Patrycja Kuć

Roman Maciończyk

BADANIE UKŁADÓW DYSKRETNYCH

Układy dyskretne to takie gdzie przynajmniej jeden element układu działa w sposób dyskretny, tzn. jego sygnały mogą przyjmować tylko niektóre, wybrane wartości lub występują tylko w niektórych, wybranych chwilach czasu.

Przykład przebiegu sygnału na wyjściu elementów o działaniu:

1. ciągłym,

2. dyskretnym.

x(t) x(kT_p)

t t

T_p

T_p- okres próbkowania

Urządzenie, które dokonuje próbkowania zapamiętuje okres próbkowania, dokonuje również ekstrapolacji(w tym przypadku rzędu 0).

Postać naszej transmitancji przedstawia się następująco:

Dokonujemy dyskretyzacji (T_p=1s, l_c = 1, m_c =[1 3 1];l_c - licznik układu ciągłego, m_c - mianownik układu ciągłego, T_p- okres próbkowania).

Przechodzimy teraz do opisu w postaci równania różnicowego :

x(k+1)≡Ax(k) + Bu(k)

y(k) =Cx(k)+Du(k)

Dochodzimy do opisu macierzowego równania stanu oraz równania wyjścia:

Zapis macierzowy :

Wartości własne macierzy A:

p₁=0.6825

p₂=0.0729

Obliczam zera i bieguny transmitancji (jak widać na wykresie):

zero: z= -0.3795

bieguny: p₁=0.6825

p₂=0.0729.

Jeśli p znajduje się w okręgu jednostkowym (okrąg o środku (0,0) i promieniu r=1) wówczas układ jest stabilny. Takie właśnie kryterium stabilności zostało przedstawione na wykresie) .Wystarczy, by jeden moduł z p był większy od jedności a wówczas układ staje się niestabilnym. O granicy stabilności mówimy wtedy, gdy moduł z p równe jest 1.

Układ jest aperiodyczny wtedy, gdy bieguny układu leżą na odcinku dodatniej osi rzeczywistej w przedziale (0,1).

Rozwiązując zJ-A =0 możemy sami wyznaczyć wartości własne układu.

Rozpatrując inny układ o następującej transmitancji (T_p=1) :

Przechodzimy do postaci dyskretnej naszej wyjściowej transmitancji, która będzie teraz wyglądać:

Opis macierzowy :

W tym przypadku zera i bieguny układu dyskretnego G(z) :

zero: z=-0.9672

bieguny: p₁=0.9477+0.0823j

p₂=0.9477-0.0823j

Dokonując analizy zauważamy, że układ jest stabilny (moduły są mniejsze od 1- wynoszą 0.9512), układ jest również aperiodyczny.

Chcąc rozpatrzyć przykład, gdy układ znajduje się na granicy stabilności przyjęliśmy następującą postać transmitancji ciągłej :

Na podstawie G(z) wyznaczamy zera i bieguny :

- zero

• 
  bieguny

Nasz układ jest periodyczny i znajduje się na granicy stabilności (wartość modułu=1).

---