POMIAR ODLEGŁOŚCI OGNISKOWYCH

SOCZEWEK.

WSTĘP TEORETYCZNY.

Soczewka jest elementem optycznym , którego działanie oparte jest na zjawisku załamania promieni świetlnych na granicy dwóch ośrodków. Zadaniem każdego układu optycznego opartego na zestawie soczewek, jest transponowanie homocentrycznej wiązki świetlnej. Wiązką homocentryczną nazywamy wiązkę, posiadającą jeden wspólny punkt przecięcia. Może być wiązką rozchodzącą lub schodzącą. Soczewki są powierzchniami sferycznymi, więc prosta, na której znajdują się środki krzywizn układu soczewek nazywamy osią optyczną układu. Układ soczewkowy pozwala uzyskać przetransponowany obraz dowolnego przedmiotu. Zbiór punktów przestrzeni, w której znajdują się przedmioty nazywa się przestrzenią przedmiotową(U). Zbiór obrazów punktów przestrzeni przedmiotowej tworzy przestrzeń obrazową(R). Jest to obszar rozciągający się od powierzchni załamującej po stronie utworzonych obrazów rzeczywistych.

Soczewki wykonane z materiału o współczynniku załamania większym niż otaczające środowisko można podzielić na dwie grupy: skupiające i rozpraszające. Soczewki skupiające mogą być dwuwypukłe, płasko-wypukłe, wklęsło-wypukłe o promieniu krzywizny powierzchni wklęsłej większym niż powierzchni wypukłej (soczewki grubsze w środku niż na brzegach). Soczewki rozpraszające mogą być dwuwklęsłe, płasko-wklęsłe i wypukło- wklęsłe o promieniu krzywizny powierzchni wypukłej większym niż wklęsłej (soczewki są grubsze na brzegach niż w środku).

Powstawanie obrazów w tych soczewkach ilustruje rysunek:

AB - przedmiot A'B' - obraz F,F' - ogniska

Punkt, w którym przecinają się promienie(lub ich przedłużenia) wiązki równoległej światła po przejściu przez soczewkę, nazywany jest ogniskiem F, a odległość ogniska od środka soczewki - odległością ogniskowej 'f'. Podstawową wielkością charakteryzującą soczewkę jest jej zdolność zbierająca (odwrotność odległości ogniskowej 'f '). Każda z powierzchni soczewki ma środek krzywizny, a prosta przechodząca przez oba środki krzywizny nazywa się osią główną soczewki.

POMIARY.

Przebieg ćwiczenia:

Wyznaczenie odległości ogniskowej metodą wzoru soczewkowego.

Wyznaczenie odległości ogniskowych metodą pozornego przedmiotu.

Wyznaczenie odległości ogniskowych metodą Bessela.

Wyznaczenie odległości ogniskowych przy pomocy okularu mikrometrycznego i kolimatora.

Wyznaczenie odległości ogniskowej soczewek metodą wzoru soczewkowego.

Dla dwóch różnych odległości ( p) przedmiotu od soczewki należało zmierzyć doświadczalnie odpowiednie odległości ( p') wytworzonych obrazów od soczewki, a następnie obliczyć ogniskową obrazową ( f') soczewki na podstawie wzoru soczewkowego:

Oznaczenia danych: f' - ogniskowa soczewki skupiającej;

d - odległość ekranu od przedmiotu;

p - odległość soczewki od przedmiotu;

p'- odległość ekranu od soczewki;

f₁₂' - ogniskowa układu soczewek;

1. soczewka skupiająca

1.

p	d	p'
[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]
-40	66,8	26,8
-40	66,9	26,9
pŚR	p	p'ŚR	p'
[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]
-40	0,1	26,85	0,1

Ogniskową soczewki skupiającej obliczamy ze wzoru :

f' = 1 / (1/p' - 1/p)

Błąd tej wielkości obliczamy metodą różniczki logarytmicznej:

f' = [ p'/ p' + p/ p + p/(p -p') + p'/ (p -p') ]^. f'

f' = 1 / (1/ 26,85 - 1/(- 40)) = 16,07 [cm ]

f' = [ 0,1/26,85 + 0,1/40 + 0,1/66,85 + 0,1/66,85 ] ^. 16,07 = 0,148 [cm]

