

2

= 1

x

2

+ y

2

= 4

Zastosujemy zamian¦ zmiennych:

(

x = r cos

y = r sin , czyli wspóªrz¦dne

biegunowe.

ZZ

D

xdxdy =

ZZ

r cos r dr d =

Z



2

0

"Z

2

1

r

2

cos dr

#

d =

7
3

Z



2

0

cos d =

7
3

22

ROZDZIAŠ 3

Szeregi liczbowe

1. Denicja szeregu liczbowego

Rozwa»my ci¡g liczbowy:

fa

n

g  a

1

; a

2

; : : : ; a

n

; : : :

i z jego wyrazów utwórzmy nowy ci¡g

fS

n

g  S

1

; S

2

; : : : ; S

n

; : : :

okre±lony wzorem:

S

n

=

n

X

k=1

a

k

tzn. S

n

jest sum¡ n pocz¡tkowych wyrazów ci¡gu fa

n

g.

Definicja 1.1. Ci¡g fS

n

g sum cz¦±ciowych S

n

=

P

n

k=1

a

k

nazywa-

my szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem:

1

X

n=1

a

n

:

Zamiast ostatniego symbolu piszemy te»:

a

1

+ a

2

+ : : : + a

n

+ : : :

b¡d¹ krótko

a

1

+ a

2

+ : : :

Uwaga 1.2. a

n

nazywamy wyrazem szeregu, a S

n

nazywamy sum¡

cz¦±ciow¡ szeregu.

Definicja 1.3. Szereg liczbowy nazywamy zbie»nym, je»eli ci¡g

jego sum cz¦±ciowych jest zbie»ny do granicy wªa±ciwej lim S

n

= S,a

rozbie»nym w przypadku przeciwnym. Granic¦ lim S

n

nazywamy sum¡

szeregu.

Uwaga 1.4. Szereg zbie»ny ma sum¦, a rozbie»ny nie ma sumy.

Cz¦sto piszemy te»:

P

1

n=1

a

n

= S. Nale»y jednak pami¦ta¢, »e szereg i

23

suma szeregu s¡ to poj¦cia ró»ne, cho¢ czasami oznaczane tym samym

symbolem:

1

X

n=1

a

n

:

Uwaga 1.5. Obliczenie sumy szeregu jest na ogóª zadaniem bardzo

trudnym lub niewykonalnym.

Definicja 1.6. Je»eli w szeregu

P

1

k=1

a

k

pominiemy n pocz¡tko-

wych wyrazów, to otrzymamy szereg:

a

n+1

+ a

n+2

+ : : : =

1

X

k=n+1

a

k

;

który nazywamy n-t¡ reszt¡ szeregu.

Stwierdzenie 1.7. Szereg

P

1

k=1

a

k

jest zbie»ny  szereg

P

1

k=n+1

a

k

jest zbie»ny.

Uwaga 1.8. Je»eli szereg

P

1

k=1

a

k

jest zbie»ny, to oznaczaj¡c przez

S jego sum¦, a przez R

n

sum¦ szeregu

P

1

k=n+1

a

k

otrzymujemy zwi¡zek:

S = S

n

+ R

n

:

Poniewa» lim S

n

= S, wi¦c lim R

n

= 0:

Definicja 1.9.

k

1

X

n=1

a

n

def

=

1

X

n=1

ka

n

1

X

n=1

a

n

+

1

X

n=1

b

n

def

=

1

X

n=1

(a

n

+ b

n

)

Stwierdzenie 1.10. Je»eli szeregi

P

1

n=1

a

n

i

P

1

n=1

b

n

s¡ zbie»ne i

ich sumy wynosz¡ A i B, to

P

1

n=1

(a

n

+b

n

) = A+B oraz

P

1

n=1

ka

n

= kA:

Twierdzenie 1.11 (warunek konieczny zbie»no±ci szeregu). Je»eli

szereg

P

1

n=1

a

n

jest zbie»ny, to lim a

n

= 0:

Uwaga 1.12. Warunek lim a

n

= 0 jest dla zbie»no±ci szeregu ko-

nieczny tzn. je»eli lim a

n

6= 0, to szereg jest rozbie»ny. Warunek ten nie

jest jednak warunkiem wystarczaj¡cym na co wskazuje przykªad tzw.

szeregu harmonicznego czyli:

1

X

n=1

1

n

lub

1 +

1
2

+

1
3

+ : : : +

1

n

+ : : :

24

Uwaga 1.13. Szereg

P

1

n=1

1

n

nazywamy harmonicznym, bo ka»dy

jego wyraz (poza pierwszym) jest ±redni¡ harmoniczn¡ wyrazów s¡sied-

nich tj.:

a

n

=

2

1

a

n 1

+

1

a

n+1

:

Rzeczywi±cie

P =

2

1

1

n 1

+

1

1

n+1

=

2

n 1 + n + 1

=

2

2n

=

1

n

= L:

Uwaga 1.14. Szereg geometryczny, to szereg postaci:

1

X

n=1

aq

n 1

;

czyli

a + aq + aq

2

+ : : : + aq

n 1

+ : : :

Je»eli a = 0, to szereg geometryczny jest zbie»ny. Je»eli a 6= 0, to

rozró»niamy dwa przypadki:

(1) jqj < 1, wtedy S

n

=

P

n

k=1

aq

k 1

= a

1 q

n

1 q

, wi¦c lim S

n

=

a

1 q

czyli szereg jest zbie»ny.

