Nonlinear Least Squares Regression

(Curve Fitter)

http://statpages.org/nonlin.html

John C. Pezzullo

ON LINE

INETRNETOWA REGRESJA NIELINIOWA

Przekład:

Robert Wiśniewski

Strona ta pozwala na dopasowanie dowolnej funkcji zawierającej do 8 parametrów do zestawu danych. Wystarczy wyspecyfikować funkcję i wartości początkowe (pierwsze przybliżenia) parametrów.

Po klinięciu przycisku Iterate, program JavaScript wyznacza najlepiej dopasowane parametry. Jest to procedura interaktywna i przy dobrych warunkach początkowych (i odrobinie szczęścia), zwykle jest zbieżna do rozwiązania metodą najmniejszych kwadratów w pięciu pierwszych iteracjach.

Program również dopasowuje modele nieliniowe metodą najmniejszych odchyleń bezwzględnych i metodą krzywych percentylowych (przy wyspecyfikowanych udziałach punktów pod krzywą)

Informacje podstawowe (czym jest dopasowanie krzywej nieliniowej)

Proste dopasowanie liniowe korzysta z funkcji liniowej względem parametrów, nawet jeśli zmienne są nieliniowe. Przykładowo, parabola y=a+b*x+c*x*x jest funkcją nieliniową (z uwagi na kwadratowy człon x), ale dopasowanie paraboli do zestawu danych jest stosunkowo prostym zadaniem rozwiązania tego problemu za pomocą prostej regresji liniowej, ponieważ można wprowadzać parametry do modelu jako proste mnożniki dodawanych członów. Innym przykładem problemu regresji liniowej jest model y= a+b*Log(x)+c/x , w którym istnieją człony nieliniowe x funkcji, ale parametry wprowadza się do formuły w prosty, liniowy sposób.

Niestety, większość funkcji występujących w świecie rzeczywistym jest nieliniowych względem parametrów, np. takie jak krzywa spadku wykładniczego y=a*Exp(-b*x), gdzie stała b jest wplątana w funkcję wykładniczą. Niektóre funkcje nieliniowe można zlinearyzować, np. przez logarytmowanie dp postaci Log(y)=a'-b*x . Parametr a' w tej nowej funkcji jest logarytmem parametru a oryginalnego równania, a więc po wyznaczeniu a' można obliczyć antylogarytm w celu uzyskania wartości a.

Jednak często mamy do czynienia z funkcjami, których nie można zlinearyzować w taki prosty sposób, czego przykładem może być funkcja spadku wykładniczego y=a*Exp(-b*x)+c. Stosując względem niej logarytmowanie uzyskujemy Log(y-c)=a'-b*x. Pozwala to na linearyzację parametru b, ale parametr c pozostaje wewnątrz logarytmu, co nadal pozostawia problem estymacji modelu nieliniowego, znacznie trudniejszy niż regresja liniowa. Właśnie temu celowi służy niniejsza strona internetowa

Dokładniejsze omówienie tego zagadnienia przedstawił dr Harvey Motulsky na stronie internetowej http://curvefit.com/, gdzie znajduje się obszerny podręcznik regresji nieliniowej. Większość informacji tego podręcznika zaczerpnięto z książki Analyzing Data with GraphPad Prism, towarzyszącej programowi GraphPad Prism.

Podręcznik ten można ściągnąć w postaci pliku PDF korzystając z internetowego adresu http://curvefit.com/analyzing_data_book.htm.

Informacje techniczne (dla zainteresowanych tym zagadnieniem)

Strona ta zawiera bezpośrednią (bez wnikania w szczegóły) implementację JavaScript metody korekty różniczkowej, która pozwala na rozwinięcie dopasowywanej funkcji w szereg Taylora wokół aktualnych przybliżeń parametrów, pozostawiając człony pierwszego stopnia (liniowe) i rozwiązując utworzony układ równań liniowych przerostową zmianą parametrów.

Program ten oblicza przybliżenia różnic skończonych dla wymaganych pochodnych cząstkowych, po czym korzysta z algorytmu prostej eliminacji do odwrócenia i rozwiązania tego układu równań. Na podstawie elementów przekątnych macierzy równań normalnych uzyskuje się centralne estymacje graniczne błędów standardowych parametrów.

