Płaszczyzna fazowa

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia było wyznaczenie portretów fazowych odpowiadających poszczególnym punktom osobliwym układu liniowego:

1. węzeł stabilny,

2. węzeł niestabilny,

3. siodło,

4. ognisko stabilne,

5. ognisko niestabilne,

6. środek.

2. Przebieg ćwiczenia

Schemat układu pomiarowego

Wzory i obliczenia

stąd

Zapisując powyższe równanie w postaci :

otrzymujemy pierwiastki:

Szybką ocenę wartości własnych można otrzymać po zauważeniu, że zaś

Poszczególne punkty osobliwe:

1. węzeł stabilny: λ₁<0; λ₂<0, czyli a₁= -7; a₀= -7,

2. węzeł niestabilny: λ₁>0; λ₂>0, czyli a₁= -2; a₀= -4,

3. ognisko stabilne Re[λ_1,2]<0, czyli a₁= -1; a₀= -1,

4. ognisko niestabilne Re[λ_1,2]>0, czyli a₁= -7; a₀= 1,

5. środek Re[λ_1,2]=0; λ_1,2= ± jω, czyli a₁= 0; a₀= -2.

6. siod*o λ₁ λ₂ < 0, czyli a₁= 3; a_o=-7

3. Wnioski

Dla układu drugiego rzędu przestrzeń fazowa jest nazywana płaszczyzną fazową. Można ją opisać równaniem ogólnym:

dla oraz otrzymuje się układ równań

Płaszczyzna fazowa służy do analizy układów dynamicznych liniowych lub nieliniowych i jest pomocna przy badaniu i projektowaniu urządzeń automatyki.

---