7.02.2013r.

Wszystkie zadania proszę rozwiązywać w teorii ZFC. W nawiasach jest podane ile punktów można dostać za prawidłowe rozwiązanie poszczególnych fragmentów zadań.

Zad. 1. (Zupełność). (a) Napisać definicję ciągu Cauchy'ego w przestrzeni metrycznej (1 pkt). Podać przykład metryki zupełnej w
, która nie jest całkowicie ograniczona (2 pkt) i metryki całkowicie ograniczonej w
, która nie jest zupełna (2 pkt).

(b) Sformułować twierdzenie Cantora o metrykach zupełnych (2 pkt) i przedstawić zarys dowodu tego twierdzenia (3 pkt) w ZFC.

Zad. 2. (Zwartość). (a) Napisać definicje pokrycia otwartego przestrzeni topologicznej (1 pkt) i zbioru zwartego w przestrzeni topologicznej (1 pkt). Odpowiedzieć na pytanie, które z następujących zbiorów są zwarte w
: [-1;1)², [0;1]², {(0,0),(1,2),(3,4)}, zbiór opisany w podstawowym układzie współrzędnych równaniem
, zbiór opisany w podstawowym układzie współrzędnych równaniem
? (3 pkt)

(b) Sformułować twierdzenie o dziedziczeniu zwartości przez zbiory domknięte (2 pkt) i napisać zarys dowodu tego twierdzenia (3 pkt).

Zad. 3. (Krzywe). (a) Napisać definicję krzywej jako przekształcenia ciągłego (1 pkt), łuku w przestrzeni topologicznej (1 pkt) i krzywej Jordana (1 pkt). Podać przykład krzywej w sensie Urysohna w
, która nie jest krzywą Jordana (2 pkt).

(b). Sformułować twierdzenie o konturze jako krzywej (2 pkt) i przedstawić zarys dowodu tego twierdzenia (3 pkt).

Zad. 4. (Normy i iloczyny skalarne). (a) Napisać definicje iloczynu skalarnego (1 pkt) i normy wyznaczonej przez iloczyn skalarny (1 pkt) w rzeczywistej przestrzeni liniowej. Określić metrykę euklidesową w
(1 pkt) i uzasadnić, że jest ona wyznaczona przez pewną normę wyznaczoną przez pewien iloczyn skalarny (2 pkt).

(b) Podać definicję bazy prostopadłej unormowanej liniowej przestrzeni euklidesowej (1 pkt), wskazać jakąś bazę prostopadłą unormowaną przestrzeni
(1 pkt) i opisać metodę ortogonalizacji Schmidta (3 pkt).

Zad. 5. (Zbiory algebraiczne). (a) Napisać definicje zbioru algebraicznego w
(1 pkt), stopnia zbioru algebraicznego w
(1 pkt), kwadryki (1 pkt). Podać przykład kwadrygi (1 pkt) i przykład zbioru algebraicznego w
, który nie jest kwadryką (1 pkt).

(b) Dla liczby naturalnej n>1, napisać wzór na odległość punktu
od hiperpłaszczyzny H w
o równaniu ogólnym a₁x₁+…+a_nx_n+b=0 (1 pkt) i uzasadnić ten wzór (3 pkt). Odpowiedzieć na pytanie: czy taka hiperpłaszczyzna jest zbiorem algebraicznym? (1 pkt)

---