Macierz kowariancji obliczana jest przez mnożenie każdego elementu odwrotności macierzy równań normalnych przez ważona wariancję błędu. Jest ona wykorzystana do estymacji parametru błędu korelacji i do obliczania pasma przedziałów ufności wokół dopasowanej krzywej. Przedstawia on losowość dopasowanej krzywej na podstawie błędów próbkowania w estymowanych parametrach i nie obejmuje wpływów błędów zmiennych zależnych i niezależnych.

Strona ta również oblicza uogólniony współczynnik korelacji jako pierwiastek kwadratowy udziału łącznej wariancji y objaśnianej dopasowaną funkcją.

Nierówności wagowe obliczane są przez wyspecyfikowanie błędu standardowego związanego ze zmienną y. Błędy stałe, błędy proporcjonalne lub błędy Poissona (pierwiastki kwadratowe) można wyspecyfikować w menu i nie muszą być wprowadzane w tabeli danych. jednak błędy standardowe można również wprowadzać wraz ze zmiennymi x i y. W końcu, można także wprowadzać powtórzenia pomiarów y, a program będzie obliczał średnie i błędy standardowe średnich.

Dostępne są również pewne transformacje zmiennej (logarytmy, odwrotności, oraz pierwiastki kwadratowe), które mogą uprościć dopasowywaną funkcję i poprawiać zbieżność, stabilność oraz dokładność algorytmu iteracyjnego. Gdy stosuje się transformację do zmiennej y, program dopasuje odpowiednio jej wagi.

Strona ta dopasowuje również krzywe metodą najmniejszych odchyleń bezwzględnych przez stosowanie iteracyjnego schematu wagowego, przy którym każdy punkt danych jest w granicach błędu standardowego równo odległy od dopasowanej krzywej. Istnieje opcja pozwalająca na różniczkowe ważenie górnych punktów krzywej względem dolnych punktów krzywej w celu uzyskania odpowiedniego podziału tych punktów (dopasowanie percentylowe).

Nie stosuje się specjalnych metod szukania, takich jak techniki zachowania dokładności Pivoting, przyspieszania zbieżności lub techniki stabilizacji iteracji (inne niż proste ustawianie udziałów przez użytkownika). Metoda ta może nie być zadowalająca przy szczególnych układach, ale powinna działać poprawnie w większości układów praktycznych występujących w świecie rzeczywistym.

Aktualna implementacja jest ograniczona do 8 parametrów i 8 zmiennych niezależnych. Taki naturalny limit może być w razie potrzeby zwiększony bez większych problemów.

Nie wiem w jaki sposób maksymalna liczba punktów danych zależy od maksymalnej długości łańcucha waszej przeglądarki, ponieważ zawartość okna danych i wyników jest traktowana jako jeden duży łańcuch.

Korzystałem przy dopasowaniu na tej stronie z 500 punktów danych bez żadnych problemów.

Poniższe pola są wstępnie ładowane jako prosty przykład.

Obejmuje on chłodzenie szklanki wody od temperatury wrzenia do temperatury pokojowej w ciągu 1 godziny przy korzystaniu z prawa Newtona chłodzenia:

Temp = ( T₀ - T_room ) * Exp( - k * Time ) + T_room

Instrukcje

1. 
   Wprowadzić liczbę punktów danych
   

2. 
   Wprowadzić liczbę zmiennych niezależnych (0 - 8, zwykle 1)
   

3. Wprowadzić liczbę parametrów (1-8)
   

4. 
   Wprowadzić formułę dopasowywanej funkcji zwykle
   
   y =
   
   Zachować ostrożność aby stosować niżej opisaną składnię wyrażeń (w szczególności, nie należy stosować znaku ^ do potęgowania; trzeba korzystać w tym celu z funkcji Power. Wprowadzać tylko część wyrażenia po znaku równości = (jeśli korzystamy z modelu y=a+b*x, należy wprowadzać w tym polu tylko a+b*x). Należy odwoływać się do parametrów takich jak: a, b, c, d, e, f, g, oraz h, albo takich jak: p1, p2, p3, ..., p8. Gdy w modelu występuje mniej niż 8 parametrów, zaczynać od a lub p1 i nie przeskakiwać liter w kolejności (np. gdy mamy 3 parametry, NIE stosować a, c, oraz d). Gdy istnieje tylko jedna zmienna niezależna, nazywać ją: x (lub x1 albo t); gdy w modelu istnieje więcej niż jedna zmienna niezależna, nazywać je: x1 (lub x albo t), x2, x3, ..., x8.