Ostatecznie otrzymujemy: f' = 16,07 + 0,15 [ cm ]

2)

p	d	p'
[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]
-50	73,2	23,2
p	p	p'	p'
[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]
-50	0,1	23,25	0,1

Otrzymujemy: f' = 15,87 + 0,14 [ cm ]

2. układ soczewek

1)

p	d	p'
[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]
-40	69,8	29,8
-40	69,9	29,9
p	p	p'	p'
[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]
-40	0,1	29,85	0,1

: f₁₂^' = 17,09 + 0,15 [ cm ]

2)

p	d	p'
[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]
-50	75,2	25,2
-50	75,3	25,3
pŚR	p	p'ŚR	p'
[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]
-50	0,1	25,25	0,1

Otrzymujemy: f₁₂^' = 16,78 + 0,12 [cm ]

Wyznaczenie odległości ogniskowej soczewki rozpraszającej metodą pozornego przedmiotu.

Przedmiot pozorny dla soczewki rozpraszającej uzyskujemy umieszczając między przedmiotem rzeczywistym i soczewką rozpraszającą soczewkę skupiającą w ten sposób, aby na soczewkę rozpraszającą padała zbieżna wiązka promieni świetlnych. Przedmiotem pozornym dla soczewki rozpraszającej będzie obraz przedmiotu dawany przez soczewkę skupiającą. Soczewka rozpraszająca wytworzy obraz rzeczywisty tego przedmiotu pozornego. Mierząc odległość p i p' i wykorzystując wzór soczewkowy można obliczyć ogniskową obrazową soczewki rozpraszającej.

p	p	p'	p'	f"	f"
[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]
23,3	0,1	27,6	0,1	-149,6	-8,2

Ogniskową soczewki rozpraszającej obliczamy z wcześniej już podanego wzoru:

f” = 1/ [( 1/ p') - (1/ p)]

Błąd obliczamy metodą różniczki logarytmicznej:

f” = [ p'/ p' + p/ p + p/(p -p') + p'/ (p -p') ]^. f'

Ostatecznie otrzymujemy: f” = -149,6 + (-8,2) [ cm ]

Wyznaczenie odległości ogniskowej soczewek metodą Bessela.

Ustawiamy na ławie optycznej przedmiot i ekran w odległości d (d>4f). Przesuwając konik z soczewką wzdłuż ławy optycznej znajdujemy takie położenie soczewki c₁ , w którym na ekranie powstanie ostry, powiększony obraz przedmiotu. Powtarzamy kilka razy pomiar w położeniu c₁ i liczymy wartość średnią c_1ŚR. Następnie znajdujemy położenie c­₂ soczewki, które odpowiada pomniejszonemu obrazowi. Liczymy wartość średnią c_2ŚR. Z kolei wyznaczamy odległość c między obu położeniami soczewki oraz odległość d przedmiotu od ekranu.

Odległość ogniskową soczewki skupiającej wyznaczamy ze wzoru :

f '=(d2 - c2) / 4d .

W celu wyznaczenia odległości ogniskowej soczewki rozpraszającej f” należy umieścić ją w oprawie z przysłoną irysową razem z tak dobraną soczewką skupiającą (o wyznaczonej uprzednio ogniskowej f'), aby otrzymany układ soczewek był skupiający.

Odległość ogniskową soczewki rozpraszającej obliczamy ze wzoru:

f” = 1 / ( (1/ f₁₂') - (1/ f') ) .

Oznaczenia danych: f” - ogniskowa soczewki rozpraszającej;

f' - ogniskowa soczewki skupiającej;

f₁₂' - ogniskowa układu soczewek;

d - odległość przedmiotu od ekranu;

c₁ - pierwsze położenie soczewki (obraz powiększony);

c₂ - drugie położenie soczewki (obraz pomniejszony);

c = c₂ - c₁ [cm];

1. soczewka skupiająca:

d		c1		c2		c
[ cm ]		[ cm ]		[ cm ]		[ cm ]
120		28,3		108,2		79,9
120		28,4		108,3		79,9
120		28,3		108,4		80,1
d		d		c		c		f'		f
[ cm ]		[ cm ]		[ cm ]		[ cm ]		[ cm ]		[ cm ]
120		0,1		79,97		0,2		16,68		0,16