(2) jqj ­ 1, wtedy jaq

n 1

j ­ jaj > 0, wi¦c szereg nie speªnia

warunku koniecznego, czyli jest rozbie»ny.

2. Szeregi o wyrazach nieujemnych

Twierdzenie 2.1. Je»eli ci¡g sum cz¦±ciowych szeregu o wyrazach

nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbie»ny.

Twierdzenie 2.2 (kryterium porównawcze). Je»eli wyrazy szere-

gów

P

1

1

a

n

i

P

1

1

b

n

s¡ nieujemne, a ponadto dla prawie wszystkich n

speªniona jest nierówno±¢ a

n

¬ b

n

, to

(1) zbie»no±¢ szeregu

P

1

1

b

n

zapewnia zbie»no±¢ szeregu

P

1

1

a

n

;

(2) rozbie»no±¢ szeregu

P

1

1

a

n

zapewnia rozbie»no±¢ szeregu

P

1

1

b

n

:

Definicja 2.3. Szeregiem Dirichleta nazywamy szereg postaci

P

1

n=1

1

n



, gdzie  jest liczb¡ rzeczywist¡. Szereg Dirichleta nazywamy

te» uogólnionym szeregiem harmonicznym, poniewa» dla  = 1 jest po

prostu szeregiem harmonicznym.

Twierdzenie 2.4 (zbie»no±¢ szeregu Dirichleta). Szereg

P

1

n=1

1

n



jest rozbie»ny dla  ¬ 1, natomiast zbie»ny dla  > 1.

25

Twierdzenie 2.5 (kryterium d'Alemberta). Je»eli istnieje granica

(wªa±ciwa lub nie)

lim

a

n+1

a

n

= g;

to szereg o wyrazach dodatnich

P

1

1

a

n

jest zbie»ny, gdy g < 1, a roz-

bie»ny, gdy g > 1.

Uwaga 2.6. Je»eli lim

a

n+1

a

n

= 1, to kryterium d'Alemberta nie roz-

strzyga zbie»no±ci szeregu. W tym przypadku szereg mo»e by¢ zbie»ny,

a mo»e by¢ rozbie»ny.

Twierdzenie 2.7 (kryterium Cauchy'ego). Je»eli istnieje granica

(wªa±ciwa lub nie):

lim

n

p

a

n

= g;

to szereg o wyrazach nieujemnych

P

1

1

a

n

jest zbie»ny, gdy g < 1, a

rozbie»ny, gdy g > 1.

Uwaga 2.8. Je»eli lim

n

pa

n

= 1, to kryterium Cauchy'ego nie roz-

strzyga zbie»no±ci szeregu. Kryterium Cauchy'ego jest jednak mocniej-

sze ni» kryterium d'Alemberta.

3. Szeregi o wyrazach dowolnych

Definicja 3.1. Szereg postaci

P

1

n=1

( 1)

n+1

a

n

(a

n

> 0) nazywamy

szeregiem naprzemiennym.

Twierdzenie 3.2 (kryterium Leibniza). Je»eli ci¡g fa

n

g jest nie-

rosn¡cy tzn.:

a

1

­ a

2

­ : : : ­ a

n

­ : : :

oraz

lim a

n

= 0;

to szereg naprzemienny

P

1

n=1

( 1)

n+1

a

n

jest zbie»ny.

Definicja 3.3. Szereg zbie»ny

P

1

n=1

a

n

nazywamy bezwzgl¦dnie

zbie»nym, je»eli jest zbie»ny szereg

P

1

n=1

ja

n

j. Szereg zbie»ny

P

1

n=1

a

n

nazywamy warunkowo zbie»nym, je»eli szereg

P

1

n=1

ja

n

j jest rozbie»ny.

Twierdzenie 3.4. Je»eli szereg

P

n

i=1

ja

n

j jest zbie»ny, to jest zbie»-

ny równie» szereg

P

1

n=1

a

n

:

26

4. Zmiana porz¡dku wyrazów szeregu

Uwaga 4.1. Suma sko«czonej ilo±ci skªadników nie zale»y od kolej-

no±ci sumowania. Inaczej jest w przypadku sum niesko«czonych czyli

szeregów.