5. Wpisać (lub wkleić) dane [x, y].

Korzystać z osobnych wierszy dla każdego punktu danych. Zmienną niezależną x lub
zmienne (x1, x2, etc.) należy wprowadzać najpierw, następnie wprowadzać zmienne zależne
y, a po nich (jeśli specyfikujemy dokładność powyższych danych), wprowadzać odchylenia
standardowe zmiennych y. Gdy dokładność specyfikujemy za pomocą powtórzeń Replicate,
można wprowadzać po kilka wartości y dla jednego punktu. Poszczególne wartości należy
oddzielać przecinkami. Można kopiować dane z innych programów, np. takich jak arkusze
kalkulacyjne i wklejać je do powyższego okna. Mogą one stosować separatory w postaci
znaków tabulacji (zamiast przecinków), ale nie stanowi to problemu, ponieważ program
będzie przekształcał znaki tabulacji na przecinki przy pierwszej iteracji.
Opcjonalnie, można wyspecyfikować dokładność zmiennej y (odchylenie standardowe),
transformacje zmiennych x i y oraz regresję metodą odchyleń wartości bezwzględnych.

6. Wprowadzić najlepsze pierwsze przybliżenia parametrów:

Gdy istnieje mniej niż 8 parametrów, wpisać w dodatkowych polach wartości 0 (wszelkie liczby
wprowadzane w polach „dodatkowych” parametrów ponad liczbę wyspecyfikowaną wcześniej w punkcie 3, będą „dostępne” do korzystania w formule, ale nie będą dopasowywane procesie iteracji). Nie należy nic wprowadzać w polach po prawej stronie znaków ±, ponieważ program będzie tam wstawiał błędy standardowe i poziomy istotności tych parametrów.

7. Kliknąć przycisk
   aby wykonać jeden cykl, iteracji i obserwować jak zmieniają się parametry w powyższych polach.
   
   Przyglądać się również wartości w polu RMS Error oraz poniższemu obszarowi wyników Output Area.
   W razie wystąpienia problemów ze zbieżnością parametrów, można w tym polu
   ustawić ułamkowy współczynnik zbieżności Fractional Adjustment Factor. Wartości mniejsze od 1.0 odnoszą się tylko do obliczanych parametrów, zwalniając wprawdzie nieco zbieżność, ale poprawiają jest stabilność. Wprowadzić ponownie w tym polu wartość 1.0, gdy iteracje będą wyglądały na zbieżne.
   
   Pole RMS Err =
   (ważony błąd standardowy estymacji) wyświetla średni rozrzut punktów od dopasowywanej krzywej. Jest to wartość względna odnoszona do estymowanych punktów. Wartości znacznie wyższe od 1 wskazują na to, że krzywa nie jest idealnie dopasowana do punktów w granicach ich naturalnych błędów.

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

Podkreśla się, że każdy krok iteracji oblicza nowe wartości yc, różnice, współczynniki korelacji
oraz błędy RMS, wszystkie oparte na wynikach ostatniego kroku iteracji.

Zawsze należy dodatkowo klikać przycisk iteracji
po uzyskaniu zbieżności.

8. Gdy nowe wartości parametrów wyglądają na odpowiednie, kliknąć jeszcze raz przycisk iteracji i kontynuować aż do osiągnięcia pełnej zbieżności.
   

9. Gdy jakieś parametry wyglądają na rozbieżne, wprowadzić ich odpowiedniejsze wartości początkowe i znowu kliknąć przycisk iteracji.
   

10. Aby wydrukować wyniki, można skopiować i wkleić zawartość powyższego okna wyników do procesora Word lub do edytora tekstowego, po czy je wydrukować. Najlepszy wygląd uzyskuje się przy korzystaniu z czcionki o stałej szerokości, takiej jak Courier.
    