Odległość ogniskową soczewki skupiającej wyznaczamy ze wzoru:

f' = ( d² - c² ) / 4d

Błąd tej wielkości obliczamy metoda różniczki logarytmicznej:

f' = [ d/(d -c) + c/(d -c) + d/(d +c) + c/(d +c) + d /d ]^. f'

f' = (120² - (79,97)² ) / 4^. 120 = 16,68 [ cm ]

f'  [0,1/40,03 + 0,2/40,03 + 0,1/199,97 + 0,2/199,97 + 0,1/120 ]^. 16,68 = 0,1639

Ostatecznie otrzymujemy: f' = 16,68 + 0,16 [ cm ]

2. soczewka rozpraszająca

układ soczewek:

d	c1	c2	c
[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]
120	30,1	105,3	75,2
120	30,2	105,4	75,2
120	30,3	105,2	74,9
d	d	c	c	f12'	f12'
[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]	[ cm ]
120	0,1	75,1	0,2	18,25	0,17

Ostatecznie: f₁₂' = 18,25 + 0,17 [cm ]

Odległość ogniskową soczewki rozpraszającej obliczamy ze wzoru:

f” = 1 / ( (1/ f₁₂') - (1/ f') )

Błąd tej wielkości wyznaczamy metodą różniczki logarytmicznej:

f” = [ f₁₂/ f₁₂ + f'/ f' + f'/(f'- f₁₂) + f₁₂/(f'- f₁₂) ]^. f”

f” = 1 / ( (1/18,25) - (1/16,68) ) = -193,89 [cm]

f” = [ 0,17/18,25 + 0,16/16,68 + 0,16/1,57 + 0,17/1,57 ]^. (-193,89) = -8,490 [cm ]

Ostatecznie: f” = -193,89 + (-8,5) [ cm ]

Wyznaczanie odległości ogniskowych soczewek za pomocą okularu mikrometrycznego i kolimatora.

Kolimator służy do otrzymywania równoległej wiązki światła. W płaszczyźnie ogniskowej jego obiektywu umieszczona jest płytka ogniskowa z podziałką. Skalę na płytce ogniskowej kolimatora oświetlamy przez matową płytkę umieszczoną w okularze. Obraz skali utworzony przez kolimator znajduje się w nieskończoności i zostaje skupiony przez badaną soczewkę w jej płaszczyźnie ogniskowej obrazowej. Obraz podziałki kolimatora można oglądać za pomocą okularu mikrometrycznego. Na tle podziałki okularu mikrometrycznego obserwujemy obraz kresek skali kolimatora i możemy zmierzyć odległości między wybranymi kreskami.

Aby wyznaczyć odległość ogniskową soczewki za pomocą okularu mikrometrycznego i kolimatora należy:

wyregulować ustawienie soczewek okularu mikrometrycznego na ostre widzenie krzyża naciętego na jego płytce ogniskowej;

zestawić na ławie optycznej przyrządy w następującej kolejności : oświetlacz, kolimator, badana soczewka, okular mikrometryczny;

przesuwając okular lub badaną soczewkę wzdłuż ławy optycznej znaleźć takie ich położenie aby widzieć ostro obraz skali kolimatora na tle krzyża;

wybrać dwie odległe kreski na skali kolimatora, policzyć liczbę k działek między nimi;

ustawić okular mikrometryczny tak aby przy obrocie bębenka miejsce przecięcia nitek krzyża przesuwało się równolegle do obrazu skali kolimatora;

nastawić miejsce przecięcia nitek krzyża okularu mikrometrycznego na lewą skrajną kreskę skali kolimatora, na skali okularu mikrometrycznego odczytać jej położenie, w ten sam sposób dokonać pomiaru dla prawej kreski. Różnica tych odczytów stanowi odległość x' między wybranymi do pomiaru kreskami skali;

przyjmując ₀ = 4,3 ' obliczyć szukaną odległość ogniskową soczewki ze wzoru: f ' = x'/ tg 

gdzie: x' - odległość między wybranymi kreskami obrazu skali kolimatora;

 - kąt utworzony przez promienie wychodzące z punktu A na skali

kolimatora z kierunkiem osi optycznej układu ( = k^.₀ );