Twierdzenie 4.2. Niech

P

1

n=1

a

n

i

P

1

k=1

a

n

k

dwa szeregi ró»ni¡ce

si¦ tylko porz¡dkiem wyrazów.

(1) Je»eli jeden z szeregów jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, to drugi tak»e

jest bezwzgl¦dnie zbie»ny i oba maj¡ tak¡ sam¡ sum¦.

(2) Je»eli za± jeden z nich jest warunkowo zbie»ny, to poprzez

stosown¡ zamian¦ porz¡dku wyrazów mo»na otrzyma¢ szereg

zbie»ny do dowolnej z góry zadanej liczby lub nawet szereg roz-

bie»ny. Inaczej mówi¡c, kolejno±¢ wyrazów szeregu warunko-

wo zbie»nego mo»na zawsze tak zmieni¢, »eby otrzyma¢ szereg

zbie»ny do dowolnie wybranej liczby lub rozbie»ny.

5. Mno»enie szeregów

Definicja 5.1. Szereg

P

1

n=1

c

n

o wyrazach c

n

=

P

n

k=1

a

k

b

n+1 k

dla

n = 1; 2; : : : nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów.

Twierdzenie 5.2 (Cauchy'ego o iloczynie szeregów). Je»eli szeregi

s¡ zbie»ne, przy czym co najmniej jeden z nich jest bezwzgl¦dnie zbie»ny,

to ich iloczyn jezt zbie»ny, przy czym:

1

X

n=1

a

n

= (

1

X

n=1

a

n

)(

1

X

n=1

b

n

):

6. Caªka niewªa±ciwa w przedziale niesko«czonym

Definicja 6.1. Je»eli funkcja f(x) jest caªkowalna w sensie Rie-

manna w przedziale ha; T i dla ka»dego T > a oraz istnieje granica

wªa±ciwa lim

T !1

R

T

a

f(x)dy, to nazywamy j¡ caªk¡ niewªa±ciw¡ funkcji

f(x) w przedziale ha; +1) i oznaczamy symbolem

R

+1

a

f(x)dx.

Uwaga 6.2. Je»eli powy»sza granica istnieje i jest wªa±ciwa, to

mówimy, »e caªka niewªa±ciwa istnieje lub »e jest zbie»na. Je»eli po-

wy»sza granica nie istnieje albo jest niewªa±ciwa, to mówimy, »e caªka

niewªa±ciwa nie istnieje lub »e jest rozbie»na.

Uwaga 6.3. Podobnie okre±lamy caªki niewªa±ciwe:

Z

a

1

f(x)dx

def

= lim

T ! 1

Z

a

T

f(x)dx

Z

1

1

f(x)dx

def

= lim

T

1

! 1

Z

0

T

1

f(x)dx + lim

T

2

!1

Z

T

2

0

f(x)dx

27

Caªki niewªa±ciwe w przedziaªach niesko«czonych nazywamy te» caªka-

mi niewªa±ciwymi pierwszego rodzaju.

Twierdzenie 6.4 (kryterium caªkowe zbie»no±ci szeregu). Je»eli

funkcja f(x) jest nierosn¡ca i nieujemna w przedziale hm; +1), gdzie

m 2 N, to caªka

R

+1

m

f(x)dx i szereg

P

1

n=m

f(n) s¡ jednocze±nie zbie»ne

albo rozbie»ne.

7. Caªka niewªa±ciwa funkcji nieograniczonej

Niech f(x) b¦dzie funkcj¡ okreslon¡ w przedziale ha; b), nieograni-

czon¡ w lewostronnym s¡siedztwie punktu b oraz caªkowaln¡ w prze-

dziale ha; b "i dla ka»dego 0 < " < b a.

Definicja 7.1. Je»eli istnieje granica wªa±ciwa

lim

"!0

+

Z

b "

a

f(x)dx;

to nazywamy j¡ caªk¡ niewªa±ciw¡ funkcji f(x) w przedziale ha; b) i

oznaczamy tym samym symbolem co caªk¦ Riemanna, czyli

R

b

a

f(x)dx.

28

ROZDZIAŠ 4

Ci¡gi i szeregi funkcyjne

1. Ci¡gi funkcyjne

Niech X oznacza pewien niepusty zbiór liczb.
Definicja 1.1. Ci¡g funkcyjny w zbiorze X to funkcja, która ka»-

dej liczbie naturalnej przyporz¡dkowuje dokªadnie jedn¡ funkcj¦ okre-

±lon¡ w tym zbiorze. Je»eli f

n

oznacza funkcj¦ przyporz¡dkowan¡ licz-

bie n, to ci¡g funkcyjny oznaczamy ff

n

g b¡d¹ f

1

; f

2

; : : : ; f

n

; : : :

Uwaga 1.2. Je»eli ff

n

g jest ci¡giem funkcyjnym w zbiorze X, to

dla ka»dego ustalonego x

0

2 X ci¡g ff

n

(x

0

)g jest ci¡giem liczbowym.