11. Można również przenieść wyniki do arkusza kalkulacyjnego, np. Excel w celu sporządzania wykresów. Zaznaczyć wiersze w oknie wyników zawierające wartości x, yo, yc, etc. (w tym wiersz nagłówków), skopiować do schowka, wkleić do Excela, po czym skorzystać z polecenia Excela Dane | Tekst jako kolumny aby podzielić dane na osobne kolumny. Następnie można skorzystać z Excela do sporządzenia wykresu pokazującego obserwowane punkty, obliczoną krzywą, a nawet pasma ufności wokół dopasowanej krzywej !
    Łatwiej jest zaznaczyć poniższe pole Tab-delimited output i kliknąć przycisk Iterate jeden lub kilka razy. Wyniki w powyższym oknie będą miały gorszy wygląd, ale po wklejeniu do Excela będą miału poprawny układ i je trzeba będzie wykonywać podziału tekstu na kolumny.

Możliwości opcjonalne

Można korzystać z poniższych możliwości opcjonalnych. Zostały one tu zgromadzone w celu uniknięcia zagęszczenia informacji w głównej części okna obliczeń

• Opcjonalnie - Zaznaczyć pole Tab-delimited output
  (znacznie ułatwia wklejanie wyników do arkuszy kalkulacyjnych).
  

• Opcjonalnie - Wyspecyfikować błąd standardowy związany ze zmienną y
  :

• Equal - Wszystkie punkty mają taką samą dokładność.

• Relative - Błąd standardowy Std Err każdej wartości y jest proporcjonalny do samej zmiennej y.

• Counts - Błąd standardowy Std Err = pierwiastek kwadratowy wartości y. Opcja ta jest odpowiednia jeśli y reprezentuje liczbę wystąpień jakiegoś zdarzenia (np. takiego jak impuls radioaktywny).

• Data - Błąd standardowy Std Err jest wyspecyfikowany w oknie danych jako osobna kolumna wartości, bezpośrednio po prawej stronie wartości y.

• Replicates - Wybrać tą opcje gdy mamy wprowadzone kilka powtórzeń y.
  (w razie wątpliwości, wybrać opcję Equal).

• Opcjonalnie - Wyspecyfikować wszelkie transformacje wprowadzane do zmiennych zależnych i/lub do zmiennych niezależnych.

Program regresji nieliniowej na ogół nie wymaga stosowania transformacji danych. jednak
takie transformacje mogą tworzyć funkcje bardziej liniowe, co sprawia, że proces iteracji staje
się bardziej stabilny i uzyskuje się szybszą zbieżność. Program będzie automatycznie
dopasowywał wagi w celu skompensowania transformacji zmiennej y.

• Opcjonalnie - Stosować na własne ryzyko ! Zaznaczyć pole
  Least-Absolute-Value curve fitting. Opcja ta próbuje minimalizować sumę wartości bezwzględnych różnic (y_o-y_c) zamiast sumę kwadratów różnic. Metoda ta ma taką sam związek z metodą najmniejszych kwadratów jak mediana ze średnią. Krzywa wyznaczana tą metodą jest mniej zależna od wartości odbiegających niż krzywa najmniejszych kwadratów. Ma ona również ta właściwość, że około 50 % punktów leży nad krzywą i około 50 % punktów leży pod krzywą.
  Alternatywnie, można w tym polu
  wyspecyfikować procent punktów, jakie mają znajdować się pod krzywą (jako liczbę większą od 0 i mniejszą od 100). Dzięki temu można dopasować krzywą percentyli do danych !
  Zbieżność może być wtedy bardo powolna i/lub błędna (parametry zmieniające się w sposób przypadkowy). Ustawienie współczynnika zbieżności Fractional Adjustment Factor na wartości z przedziału od 0.2 do 0.5 może (ale nie musi) poprawić zbieżność.
  Krzywa N-parametrowa zwykle przechodzi dokładnie przez wszystkie N-punktów

Składnia wyrażeń

• Operatory: +. -, *, /, oraz nawiasy (podkreśla się, że nie stosuje się znaku ^ potęgowania, a zamiast tego korzysta się z niżej opisanej funkcji Power.
  

• Stałe: Pi [=3.14...], Deg [= 180/Pi = 57,2...]
  