₀ - odległość kątowa między kolejnymi kreskami numerowanymi na skali

k - odległość między kreskami podziałki;

1. soczewka skupiająca

k = 30

x' = 3,66 mm = 0,366 cm

₀ = 4,3' = 0,07 ⁰

Odległość ogniskową soczewki skupiającej obliczamy z wyżej podanego wzoru:

f' = x' / tg 

Błąd tej wielkości obliczamy metodą różniczki zupełnej:

f' = (x'/ tg 

f' = 0,366 / tg ( 30 ^. 0,07 ⁰) = 0,366 / tg (2,15) = 0,366 / 0,0375 = 9,76 [cm ]

f' = (0,002/ 0,0375) = 0,054 [ cm ]

 = f'/ f' = 0,5 %

Ostatecznie: f' = 9,76 + 0,1 [ cm ]

b)soczewka rozpraszająca

- układ soczewek:

k = 30

x' = 3,74 = 0,374 [cm]

₀ = 4,3' = 0,07 ⁰

f₁₂' = 0,374 / tg ( 30 ^. 0,07 ⁰) = 0,374 / tg (2,15) = 0,374 / 0,0375 = 9,97 [cm ]

f₁₂' = (0,002/ 0,0375) = 0,054 [ cm ]

Ostatecznie: f₁₂' = 9,97 + 0,1 [ cm ]

Odległość ogniskowa dla soczewki rozpraszającej:

f” =1 / ( ( 1/ f₁₂') - ( 1/ f') )

Błąd tej wielkości obliczamy metodą różniczki logarytmicznej:

f” = [ f₁₂/ f₁₂ + f'/ f' + f'/(f'- f₁₂) + f₁₂/(f'- f₁₂) ]^. f”

f” = 1 / ( 1/9,76 - 1/9,97 ) = -463,37 [cm]

f” = [ 0,1/9,76 + 0,1/9,97 + 0,1/0,21 + 0,1/0,21]^. (-463,37) = - 11,8 [cm ]

Ostatecznie: f” = - 463,37 + (-11,8) [ cm ]

RODZAJ STOSOWANEJ METODY	SOCZEWKA SKUPIAJĄCA NR 5	SOCZEWKA ROZPRASZAJĄCA NR 12
metoda wzoru soczewkowego	f' = 16,07 + 0,2 [cm]	-----
metoda pozornego przedmiotu	-----	f” = -149,6 + (- 8,2) [cm]
metoda Bessela	f' = 16,68 + 0,2 [cm]	f” = -193,89 + (- 8,5) [cm]
metoda okularu mikrometrycznego	f' = 9,76 + 0,1 [cm]	f” = - 463,37 + (-11,8) [cm]

WNIOSKI.

Celem ćwiczenia było zapoznanie się z podstawowymi parametrami soczewki, a także wyznaczanie odległości ogniskowych soczewek różnymi metodami.

Wyznaczałyśmy długości ogniskowe soczewki skupiającej (nr 5) i rozpraszającej (nr 12) a także układu tych soczewek.

W metodzie wzoru soczewkowego oraz w metodzie pozornego przedmiotu, błędy p i p' szacuje się z dokładności odczytu położeń soczewki i przedmiotu za pomocą linijki. W tym przypadku oba błędy p i p' są tego samego rzędu.

W metodzie Bessela popełniany błąd odnosi się właściwie do pomiaru wielkości c. Błąd c jest równy podwojonej wartości działki elementarnej naszego przyrządu pomiarowego. Odległość przedmiotu od ekranu jest w tym przypadku dość duża (d > 4f), więc błąd d /d jest bardzo mały i może zostać pominięty.

Przy wyznaczaniu f' i f” metodą kolimatora i okularu mikrometrycznego należy uwzględnić dokładność odczytu za pomocą okularu. Wynosi ona x' = 0,02 mm. Wychodząc ze wzoru: x' = d (gdzie: d - przesuw śruby mikrometrycznej) otrzymujemy x' = 0,02 mm. Odległość kątową między kolejnymi numerowanymi kreskami skali kolimatora można przyjąć za bezbłędną, tzn. nie obarczoną żadnym błędem.

6

---