Wnioski:

Płaszczyzna fazowa służy do analizy układów dynamicznych liniowych i nieliniowych oraz jest pomocna przy badaniu i projektowaniu urządzeń automatyki.

Badamy układ liniowy opisany równaniem różniczkowym drugiego rzędu.

Obliczamy wartości własne układu, które są pierwiastkami równania charakterystycznego

, pierwiastki obliczamy ze wzorów

W naszym ćwiczeniu wyznaczaliśmy portrety fazowe odpowiadające tylko punktom osobliwym, przy różnych wartościach parametrów a i a.

• Węzeł stabilny uzyskuje się, gdy
  jest mniejsze od zera. Portret fazowy wykonaliśmy dla dwóch par parametrów, kolor czarny (-1,-2) i kolor czerwony (-1,-7).
  Dobór parametrów nie był przypadkowy, chcieliśmy uzyskać jak najbardziej różne portrety fazowe przy spełnieniu warunku dla węzła stabilnego.
  Trajektorie fazowe wchodzą do punktu 0,0 układu współrzędnych z II i IV ćwiartki. Istnieją takie trajektorie, które dzielą obszar na dwie części. Trajektoria fazowa jest to przedstawienie rozwiązania danego układu dynamicznego na płaszczyźnie o współrzędnych
  .

• Następny portret fazowy, jaki narysowaliśmy to węzeł niestabilny, uzyskuje się, gdy
  jest większe od zera. Podobnie jak w przypadku opisanym wyżej portret fazowy wykonaliśmy dla dwóch par parametrów (-1,2) - kolor czarny i (-1,7) - kolor czerwony. W tym przypadku trajektorie wychodzą z punktu 0,0 do I i III ćwiartki, również istnieją trajektorie, które dzielą obszar na dwie części.

• Kolejny portret fazowy to siodło - uzyskuje się, gdy iloczyn
  jest mniejszy od zera. Tu z kolei, aby uzyskać portrety fazowe znacznie różniące się od siebie potrzeba było aż trzech par parametrów (1,0) - kolor czarny, (1,-7) - kolor czerwony (1,7) kolor zielony. Trajektorie zmierzające do zera dają obraz układu stabilnego a zmierzające od zera niestabilnego. Generalnie jest to obraz układu niestabilnego.

• Następny obraz ognisko stabilne - uzyskuje się, gdy części rzeczywiste liczby zespolonej
  są równe i mniejsze od zera. Trajektorie wchodzą do punktu 0,0 układu współrzędnych.

• Ognisko niestabilne - uzyskuje się, gdy części rzeczywiste liczby zespolonej
  są równe i większe od zera. Trajektorie wychodzą z punktu 0,0 układu współrzędnych.

• Ostatni typ środek - uzyskuje się, gdy części rzeczywiste liczby zespolonej
  równe są zeru a występuje tylko część urojona dodatnia lub ujemna.

Wspólną cechą wszystkich portretów fazowych jest to, że trajektorie nie przecinają się.
Również w przypadku, gdy
obrazy są wręcz podręcznikowe. Natomiast gdy iloraz jest bliski zeru jak i kilkadziesiąt razy większy od 1 obrazy różnią się znacznie od wzorców podręcznikowych.

---