• Wyrażenia warunkowe: (Condition) ? ValueIfTrue: ValueIfFalse
  

• Funkcje wbudowane: (jeśli nie zalecono inaczej, wszystkie funkcje korzystają z jednego argumentu zamkniętego w nawiasach po nazwie funkcji).
  

• Funkcje algebraiczne: Abs, Sqrt, Power(x,y) [= x podniesione do potęgi y)], Fact [silnia], Min(x,y) [= mniejsze od x lub y], Max(x,y) [= większe x lub y]
  

• Funkcje transcedentalne: Exp, Ln [logarytm naturalny], Log10, Log2
  

• Funkcje trygonometryczne: Sin, Cos, Tan, Cot, Sec, Csc
  

• Funkcje odwrotne do trygonometrycznych: ASin, ACos, ATan, ACot, ASec, Acsc
  

• Funkcje hiperboliczne: SinH, CosH, TanH, CotH, SecH, CscH
  

• Funkcje odwrotne do hiperbolicznych: ASinH, ACosH, ATanH, ACotH, ASecH, AcscH

• Funkcje statystyczne: Norm, Gauss, Erf, ChiSq(csq,df), StudT(t,df), FishF(F,df₁,df₂)
  

• Funkcje odwrotne do statystycznych: ANorm, AGauss, AErf, AChiSq(p,df), AStudT(p,df), AFishF(p,df₁,df₂)

Uwaga: Funkcje JavaScript rozróżniają wielkie i małe litery, a więc należy zwracać uwagę przy wpisywaniu nazw funkcji dokładnie tak jak podano wyżej.

Uwaga: Funkcje trygonometryczne działają w radianach. W przypadku stopni, należy zmienną pomnożyć lub podzielić przez stałą Deg.
Przykładowo: Sin(30/Deg) zwraca 0.5, natomiast ATan(1)*Deg zwraca 45.

Uwaga: Funkcja silni Fact jest zaimplementowana dla wszystkich liczb rzeczywistych. Dla liczb niecałkowitych, dokładność wynosi około 6 cyfr znaczących. Dla ujemnych liczb całkowitych, zwraca albo bardzo dużą liczbę lub generuje komunikat o dzieleniu przez zero Dvision-by-zero.

Uwaga: Funkcje statystyczne Norm i StudT zwracają dwustronne wartości prawdopodobieństwa, np. Norm(1.96)=0.05, podczas gdy funkcje ChiSq oraz FishF zwracają wartości jednostronne. Jest to istotne, ponieważ taki sposób obliczania tych funkcji jest najczęściej stosowany w testach statystycznych. Funkcja Gauss(x) zwraca całkę od -∞ do x z wyrażenia Exp(-z*z/2)/Sqrt(2*Pi) względem z. Jest to związane z funkcją Norm, różniąca się tylko przedziałem całkowania (całka lewostronna zamiast całki dwustronnej). Głównym jej zastosowaniem na tej stronie jest dopasowanie „esowatej” funkcji probitowej. Podobnie, funkcja Erf(x) zwraca funkcję błędu bardzo blisko związaną z funkcją Gauss.

Model Library

for the Nonlinear Least Squares Curve Fitter

Revised 03/24/2000

http://statpages.org/nonlinml.html

Biblioteka modeli regresji nieliniowej

Strona ta zawiera kolekcję znacznej liczby „modeli” lub funkcji stosowanej w analizie regresji liniowej i nieliniowej. Dla każdej z tych funkcji podano krótki opis modelu oraz tabelę pokazująca jak należy ją wprowadzać na stronie analizy regresji nieliniowej. Można kopiować i wklejać te funkcje z niniejszej strony do pola funkcji na stronie analizy regresji nieliniowej.

Proste modele liniowe

Lin1: Linia prosta. Jest to linia prosta klasycznej metody najmniejszych kwadratów. Istnieje wiele stron internetowych pozwalających na dopasowywanie linii prostych. Jednym z powodów korzystania ze strony regresji nieliniowej Curve Fitter jest to, że uzyskuje się na niej dodatkowe informacje, takie jak estymacje błędów parametrów, pasma przedziałów ufności, itp.