Definicja 1.3. Ci¡g funkcyjny ff

n

g nazywamy zbie»nym do funk-

cji granicznej f i piszemy lim f

n

= f je»eli dla ka»dego x 2 X lim f

n

(x) =

f(x). Piszemy wtedy tak»e f

n

! f.

Uwaga 1.4. Z denicji Cauchy'ego granicy ci¡gu liczbowego otrzy-

mujemy:

f

n

! f 

^

">0

^

x2X

_



^

n>

jf

n

(x) f(x)j < "

Definicja 1.5. Ci¡g funkcyjny ff

n

g nazywamy jednostajnie zbie»-

nym w zbiorze X do funkcji granicznej f i piszemy f

n

) f, je»eli

^

">0

_



^

n>

^

x2X

jf

n

(x) f(x)j < "

Uwaga 1.6. Ró»nica pomi¦dzy zbie»no±ci¡ zwykª¡ (punktow¡) oraz

zbie»no±ci¡ jednostajn¡ polega na przestawieniu kolejno±ci kwantyka-

torów. Z praw rachunku kwantykatorów:

je»eli f

n

) f , to f

n

! f .

Zbie»no±¢ zwykªa nie zapewnia jednak zbie»no±ci jednostajnej.

2. Szeregi funkcyjne

Rozwa»my ci¡g funkcyjny f

1

; f

2

; : : : ; f

n

; : : : okre±lony w pewnym

zbiorze X.

29

Definicja 2.1. Ci¡g fS

n

g sum

S

n

=

n

X

k=1

f

k

(tzn. S

n

(x) =

P

n

k=1

f

k

(x)) nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznacza-

my symbolem

P

1

n=1

f

n

. Cz¦sto piszemy te»:

f

1

+ f

2

+


+ f

n

+

Definicja 2.2. Szereg

P

1

1

f

n

nazywamy zbie»nym, je»eli ci¡g je-

go sum cz¦±ciowych S

n

jest zbie»ny to znaczy S

n

! S w zbiorze X,

natomiast rozbie»nym w przypadku przeciwnym. Funkcj¦ graniczn¡ S

nazywamy sum¡ szeregu i piszemy

P

1

n=1

f

n

= S. Je»eli ci¡g sum cz¦-

±ciowych S

n

jest jednostajnie zbie»ny, to szereg nazywamy jednostaj-

nie zbie»nym. Je»eli szereg

P

1

1

f

n

jest zbie»ny oraz dodatkowo szereg

P

1

1

jf

n

j jest zbie»ny, to szereg funkcyjny nazywamy bezwzgl¦dnie zbie»-

nym.

Uwaga 2.3. Je»eli funkcje f

n

s¡ ci¡gle, a

P

1

1

f

n

jest jednostajnie

zbie»ny, to jego suma jest funkcj¡ ci¡gl¡.

Twierdzenie 2.4 (Kryterium Weierstrassa). Je»eli istnieje taka

liczba naturalna N, »e dla ka»dego n ­ N i dla ka»dego x 2 X speª-

niona jest nierówno±¢ jf

n

(x)j ¬ a

n

, przy czym szereg liczbowy

P

1

n=1

a

n

jest zbie»ny, to szereg funkcyjny

P

1

n=1

f

n

jest zbie»ny jednostajnie i bez-

wzglednie w zbiorze X.

Twierdzenie 2.5 (o caªkowaniu szeregu funkcyjnego). Je»eli sze-

reg

P

1

n=1

f

n

o wyrazach ci¡gªych w przedziale ha; bi jest w tym przedziale

jednostajnie zbie»ny, to

Z

b

a

"

1

X

n=1

f

n

(x)

#

dx =

1

X

n=1

Z

b

a

f

n

(x)dx:

Twierdzenie 2.6 (o ró»niczkowaniu szeregu funkcyjnego). Je»e-

li wyrazy szergu

P

1

n=1

f

n

maj¡ ci¡gªe pochodne f

0

n

w przedziale ha; bi,

szereg ten jest zbie»ny punktowo w tym przedziale, a ponadto szereg

P

1

n=1

f

0

n

jest jednostajnie zbie»ny w przedziale ha; bi, to

"

1

X

n=1

f

n

#

0

=

1

X

n=1

f

0

n

:

30

Bibliograa

[1] G. M. Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa, 1978.

[2] F. Leja, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa, 1969.

[3] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.

[4] W. ›akowski, W. Koªodziej Matematyka , cz¦±¢ II, WNT, Warszawa, 2000.

31