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	2
Dopasowywana funkcja: y=	a + b * x
Parametry początkowe:	a=0, b=0 (gwarantowana zbieżność)

Lin2: Linia prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych. Model ten nie zawiera „wyrazu wolnego” lub członu stałej. Można z niego korzystać tylko wtedy, gdy wiemy, że dopasowana linia musi przechodzić przez początek układu współrzędnych.

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	1
Dopasowywana funkcja: y=	a * x
Parametr początkowy:	a=0 (gwarantowana zbieżność)

Lin3: Linia prosta pozioma. Model ten jest tak trywialnym przykładem, że prawie nigdy nie jest stosowany. W istocie rzeczy trudno go zaliczyć do kategorii „regresji”, ponieważ tak naprawdę, nie jest to żadna krzywa. W zasadzie, można korzystać z tej strony internetowej do obliczania prostych statystyk opisowych zestawu liczb.

Zmienne niezależne:	0
Parametry:	1
Dopasowywana funkcja: y=	a
Parametr początkowy:	a=0 (gwarantowana zbieżność)

Lin4: Parabola. Model ten może być stosowany do testowania istotności nieliniowości danych (w takim przypadku parametr c powinien istotnie różnić się od zera).

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	3
Dopasowywana funkcja: y=	a + b * x + c * x*x
Parametry początkowe:	a,b,c=0 (gwarantowana zbieżność)

Lin5: Wielomian. Można dopasowywać wielomiany do 7 stopnia. Poniższa funkcja może nie wyglądać na wielomian, ponieważ jest zapisana w postaci rozłożonej na czynniki, co jest bardziej wydajne przy obliczaniu niż w zwykłej postaci.

Uwaga: Nigdy nie należy dopasowywać paraboli do danych, które układają się poziomo przy bardzo dużych lub przy bardzo małych wartościach x.

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	Dowolne od 1 do 8 (1 - stała, 2 = linia prosta, 3 = parabola, 4 - krzywa trzeciego stopnia , 5 = krzywa czwartego stopnia, itd.
Dopasowywana funkcja: y=	a + x*(b + x*(c + x*(d + x*(e + x*(f + x*(g + x*h))))))
Parametry początkowe:	Wszystkie = 0 (gwarantowana zbieżność). Zachować ostrożność aby ustawić wszystkie wartości początkowe na zero, zwłaszcza dla „dodatkowych” parametrów poza dopasowaniem, bo pozostałe mogą być niepoprawne

Lin6: Regresja liniowa wielu zmiennych.

Zmienne niezależne:	Wszystkie od 1 do 7
Parametry:	Wszystkie od 1 do 8
Dopasowywana funkcja: y=	a + b*x1 + c*x2 + d*x3 + e*x4 + f*x5 + g*x6 + h*x7
Parametry początkowe:	Wszystkie = 0 (gwarantowana zbieżność). Zachować ostrożność aby ustawić wszystkie wartości początkowe na zero, zwłaszcza dla „dodatkowych” parametrów poza dopasowaniem, bo pozostałe mogą być niepoprawne

Krzywe opóźnienia (spadku) wykładniczego

Exp1: Zwykła krzywa spadku wykładniczego do zera. Jest to podstawowy model regresji opadającej krzywej wykładniczej. Można ją stosować do danych, które na wykresie logarytmicznym lub półlogarytmicznym układają się wzdłuż linii prostej.

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	2
Dopasowywana funkcja: y=	a * Exp(- b * t )
Parametry początkowe:	a: wartość y gdy t=0 b: stała wykładnicza; wartość początkowa: 0.7/okres półtrwania; dodatnia przy spadku wykładniczym; ujemna przy wzroście wykładniczym.

Exp2: Pojedyncza krzywa spadku wykładniczego do dowolnej wartości. Zawiera ona dodatkowy parametr pozwalający na asymptotyczną zbieżność krzywej do wartości różnej od zera

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	3
Dopasowywana funkcja: y=	( a - c ) * Exp( - b * t ) + c
Parametry początkowe:	a: wartość y gdy t=0 b: stała wykładnicza; wartość początkowa: 0.7/okres półtrwania; dodatnia przy spadku wykładniczym; ujemna przy wzroście wykładniczym. c: zbieżność (asymptota) przy dużych wartościach t

Exp3: Wielokrotna krzywa spadku wykładniczego do zera.

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	2 dla pojedynczej krzywej wykładniczej, 4 dla podwójnej krzywej wykładniczej, 6 dla potrójnej krzywej wykładniczej, lub 8 dla poczwórnej krzywej wykładniczej.
	p1*Exp(-p2*t) + p3*Exp(-p4*t) + p5*Exp(-p6*t) + p7*Exp(-p8*t)
Parametry początkowe:	p1, p3, p5, p7: „amplitudy” indywidualnych składowych wykładniczych p2, p4, p6, p8: odpowiednie stałe wykładnicze; Każda z nich jest równa 0.7/ okres półtrwania tej składowej wykładniczej. Należy zachować ostrożność aby ustawiać „dodatkowe” parametry (poza dopasowaniem) na wartość zerową, bo pozostałe mogą być niepoprawne.

Exp4: Wielokrotna krzywa spadku wykładniczego do dowolnej wartości.

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	3 dla pojedynczej krzywej wykładniczej, 5 dla podwójnej krzywej wykładniczej, lub 7 potrójnej krzywej wykładniczej.
Dopasowywana funkcja: y=	p1 + p2*Exp(-p3*t) + p4*Exp(-p5*t) + p6*Exp(-p7*t)
Parametry początkowe:	p1: wartość asymptoty dla dużych t p2, p4, p6: the „amplitudy” indywidualnych składowych wykładniczych. p3, p5, p7: odpowiednie stałe wykładnicze; Każda z nich jest równa 0.7/ okres półtrwania tej składowej wykładniczej.

Exp5: Postać półtrwania spadku wykładniczego do zera. Model ten jest równoważny pod względem algebraicznym modelowi pojedynczej krzywej spadku wykładniczego do zera, ale również bezpośrednio oblicza estymację okresu półtrwania zamiast obliczania stałej szybkości.

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	2
Dopasowywana funkcja: y=	a / Power( 2 , t/b )
Parametry początkowe:	a: wartość y gdy t=0 b: okres półtrwania

Exp6: Postać półtrwania spadku wykładniczego do dowolnej wartości. Model ten jest równoważny pod względem algebraicznym modelowi pojedynczej krzywej spadku wykładniczego do dowolnej wartości, ale również bezpośrednio oblicza estymację okesu półtrwania zamiast obliczania stałej szybkości.

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	3
Dopasowywana funkcja: y=	( a - c ) / Power( 2 , t/b ) + c
Parametry początkowe:	a: wartość y gdy t=0 b: okres półtrwania c: asymptota przy dużych wartościach t

Modele zależności temperaturowej

Temp1: Logarytm w funkcji odwrotności. Wartość y jest wielkością zależna od temperatury, wartość t jest temperaturą bezwzględną (zwykle wyrażaną w stopniach Kelvina).

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	2
Dopasowywana funkcja: y=	Exp( a - b / t )
Parametry początkowe:	a: wartość empiryczna zależna od jednostek t oraz y. b: zwykle związana z energią aktywacji procesów wewnętrznych

Temp2: Równanie Antoine. Empiryczne rozszerzenie modelu logarytmu w funkcji odwrotności, zawierające dodatkowy parametr. Wartość t jest zwykle wyrażana w stopniach Celsjusza, a nie w temperaturze bezwzględnej.

Zmienne niezależne:	1
Parametry:	3
Dopasowywana funkcja: y=	Exp( a - b/(x+c) )
Parametry początkowe:	a: wartość empiryczna zależna od jednostek x oraz y b: zwykle związana z energią aktywacji procesów wewnętrznych c: parametr empiryczny, zwykle bliski 273 dla temperatury t w °C.

Krzywe wzrostu

• Równanie logistyczne (logitowe)

• Równanie probitowe

• Krzywa Rossevik dla wzrostu zarodkowego

• Prosty wzrost asymptotyczny

• Prosty spadek asymptotyczny

Modele farmakologiczne

• Model Michaelisa-Mentena

• Pojedyncza dawka dużej pigułki

• Pojedyncza dawka ciągłej infuzji

• Itd., itp.

- 1 -

(a - c) * Exp( -b * t ) + c

1

9

3

---